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重庆市第一中学校2026届高三上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，为实数，则“”是“为双曲线方程”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数，若为偶函数，则的值为( )
A. B. C. D.
5.若两条直线与圆的四个交点能构成长方形，其中较长边长度为，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.拉格朗日中值定理是微分学里的关键定理，具体内容为：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得是在处的导数值，其中称为函数在闭区间上的中值点现在有这样的问题：若函数在区间上的“中值点”个数为，函数其中为自然对数的底数在区间上的“中值点”的个数为，则有( )
A. B. C. D.
7.某学校随机将名学生平均分成两个小组，分别参加数学和物理兴趣小组，学生学号为，，，，，设数学小组里的学生最小学号为，最大学号为，物理小组里的学生最小学号为，最大学号为，则“”的概率为( )
A. B. C. D.
8.设，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是( )
A. 若数列为等差数列，且，则
B. 若数列的前项和为，且，则是等差数列．
C. 若数列为等比数列，为前项和，，，则
D. 若数列为等比数列，且，则
10.已知抛物线，点、、为抛物线上三点，且的重心为抛物线的焦点，记直线的斜率分别为若，则( )
A.
B. 的三个顶点到轴的距离之和为
C. 若点坐标为，则
D. 当点的横坐标为时，
11.已知不是直角三角形，内角所对边分别为，则( )
A. B. 的最大值为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则的值为 ．
13.已知，且，则的最小值为
14.设为数列的前项和，，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在信号处理中，形如其中是自然对数的底数的函数称为“衰减多项式包络”，常用于电磁波、声波在介质中的能量衰减模型以及神经元膜电位的发放后电位衰减等领域某学习小组对的情况开展研究，请回答下列问题．
当时，求在处的切线方程；
当且时，恒成立，求正实数的取值范围．
16.本小题分
把多项式其中的展开式中的一次项的系数记为，数列的前项和记作．
写出数列的前项；并求其通项公式；
求．
17.本小题分
在锐角中，所对边分别为，满足且．

求；
若点为的垂心，，，则求线段的长度．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长之积为，椭圆的一条弦的中点为，满足：在直线上且不为坐标原点，点分别为椭圆的左、右焦点．
求的方程；
记椭圆右顶点为，线段上是否存在点，使得若存在，请求点横坐标的范围；若不存在，请说明理由；
若点均在轴上方，且点在点上方，证明四边形的面积小于．
19.本小题分
某珍稀植物保育点设有个独立苗床初始时，个苗床定植成功，个为空置每季度，保育员随机巡查个苗床个等概率若该苗床为空置，则补种，成活概率为；若该苗床已成功，则仅进行养护状态不变记第季度后成功苗床数为随机变量为的期望．
求；
对，请用，和这三个量表示；
证明点在一条直线上，并求出该直线的方程．
参考答案
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14.
15.【详解】当时，函数，求导得，则，而，
所以函数的图象在处的切线方程为，即．
函数，当且时，不等式恒成立，
令函数，求导得，
由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
依题意，，解得，
所以正实数的取值范围是．

16.【详解】二项式展开式的通项为，
分别令可得项分别为，，
所以的展开式中含的项为，
所以的系数为．
所以，．
，
则，
，
两式相减得
，
则．

17.【详解】，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是锐角三角形，
．
点为的垂心，
连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，
，，
在中，，，
，
在中，，，，
在中，，，
．


18.【详解】由椭圆的离心率为，得，则，
由椭圆长轴长与短轴长之积为，得，解得，
所以椭圆的方程为．
若存在上的点，使得，则，
由题意，设，
由，得，
则，
直线的斜率，直线的斜率，
直线的方程为，
即，令，则，
由，得，
因此，，
当点在线段上时，，又，
所以线段上不存在点，使得．
由知，，
直线的方程，
由消去得，
由，得，
，由在轴上方，得，
因此，设直线与交于点，
所以四边形的面积
．


19.【详解】依题意，，
，
由全概率公式：
．
，
所以
．
由得，，
，
由得
，
故点在直线上．

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