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陕西省镇安中学 2026届高三上学期 10月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { 3,3}, = {3,5}，则 ∪ =( )
A. {3} B. {3,5} C. { 3,5} D. { 3,3,5}
√ 6
2.在 中， = √ 2, = √ 3, cos∠ = ，则 =( )
4
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. 2
3.“ < 7”是“log2 < 3”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为2: 1，面积之比为6: 1，则甲与乙的半径之比为( )
A. √ 3: 1 B. 3: 1 C. √ 2: 1 D. √ 6: 1
5.若关于 的不等式2 2 + 3 1 ≤ 0恒成立，则 的取值范围为( )
9 9 9 9
A. ( ∞, ) B. [ , 0) C. ( ∞, ] D. [ , 0]
8 8 8 8
6.如图，在倾斜角为15°的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆 ，当太阳光线的仰角是45°时，旗杆在山坡
上的影子的长度是10m，则旗杆 的高为( )
A. 5m B. 6m C. 5√ 2m D. 5√ 3m
2
7.函数 ( ) = 2的部分图象大致为( ) e
A. B.
C. D.
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8.已知函数 ( ) = e| | + ln( 2 + 1)，若 ( + 2) ≥ (3 )，则 的取值范围为( )
1 1
A. ( ∞, ] B. ( ∞, ]∪[1, +∞)
2 2
1 1
C. [ , 1] D. [ , +∞)
2 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知命题 ：平行四边形的对角线相等， : ∈ (1,2), 2 + 4 = 0，则( )
A. 是存在量词命题 B. 是存在量词命题
C. ：有些平行四边形的对角线不相等 D. 是真命题
π
10.已知函数 ( ) = sin2 √ 3cos2 2(0 < < 1)，将 ( )的图象向左平移 个单位长度，得到函数
6
π
( )的图象，若 ( )的图象关于直线 = 对称，则( )
3
5
A. ( )的最大值为0 B. =
6
12π 4π π
C. ( )的最小正周期为 D. ( )在区间[ , ]上单调递增
5 15 3
11.定义在R上的函数 ( ), ( )满足 ( ) + ( + 1) = 1, ( + 1) ( ) = 3.若 ( )的图象关于直线 =
1对称，且 ( 1) = 1，则( )
A. (2025) = 3
B. ( )的最小正周期为8
C. (1) + (2) + (3) + + (2025) = 2027
D. (1) + (2) + (3) + + (2025) = 4050
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若 ( ) = (2 + 3)2 + 为偶函数，则 = ．
13.若直线2 + 3 = 0与函数 ( ) = 3ln 的图象相切，则 = ．
2 2 2 1 π 14.已知圆 : ( ) + = 4 ( > 0)，在函数 ( ) = sin 的图象中，仅有一个最高点与一个最低点
2
在圆 内或在圆 上，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
4
(1)若cos2 = ，求sin4 + cos4 的值；
5
tan10°+tan30°
(2)比较 与tan215°的大小，并说明理由．
1 tan10°tan30°
16.(本小题15分)
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已知函数 ( ) = 3 + 3 + 1, ∈ [ 2,2]．
(1)求 ( )的值域；
(2)讨论函数 ( ) = ( ) 的零点个数．
17.(本小题15分)
已知 的内角 , , 的对边分别为 , , ，且 cos( ) = 2√ 3 sin cos + cos( + )．
(1)求 ；
√ 3
(2)若 的面积为 ( 2 + 4)，求 + 的最小值．
8
18.(本小题17分)
已知函数 ( )的定义域为 ，若对任意 ∈ ，都有 ( ) + ( + ) = 2 ，则函数 ( )的图象关于点
22 1 2 +1
( , )成中心对称图形，点( , )是函数 ( )图象的对称中心.已知函数 ( ) =
4 1
, ( ) = ．
+1 1
(1)证明： ( )的图象关于点(1,1)成中心对称图形．
(2)求 ( )图象的对称中心．
(3)设函数 ( ) = ( ) + ( )，将区间( 2,4)分成(2 + 1)等份，记等分点的横坐标按从小到大的顺序依
次为 1, 2, , 2 1, 2 ，若不等式 ( 1) + ( 2) + ( 3) + + ( 2 ) > 2 + 9对任意 ∈ ( 2,4)恒成
立，求整数 的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ln + 4 2 + ．
(1)若 = 6，求 ( )的单调区间．
( ) ln
(2)已知函数 ( ) = + e (e )有两个极值点 , ．
1 2
①求 的取值范围；
②若不等式 ( ) e 1 > e 21 ( 2)恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 12
13.1
√ 15 √ 7
14.[ , )
15 7
4 115.【详解】(1)sin + cos4 = (sin2 + cos2 )2 2sin2 cos2 = 1 sin22
2
1
= 1 (1 cos2
1 16 41
2 ) = 1 (1 ) = ；
2 2 25 50
tan10°+tan30°
(2) > tan215°，理由如下：
1 tan10°tan30°
tan10°+tan30°
= tan(10° + 30°) = tan40°，
1 tan10°tan30°
tan215° = tan(180° + 35°) = tan35°，
π
因为正切函数 = tan 在区间(0, )上单调递增，
2
所以tan40° > tan35°，
tan10°+tan30°
因此 > tan215°．
1 tan10°tan30°
16.【详解】(1)由 ( ) = 3 + 3 + 1 ′( ) = 3 2 + 3 = 3( + 1)( 1)，
令 ′( ) = 0 = 1，或1，
当 ∈ [ 2, 1)时， ′( ) < 0, ( )单调递减，
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当 ∈ ( 1,1)时， ′( ) > 0, ( )单调递增，
当 ∈ (1,2]时， ′( ) < 0, ( )单调递减，
所以函数 ( )在 ∈ [ 2,2]时，极小值为 ( 1) = 1，极大值为 (1) = 3，
而 (2) = 1, ( 2) = 3，
所以函数 ( )在 ∈ [ 2,2]时，最大值为3，最小值为 1，
所以函数 ( )在 ∈ [ 2,2]时，值域为[ 1,3]
(2)函数 ( ) = ( ) = 0 = ( )，
函数 ( ) = ( ) 的零点个数转化为直线 = 与函数 ( )图象交点个数问题，
结合(1)的结论，在同一直角坐标系内，画出直线 = 与函数 ( )图象，
当 > 3，或 < 1时，直线 = 与函数 ( )图象没有交点，因此函数 ( )没有零点，
当 = 3，或 = 1时，直线 = 与函数 ( )图象有2个交点，因此函数 ( )有2个零点，
当 1 < < 3时，直线 = 与函数 ( )图象有3个交点，因此函数 ( )有3个零点，
综上所述：当 > 3，或 < 1时，函数 ( )没有零点，
当 = 3，或 = 1时，函数 ( )有2个零点，
当 1 < < 3时，函数 ( )有3个零点．
17.【详解】(1)因为 cos( ) = 2√ 3 sin cos + cos( + )，
所以 [cos( ) cos( + )] = 2√ 3 sin cos ，
由两角和差的余弦公式得 (cos cos + sin sin cos cos + sin sin ) = 2√ 3 sin cos ，
则2 sin sin = 2√ 3 sin cos ，
由正弦定理得2sin sin sin = 2√ 3sin sin cos ，
因为 , , ∈ (0, π)，所以sin ≠ 0, sin ≠ 0，
π
可得sin = √ 3cos ，解得 = ．
3
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1 √ 3 √ 3
(2)由三角形面积公式得 = × × = ， 2 2 4
√ 3 √ 3 √ 3
因为 的面积为 ( 2 + 4)，所以 = ( 2 + 4)，
8 4 8
2 1
2+ 2 (2 4)
化简得 = 2 4，由余弦定理得 = ，
2 2
2 2
1 ( + ) 4 +4 ( + ) +4
则 = ，可得 = ，
2 2 5
2
( + )
由基本不等式得 ≤ ，当且仅当 = 时取等，
4
2 2
( + ) +4 ( + )
得到 ≤ ，解得 + ≥ 4，
5 4
即 + 的最小值为4．
22 1 22(1+ ) 1 22 +1
18.【详解】(1)证明：因为 ( ) =
4 1
，所以 (1 + ) =
+1 4(1+ ) 1
= ，
+1 4 +1
22(1 ) 1 2 2 +1 2
(1 ) = (1 ) 1 = =4 +1 4
，
4 +1 +1
22 +1 2 22 +1+2 2 4 ( +1)
所以 (1 + ) + (1 ) = + = = = 2， 4 +1 4 +1 4 +1 4 +1
则 ( )的图象关于点(1,1)成中心对称图形．
2
( +1) ( +1)+1 1 1
(2)解：(解法一)设 = 1，则 ( ) = = + + 1，所以 ( ) 1 = + ．

1 1
易证 = + 是奇函数，所以函数 = + 的图象关于点(0,0)中心对称，

所以函数 ( )的图象关于点(0,1)中心对称，
所以 ( )的图象关于点(1,1)中心对称，即 ( )图象的对称中心为点(1,1)．
2
2
+1 (1+ ) (1+ )+1 2+ +1
(解法二)因为 ( ) = ，所以 (1 + ) = = ，
1 (1+ ) 1
2
(1 ) (1 )+1 2 +1
(1 ) = = ，
(1 ) 1
2+ +1 2 +1
所以 (1 + ) + (1 ) = = 2，

则 ( )图象的对称中心为点(1,1)．
(3)解：由(1)(2)可知 ( )和 ( )的图象都关于点(1,1)成中心对称图形， ( ) = ( ) + ( )，
所以 (1 + ) = (1 + ) + (1 + ), (1 ) = (1 ) + (1 )，
所以 (1 + ) + (1 ) = (1 + ) + (1 ) + (1 + ) + (1 ) = 4
所以函数 ( )的图象关于点(1,2)成中心对称图形．
因为区间( 2,4)关于直线 = 1对称，
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所以 ( 1) + ( 2 ) = ( 2) + ( 2 1) = ( 3) + ( 2 2) = = ( ) + ( +1) = 4，
所以 ( 1) + ( 2) + ( 3) + + ( 2 ) = 4 ．
因为不等式 ( 1) + ( 2) + ( 3) + + ( 2 ) > 2 + 9对任意 ∈ ( 2,4)恒成立，所以4 >
(2 + 9)max．
因为 2 < < 4，所以5 < 2 + 9 < 17，所以4 ≥ 17，即整数 的最小值是5．
19.【详解】(1)当 = 6时， ( ) = ln + 4 2 6 ，函数定义域为(0, +∞)，
1 8 2 6 +1
′( ) = + 8 6 = ，

′ 2 1 1令 ( ) > 0，即8 6 + 1 > 0，解得0 < < 或 > ；
4 2
令 ′
1 1
( ) < 0，即8 2 6 + 1 < 0，解得 < < ，
4 2
1 1 1 1
故 ( )的单调递增区间为(0, )，( , +∞)，单调递减区间为( , )；
4 2 4 2
4 2
(2)①由题意得 ( ) = + e2 e = 4 + e2 e ， ′( ) = 4 + 2e2 e ，

( ) ln
因为函数 ( ) = + e (e )有两个极值点 1, 2，又 ∈ (0, +∞)，
故 ′( ) = 4 + 2e2 e = 0有两个不等的正实数根；
令 = e , > 0，则 > 1，则 ′( ) = 4 + 2e2 e = 0即为2 2 + 4 = 0，
则2 2 + 4 = 0有两个大于1的不等实数根 1, 2，
= 2 32 > 0

故{ > 1，解得4√ 2 < < 6；
4
2 + 4 > 0
故 的取值范围为(4√ 2, 6)；
② ( 1) e
1 > e 2 ( 2)可变形为 ( 1) + ( 2) > (e
1 + e 2)，

结合①可知 1 + 2 = , = 2， 2 1 2

即e 1 + e 2 = , e 1e 2 = 2, ∴ 1 + 2 = ln2， 2
( 1) + ( 2) = 4( 1 + 2) + (e
2 1 + e2 2) (e 1 + e 2)，
2 2 2
= 4ln2 + ( 4) = 4ln2 4 ，
4 2 4
则不等式 ( 1 21) e > e ( 2)恒成立，
2
即为4ln2 4 > 在 ∈ (4√ 2, 6)时恒成立，
4 2
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2 8(ln2 1)
由4ln2 4 > ，即得 < ，
4 2 2
8(ln2 1)
令 ( ) = , ∈ (4√ 2, 6)，
2
′ 8(1 ln2) 1 8(1 ln2) 1 ln2 1则 ( ) = <
2 2 2
= < 0，
(4√ 2) 2 4
8(ln2 1) 6 4ln2 13
则 ( )在(4√ 2, 6)上单调递减，故 ( ) > (6) = = ，
6 2 3
4ln2 13
故 ≤ ．
3
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