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(共18张PPT)
从函数观点看一元二次方程
一
　　二次函数与一元二次方程是我们学习过的两个重要内容，它们之间有着怎样的关系呢？
　　先观察几个具体的一元二次方程及对应的二次函数，如：
　　(1) 一元二次方程x2－4x+3=0与二次函数y=x2－4x+3；
　　(2)一元二次方程x2－4x+4=0与二次函数y=x2－4x+4；
　　(3)一元二次方程x2－2x+3=0与二次函数y=x2－2x+3．
从函数观点看一元二次方程
一
　　
　　容易知道，一元二次方程x2－4x+3=0有两个实数根x1=1，x2=3；二次函数y=x2－4x+3的图象与x轴有两个交点(1，0)，(3，0)，如图2.2-1(1)．这样，方程x2－4x+3=0的两个实数根就是函数y= x2－4x+3的图象与x轴交点的横坐标．
从函数观点看一元二次方程
(2)
(1)
(3)
图2.2-1
一
　　一元二次方程x2－4x+4=0有两个相等的实数根x1=x2=2；二次函数y=x2－4x+4的图象与x轴有唯一的交点(2，0)，如图2.2-1(2)．这样，方程x2－4x+4=0的实数根就是函数y=x2－4x+4的图象与x轴交点的横坐标．
　　一元二次方程x2－2x+3=0没有实数根；二次函数y=x2－2x+3的图象与x轴没有交点，如图2.2-1(3)．
　　上述关系对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0及对应的二次函数y=ax2+bx+c是否也成立呢？
从函数观点看一元二次方程
一
　　一般地，设判别式Δ=b2－4ac，我们有：
　　(1)当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，对应二次函数的图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)；
　　(2)当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2 ，对应二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1，0) ；
　　(3)当Δ<0时，一元二次方程没有实数根，对应二次函数的图象与x轴没有交点．
从函数观点看一元二次方程
一
　　根据以上归纳，可得如下表格：
从函数观点看一元二次方程
一
　　一般地，我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点．例如，1，3是二次函数y=x2－4x+3的两个零点，2是二次函数y=x2－4x+4的唯一零点，二次函数y=x2－2x+3没有零点．
　　这样，一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c的零点，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标．
从函数观点看一元二次方程
一
从函数观点看一元二次方程
　　　　二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2.2-2所示，
根据图象解答下列问题：
　(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
　(2)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，
求k的取值范围．
例
1
图2.2-2
一
从函数观点看一元二次方程
　　解　(1)观察图象可知，二次函数的图象与x轴交于(1，0)，(3，0)，故方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3．
　　(2)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=k有两个不同的交点．观察图象可知，二次函数图象的顶点纵坐标为2，所以只有当k<2时才能满足条件．
一
从函数观点看一元二次方程
　　　　已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点A(0，－3)，与x轴的两个交点的横坐标的平方和为15，求该二次函数的表达式．
　解　由二次函数的图象与y轴交于点A(0，－3)知，c=－3．
　设二次函数的图象与x轴交点的横坐标为x1，x2，则x1，x2是一元二次方程
　x2+bx－3=0的两个根，由根与系数的关系知x1+x2 =－b， x1x2 =－3，
　所以　　　　　=(x1+x2)2－2x1x2
　　　　　　　 = b2+6=15，
　解得　b=±3.
　故所求二次函数的表达式为y=x2+3x－3
或y=x2－3x－3．
例
2
　　一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系为
　　　　　　　　，
一
从函数观点看一元二次方程
　　1. 利用函数图象判断下列方程有没有实数根，有几个根.
　　(1) －x2+4x+3=0； 　　　(2) 2x(x－2)+3=0；
　　(3) －2x2+x+3=0； 　　　(4) 5x2+2x=3x2+5．
　　2.已知函数y=-x2+2x-m+1.
（1）若x=0为函数的一个零点，求m的值；
（2）当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点？
3. 已知二次函数y=x2－2mx+m2+3(m为常数)，求证：不论m为何值，该二次函数均没有零点．
　　4. 已知二次函数y=ax2+bx+c有最小值-3，且函数的零点为-1和2，求该二次函数的表达式.
练 习
一
从函数观点看一元二次方程
十字相乘法
　　把一个整式写成几个整式的乘积，称为因式分解．提取公因式分解、应用乘法公式分解、分组分解是我们常用的方法．
　　对于二次三项式ax2+bx+c的因式分解，“十字相乘法”也是一种值得尝试的方法．
　　例　分解因式：6x2－7x+2．
　　上式假如可以分解因式，必然是分成两个一次因式的乘积.
　　如　　　　　　6x2－7x+2 =(ax+b)(cx+d)
　　　　　　　　　　　　　 =acx2+(ad+bc)x+bd.
多知道一点
一
从函数观点看一元二次方程
　　如果能够找到整数a，c，b，d满足ac=6，bd=2，且ad+bc=－7,就把6x2－7x+2分解成两个整系数一次因式的乘积了.
　　对于上例，因式分解的过程大致为：先分别把二次项系数6和常数项2分解因数，分别得到6=3×2和2=(－2)×(－1)．当然，还有其他的分解，分解之后还需检验交叉相乘后能否得到一次项系数.我们用下面的算式予以体现：
　　因此可得a=3，b=－2，c=2，d=－1，则6x2－7x+2=(3x－2)(2x－1).
多知道一点
(a)3 －2(b)
(c)2 －1(d)
3×(－1)+2×(－2)= －7
一
从函数观点看一元二次方程
　　一般地，对于二次三项式ax2+bx+c，如果能够找到a1，a2，c1，c2满足a= a1 a2， c= c1c2，且b= a1 c2+ a2 c1，则有因式分解
ax2+bx+c = a1 a2 x2+(a1c2 + a2 c1)x+ c1c2 =(a1x+c1)(a2 x+c2)．
　　为了便于理解，我们将a= a1 a2与c=c1c2的因子排成如下方式：
　　十字相乘法适用于二次方程ax2+bx+c =0有有理根的情况.
　　练习　分解因式： (1)x2 +5x+6 ；　　(2) x2－x－6;
　　　　　　　　　　 (3)2x2-7x+3； (4)－6 x2－x+12．
多知道一点
a1 c1
a2 c2
交叉乘积之和a1c2+ a2c1= b
一
习题2.2
学而时习之
　　1. 利用函数图象判断下列方程有没有实数根，有几个根.
　　(1)2x2－3x+1＝0；　　　　(2)9x2+12x+4＝0;
　　(3) －x2+2x－4＝0.
　　2.已知二次函数y=x2+ax+b的两个零点分别是2和3，求a，b的值.
　　3.(1)已知二次函数y=ax2+bx+c的零点为2和3，求二次函数y=cx2+bx+a的零点.
　　 (2)已知二次函数y=x2+2x+a在区间［－2，1］上的最小值大于0，求该函数的零点个数.
一
习题2.2
　　4. 如图为二次函数y=ax2+bx的图象，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，求m的最大值.
　　5.已知二次函数y=(1－m)x2+4x－3的图象开口向下，
与x轴交于A(x1，0)， B(x2，0)两点.
　　(1)求m的取值范围；
　　(2)当　　　　　 时，求该二次函数的表达式.
（第4题）
一
习题2.2
温故而知新
　　6.已知二次函数y=x2－4x+3.5的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，函数图象的顶点为P，求S△ABC和S△ABP.
　　7.若一元二次方程5x2－7x－a=0的一个根在区间(－1，0)内，另一个根在区间(1，2)内，求实数a的取值范围.
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