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云南省昆明市第一中学2026届高三上学期第三次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
3.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
6.若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的倍，圆柱的高为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.在中，，的平分线交于，则( )
A. B. C. D.
8.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列选项中正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则点的纵坐标为
C. 以为直径的圆与直线相切 D. 以为直径的圆与直线相切
10.函数的图象如图所示，若的图象与的图象在处有公切线，其中，则( )
A.
B. 为奇函数
C.
D. 的图象与的图象在处的公切线为
11.在长方体中，底面为正方形．，为棱上的一个点，平面与棱交于点，则下列结论正确的有( )
A. 当点为棱的中点时，
B. 当点为棱的中点时，点到平面的距离为
C. 存在点，使得平面平面
D. 四边形的周长的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.盒子中有个小球，分别标有数字为，，，，，这些小球除数字外完全相同，现从中依次随机抽取个小球不放回，记取出的两个小球数字分别为和，使得关于的一元二次方程有实数根的概率为 ．
14.已知实数满足：则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试满分分，经统计，全部测试成绩均位于内，按区间，，，，分成组，绘制频率分布直方图如图，其中在内的人数为．
求的值，并估计参加测试的职工的平均成绩同一组中的数据用该组区间的中点值代替；
现将和内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上每个小球贴一个工号，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于，称这两人为“黄金搭档组”若抽取次，每次取出个球，记下工号后再放回盒内记取得“黄金搭档组”的次数为，求的概率和的数学期望．
16.本小题分
已知数列的首项且满足
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数的图象记为曲线．
若点在曲线上，求过点与曲线相切的直线方程；
若过点作曲线的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值．
18.本小题分
已知椭圆：的左焦点为，过点且与轴不重合的直线交于，，当直线的斜率为时，直线恰好过椭圆的一个顶点．
求椭圆的标准方程；
若在轴上存在异于的定点，使得直线与直线的斜率比值为定值，
求定点的坐标；
求面积的最大值．
19.本小题分
如图，在三棱锥中

若，，证明：；
若，平面，，
求三棱锥体积的最大值；
为平面内一点，且点与点位于两侧，，求直线与平面所成角的正弦值的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意，得，解得参加测试的职工的平均成绩估计为
在内的频率为，由题意得总人数为，
所以在内的人数为．
每次抽取取得“黄金搭档组”的概率，因此，
，的数学期望．

16.解：由于，则，
化简得，
又，则是以为首项，为公比的等比数列，
得，所以．
由得，，则，则
，
，
，得
化简后得．

17.解：函数对应图象为曲线，因为点在曲线上，
所以，所以，，
设切点为，切线方程为：，即，
因为切线过点，所以，即，
，
，所以或，
所以切点为或，
将或代入，
可得切线方程为：或．
函数，求导得，
设切点为，切线方程为，即，
切线过点，则，
依题意方程有三个不同解，且成等差数列，
设三个不同解为，且，
，
则，结合，得，，
，所以，
所以．

18.解：由题意知，，
当直线的斜率为时，直线恰好过椭圆的一个顶点，
所以，所以，
所以椭圆的标准方程为．
由题意可设，，，
设直线的方程为，
联立，得，
则，，得，
记直线的斜率为，直线的斜率为，
则，
要使为定值，则，解得或舍去，此时，
故在轴上存在异于点的定点，使得直线与直线的斜率比值为定值．
由可得，，，
则
由，
故，
，
当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为．


19.解：设，，，则，
因为，所以，所以，所以，
所以
又且，所以，所以，
所以，所以
由知，所以，

所以，又，所以，即．
平面，平面，所以，又因为，，
所以平面，所以平面平面，
作，则平面，
由平面，平面，则，
又，所以，
所以，当且仅当时取等号，
由，得，
而，
所以，
所以三棱锥体积的最大值为．

取的中点，以为原点，为轴，过点且平行于的直线为轴，
过点且平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，所以，
即，所以，设与轴交于点，则，
而，点在以为直径的半圆上，
设点，其中，
所以，
平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，
所以
，
因为，
当，时，等号成立，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的最小值为．

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