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专题5.4.一元一次方程的解法
1、掌握移项法则的依据，会在解方程的过程中正确运用；
2、正确理解和使用去括号法则，并能解含括号的一元一次方程；
3、掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，掌握含分母的一元一次方程的解法，并归纳解一元一次方程的步骤。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.解一元一次方程（1）--移项与合并同类项 2
考点2.解一元一次方程（2）--去括号 4
考点3.解一元一次方程（3）--去分母 5
考点4.一元一次方程中的同解问题 8
考点5.一元一次方程中的错解与遮挡问题 10
考点6.一元一次方程中的整体换元问题 11
考点7.一元一次方程的新定义问题 13
考点8.根据解的情况求参数值 15
考点9.含绝对值的一元一次方程 16
模块3：培优训练 17
1.移项：一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。
注意：整体移动，整体变号。
2.去括号
去括号：在解方程的过程中，将方程中含有的括号去掉的过程。
顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外，有时为了简化计算，可视情况而定）。
去括号原则：括号前是“—”号时，去括号后，括号里面的每一项都要变号。
3.去分母
1）两边同乘最小公倍数，以去分母。
2）步骤：①确定最小公倍数；②两边同乘最小公倍数，去分母。
3）去分母原则：等式两边同乘分母的最小公倍数，必须保证每一项都乘最小公倍数（包括整数项）。
4.解一元一次方程的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1。
注意：去分母、去括号、移项和合并同类项在方程变形中经常用到，去分母时注意方程的每项都要成分母的最小公倍数；去括号时注意括号前面时“－”时注意变号；移项时应注意改变项的符号。
考点1.解一元一次方程（1）--移项与合并同类项
例1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）下列方程变形中，属于移项的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
变式1．（25-26七年级上·江苏·课后作业）下列变形过程中，属于移项的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）解下列方程：(1)．(2)．
变式3． （24-25七年级上·浙江·课后作业）解下列方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
考点2.解一元一次方程（2）--去括号
例1．（24-25七年级上·广东佛山·期末）解方程 时，去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2026七年级·广西·专题练习）把一元一次方程去括号，得 ．
变式2．（25-26七年级上·江苏·课后作业）解下列方程：
(1)．(2)．(3)．
变式3．（25-26七年级上·浙江·课后作业）解下列方程：
(1)．(2)．(3)．
考点3.解一元一次方程（3）--去分母
例1．（24-25七年级上·云南保山·期末）解方程时，去分母正确的是（　　）
A． B．
C． D．
变式1．（25-26七年级上·广东·课后作业）方程去分母后所得的结果是 ，方程的解是 ．
变式2．（25-26七年级上·湖北·课后作业）解方程的第一步是去分母，那么方程左右两边同时所乘的数应是 ．
变式3．（25-26七年级上·广东·课后作业）解下列方程：
(1)．(2)．(3)．
变式4．（24-25七年级上·山西大同·期末）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
解：去分母，得．第一步
去括号，得．第二步
移项，得．第三步
合并同类项，得．第四步
系数化为1，得．第五步
任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______；
（2）第三步变形的依据是______；
任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______；
（2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项．
任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：．
考点4.一元一次方程中的同解问题
例1．（25-26七年级上·江苏·课后作业）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
变式1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于的方程的解和的解相同，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程与关于x的方程的解相同，求的值．
考点5.一元一次方程中的错解与遮挡问题
例1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）某同学解方程时，把□处的数看错了，计算得．他把□处的数看成了（ ）
A．9 B． C． D．7
变式1．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）小明同学在解方程时，把数字看错了，解得，则小明把看成了（ ）
A． B．8 C． D．3
变式2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）方程，■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么■处的常数是 ．
考点6.一元一次方程中的整体换元问题
例1．（2024·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
变式1．（2024·江西景德镇·七年级期末）若是关于的方程的解，则关于的方程的解为______．
变式2．（2024·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
考点7.一元一次方程的新定义问题
例1．（24-25七年级下·山西长治·期中）阅读与思考
阅读下面的内容，并完成相应任务．
美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”．
任务：(1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由．
(2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值．
变式1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）对于有理数a，b满足，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为．如满足：；满足：；所以数对，都是“相伴有理数对”．(1)若是“相伴有理数对”，求x的值；(2)若是“相伴有理数对”，求 的值．
变式2．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）我们把“”叫做“的阶乘”，其中为正整数．规定：．例如．规定：在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加减，有括号就先算括号里面的．
(1)按照以上的规定，计算： ； ； ；
(2)计算：；(3)已知为整数，求出满足该等式的．
变式3．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”．
(1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值．
(2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值．
(3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值．
考点8.根据解的情况求参数值
例1．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ．
变式1．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ．
变式2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程的解是负整数，则满足条件的整数k的值有 个．
变式3．（2024·上海杨浦·八年级期中）当m取___ 时，关于 x的方程mx+m＝2x无解．
变式4．（2024·上海市八年级期中）如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点9.含绝对值的一元一次方程
例1．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，也可以写成．进一步地，如果数轴上点、分别对应数、，那么、两点间的距离为，比如，表示3的点与的点之间的距离表示为．
(1)如图1，点、点在数轴上对应的数分别为、1，则、两点间的距离为______；
(2)已知、、三个数在数轴上的位置如图2所示，化简：______；
(3)若，则______．
变式1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）阅读下面的材料，回答问题．
化简，使结果不含绝对值．
解：当，即时，原式；
当，即时，原式．
综上所述，的化简结果为或．
这种解题的方法叫做“分类讨论法”．
请你用“分类讨论法”解一元一次方程：．
变式3．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．例如：，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
[操作发现]（1）如图，数轴上表示1和6的两点之间的距离是______；数轴上表示3和7的两点之间的距离是___；数轴上表示和3的两点之间的距离是___；数轴上表示和的两点之间的距离是____；
[类比探究]（2）可理解为在数轴上______和______两点之间的距离；
[拓展应用]（3）若数轴上分别表示m和的两点A和B之间的距离是24，则m=______；
（4）若，则x=______；
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26七年级上·重庆·课后作业）将方程去括号，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26七年级上·江苏·课后作业）如果与的值互为相反数，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·广东·期中）下列解方程的步骤正确的是（ ）
A．由，得
B．由，得
C．由，得
D．由，得
4．（22-23七年级上·浙江·期中）在梯形面积公式中，已知厘米，厘米，平方厘米，则（　　）厘米．
A．1 B．5 C．3 D．4
5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）小红在解方程时，把“”处的系数看错了，解得，她把“”处的系数看成了（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知关于的方程的解是，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．（24-25七年级上·贵州·期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．由移项，得
B．由去括号，得
C．由系数化为1，得
D．由去分母，得
8．（25-26七年级上·浙江·课后作业）小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（ ）
A． B． C．0 D．1
10．（24-25七年级上·山东淄博·期末）若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·四川巴中·开学考试）k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ．
12．（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个．
13．（24-25七年级上·全国·期末）关于x的方程的解与方程的解相同，那么a的值是 ．
14．（25-26七年级上·浙江·课后作业）小明在解方程时，去括号后忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么该方程正确的解为 ．
15．（25-26七年级上·江苏·期中）方程的解为 ．
16．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．
（1） ．
（2）若，则x的值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26七年级上·浙江·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：．
(1)求的值；(2)若的值等于13，求的值．
18．（24-25七年级上·山东泰安·单元测试）计算：
(1)；(2)； (3)； (4)．
19．（25-26七年级上·浙江·课后作业）原创题下面是小宇同学解方程的过程，请你仔细阅读，并解答所提出的问题．
解：去括号，得，（第一步）
移项，得，（第二步）
合并同类项，得，（第三步）
两边同除以，得．（第四步）
(1)该同学解答过程从第________步开始出错，错误原因是________(2)写出正确的解答过程．
20．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___；
(2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______；
(3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值．
21．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程．
(1)当为何值时，该方程与的解相同？(2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解．
22．（24-25七年级上·上海·期末）已知关于x的方程．(1)若，求该方程的解；(2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值；(3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值．
23．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下面材料：数轴是数学中重要的工具，借助数轴我们可以解决许多问题．点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：
(1)数轴上表示和1的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为______；(3)若，则______；
(4)请你找出所有符合条件的整数，使得．
24．（25-26七年级上·山东·课后作业）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“美好方程”．
例如：方程的解为，方程的解为．因为，即这两个方程的解之和为，所以这两个方程互为“美好方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”．
(2)若关于的方程与方程互为“美好方程”，求的值．
(3)若方程与方程互为“美好方程”，求关于的方程的解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题5.4.一元一次方程的解法
1、掌握移项法则的依据，会在解方程的过程中正确运用；
2、正确理解和使用去括号法则，并能解含括号的一元一次方程；
3、掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，掌握含分母的一元一次方程的解法，并归纳解一元一次方程的步骤。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.解一元一次方程（1）--移项与合并同类项 2
考点2.解一元一次方程（2）--去括号 4
考点3.解一元一次方程（3）--去分母 5
考点4.一元一次方程中的同解问题 8
考点5.一元一次方程中的错解与遮挡问题 10
考点6.一元一次方程中的整体换元问题 11
考点7.一元一次方程的新定义问题 13
考点8.根据解的情况求参数值 15
考点9.含绝对值的一元一次方程 16
模块3：培优训练 17
1.移项：一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。
注意：整体移动，整体变号。
2.去括号
去括号：在解方程的过程中，将方程中含有的括号去掉的过程。
顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外，有时为了简化计算，可视情况而定）。
去括号原则：括号前是“—”号时，去括号后，括号里面的每一项都要变号。
3.去分母
1）两边同乘最小公倍数，以去分母。
2）步骤：①确定最小公倍数；②两边同乘最小公倍数，去分母。
3）去分母原则：等式两边同乘分母的最小公倍数，必须保证每一项都乘最小公倍数（包括整数项）。
4.解一元一次方程的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1。
注意：去分母、去括号、移项和合并同类项在方程变形中经常用到，去分母时注意方程的每项都要成分母的最小公倍数；去括号时注意括号前面时“－”时注意变号；移项时应注意改变项的符号。
考点1.解一元一次方程（1）--移项与合并同类项
例1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）下列方程变形中，属于移项的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】C
【详解】解：A、由，得，是方程两边同时除以，不是移项，不符合题意；
B、由，得，是方程两边同时乘以，不是移项，不符合题意；
C、由得，是把改变符号后移到右边，属于移项，符合题意；
D、由，得，是交换左边两项的位置，未移项，不符合题意.故选：C．
变式1．（25-26七年级上·江苏·课后作业）下列变形过程中，属于移项的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】C
【详解】解：A、由，得，这是系数化为，故选项不符合题意；
B、由，得，这是系数化为，故选项不符合题意；
C、由，得，变号后从方程左边移到右边成，选项符合题意，
D、由，得，这是方程左边进行了加法交换律，故选项不符合题意． 故选：．
变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）解下列方程：(1)．(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：移项，得:．
合并同类项，得:．
系数化为，得:．
（2）解：移项，得:．
合并同类项，得:．
系数化为，得:．
变式3． （24-25七年级上·浙江·课后作业）解下列方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
．
（3）解：，
，
．
（4）解：，
，
．
考点2.解一元一次方程（2）--去括号
例1．（24-25七年级上·广东佛山·期末）解方程 时，去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
去括号，得，故选∶B．
变式1．（2026七年级·广西·专题练习）把一元一次方程去括号，得 ．
【答案】
【详解】解：左边括号前是，将与括号内各项相乘；右边括号前是，将与括号内各项相乘，
即：，故答案为：．
变式2．（25-26七年级上·江苏·课后作业）解下列方程：
(1)．(2)．(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
（2）解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
（3）解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
变式3．（25-26七年级上·浙江·课后作业）解下列方程：
(1)．(2)．(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得．
（2）去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同除以，得．
（3）去小括号，得，
去中括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同除以，得．
考点3.解一元一次方程（3）--去分母
例1．（24-25七年级上·云南保山·期末）解方程时，去分母正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：，等式两边同时乘以4得，．故选：D．
变式1．（25-26七年级上·广东·课后作业）方程去分母后所得的结果是 ，方程的解是 ．
【答案】
【详解】解：方程的两边同时乘以，可得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：．
故答案为：，．
变式2．（25-26七年级上·湖北·课后作业）解方程的第一步是去分母，那么方程左右两边同时所乘的数应是 ．
【答案】12
【详解】解：根据分析可知：在解方程时，左右两边应该同时乘．
故答案为：．
变式3．（25-26七年级上·广东·课后作业）解下列方程：
(1)．(2)．(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
（2）解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
（3）解：去分母，得。
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
系数化为1，得．
变式4．（24-25七年级上·山西大同·期末）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
解：去分母，得．第一步
去括号，得．第二步
移项，得．第三步
合并同类项，得．第四步
系数化为1，得．第五步
任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______；
（2）第三步变形的依据是______；
任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______；
（2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项．
任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：．
【答案】任务一：（1）去分母时，1漏乘了6；（2）等式的基本性质；任务二：；（3）答案不唯一，见解析；任务三：
【详解】解：任务一：（1）解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，1漏乘了6；
（2）第三步变形的依据是等式的基本性质；
任务二：（1）
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，；
（3）移项要变号（答案不唯一）；
任务三：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，．
考点4.一元一次方程中的同解问题
例1．（25-26七年级上·江苏·课后作业）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】C
【详解】解：解方程得
两个方程的解相同，把代入,得解得：故选：C．
变式1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于的方程的解和的解相同，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【详解】解：解方程得，
∵方程与的解相同，
∴将代入，得：，解得：，故选：A．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程与关于x的方程的解相同，求的值．
【答案】27
【详解】解：解第一个方程
两边同乘（分母最小公倍数），得：
去括号：
合并同类项：移项得：，解得．
将代入，得：
两边同乘6消分母： 去括号：
合并同类项：移项得：，解得．
∴．
考点5.一元一次方程中的错解与遮挡问题
例1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）某同学解方程时，把□处的数看错了，计算得．他把□处的数看成了（ ）
A．9 B． C． D．7
【答案】A
【详解】解：把代入，得：，解得：，故选：A．
变式1．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）小明同学在解方程时，把数字看错了，解得，则小明把看成了（ ）
A． B．8 C． D．3
【答案】B
【详解】解：将代入方程，得：
∴，解得：，因此，小明将看成了8，故选：B．
变式2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】小强将方程抄为，解得，
则将代入错误方程得：，解得：．
原方程为：，移项得：，即，解得：．故选：A．
变式3．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得：的解为，
将代入中，得：∴，
再将代入中，得：∴，故选：B．
变式4．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）方程，■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么■处的常数是 ．
【答案】
【详解】将，代入方程中，
得，解得，故答案为：．
考点6.一元一次方程中的整体换元问题
例1．（2024·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
【答案】
【详解】∵，
∴．
∵关于x的一元一次方程的解是x=71，
∴关于(y+1)的一元一次方程的解为：y+1=71，
解得：y=70，故答案为：y=70．
变式1．（2024·江西景德镇·七年级期末）若是关于的方程的解，则关于的方程的解为______．
【答案】
【详解】解：将代入方程，
，整理得，
则，
，解得，故答案为．
变式2．（2024·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
【答案】x=-4
【详解】解：
设7-2x=a，则原方程变形为：
∴
解得，a=15
即7-2x=15，
解得，x=-4
考点7.一元一次方程的新定义问题
例1．（24-25七年级下·山西长治·期中）阅读与思考
阅读下面的内容，并完成相应任务．
美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”．
任务：(1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由．
(2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值．
【答案】(1)不是，理由见解析(2)
【详解】（1）解：方程与不互为“美好方程”，理由如下：
解方程，得，解方程，得，
，方程与不互为“美好方程”；
（2）解：解方程，得，解方程，得，
关于的方程与互为“美好方程”，解得．
变式1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）对于有理数a，b满足，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为．如满足：；满足：；所以数对，都是“相伴有理数对”．(1)若是“相伴有理数对”，求x的值；(2)若是“相伴有理数对”，求 的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵是“相伴有理数对”，∴，解得：；
（2）解：∵是“相伴有理数对”，∴，∴
把代入得：原式．
变式2．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）我们把“”叫做“的阶乘”，其中为正整数．规定：．例如．规定：在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加减，有括号就先算括号里面的．
(1)按照以上的规定，计算： ； ； ；
(2)计算：；(3)已知为整数，求出满足该等式的．
【答案】(1)；；(2)(3)或
【详解】（1）解：；；
；故答案为：；；；
（2）解：；
（3）解：，
，，即，，解得或．
变式3．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”．
(1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值．
(2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值．
(3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值．
【答案】(1)(2)(3)，或，
【详解】（1）解：∵，∴，
∵方程与关于x的方程互为“归一方程”，
∴中的即∴
（2）解：∵，∴，∴，
∵∴∴∴∴
∵关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，
∴∴∴．
（3）解：∵∴∴
∵∴∴
∵关于x的两个方程与互为“归一方程”
∴∴∴
则∴∴
∵m、n为正整数那么，此时，；或，此时，；
综上：，或，
考点8.根据解的情况求参数值
例1．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ．
【答案】
【详解】解：解方程得，
∵a，x为正整数，∴a的值为或，∴所有正整数a的值的和是，故答案为：．
变式1．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ．
【答案】
【详解】解：；；
把代入得：，∴，∴，
∴，故答案为：．
变式2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的方程的解是负整数，则满足条件的整数k的值有 个．
【答案】
【详解】解：∵关于x的方程的解是负整数，∴的值为，，，
解得的值为，，，共个，故答案为：．
变式3．（2024·上海杨浦·八年级期中）当m取___ 时，关于 x的方程mx+m＝2x无解．
【答案】2
【详解】解：移项得：mx﹣2x＝﹣m，合并同类项得：（m﹣2）x＝﹣m．
∵关于 x的方程mx+m＝2x无解，∴m﹣2＝0．解得：m＝2．答案为：2．
变式4．（2024·上海市八年级期中）如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵关于的方程有解，∴，∴；故选：D．
考点9.含绝对值的一元一次方程
例1．（25-26七年级上·吉林长春·阶段练习）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，也可以写成．进一步地，如果数轴上点、分别对应数、，那么、两点间的距离为，比如，表示3的点与的点之间的距离表示为．
(1)如图1，点、点在数轴上对应的数分别为、1，则、两点间的距离为______；
(2)已知、、三个数在数轴上的位置如图2所示，化简：______；
(3)若，则______．
【答案】(1)3(2)(3)或3
【详解】（1）解：、两点间的距离为，故答案为：3．
（2）解：由数轴可知，，
，．
（3）解：表示到2的距离，表示到的距离，
当时，原式变形为，解得，
当时，原式变形为，该方程无解，
当时，原式变形为，解得，
综上所述或3，故答案为：或3．
变式1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）阅读下面的材料，回答问题．
化简，使结果不含绝对值．
解：当，即时，原式；
当，即时，原式．
综上所述，的化简结果为或．
这种解题的方法叫做“分类讨论法”．
请你用“分类讨论法”解一元一次方程：．
【答案】或
【详解】解：当，即时，原方程为，即，解得；
当，即时，原方程为，即，解得．
综上所述，方程的解为或．
变式3．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．例如：，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
[操作发现]（1）如图，数轴上表示1和6的两点之间的距离是______；数轴上表示3和7的两点之间的距离是___；数轴上表示和3的两点之间的距离是___；数轴上表示和的两点之间的距离是____；
[类比探究]（2）可理解为在数轴上______和______两点之间的距离；
[拓展应用]（3）若数轴上分别表示m和的两点A和B之间的距离是24，则m=______；
（4）若，则x=______；
【答案】（1）5，4，6，4；（2），2；（3）22或；（4）1或
【详解】解：（1）数轴上表示1和6的两点之间的距离是，
数轴上表示3和7的两点之间的距离是，
数轴上表示和3的两点之间的距离是，
数轴上表示和的两点之间的距离是，故答案为：5，4，6，4；
（2）可理解为在数轴上和 2两点之间的距离；故答案为：，2；
（3）依题意：，，
或，或，故答案为：22或；
（4），或，或，故答案为：1或．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26七年级上·重庆·课后作业）将方程去括号，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：方程去括号，得：故选： ．
2．（25-26七年级上·江苏·课后作业）如果与的值互为相反数，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．故选：D．
3．（24-25七年级上·广东·期中）下列解方程的步骤正确的是（ ）
A．由，得
B．由，得
C．由，得
D．由，得
【答案】C
【详解】解：A、由，得，故选项计算错误，不符合题意；
B、由，得，故选项计算错误，不符合题意；
C、由，得，故选项计算正确，符合题意；
D、由，得，故选项计算错误，不符合题意；故选：C．
4．（22-23七年级上·浙江·期中）在梯形面积公式中，已知厘米，厘米，平方厘米，则（　　）厘米．
A．1 B．5 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：∵在中，厘米，厘米，平方厘米，
∴，解得（厘米），故选：B．
5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）小红在解方程时，把“”处的系数看错了，解得，她把“”处的系数看成了（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设小红将原方程中的系数“”看成了，则错误的方程为，
把代入该方程：
，
故选：．
6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知关于的方程的解是，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：把代入方程得，解得．故选：D．
7．（24-25七年级上·贵州·期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．由移项，得
B．由去括号，得
C．由系数化为1，得
D．由去分母，得
【答案】D
【详解】解：A．由移项，得，故选项A错误；
B．由去括号，得，故选项B错误；
C．由系数化为1，得，故选项C错误；
D．由去分母，得，故选项D正确；故选：D．
8．（25-26七年级上·浙江·课后作业）小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据小明的错误解法得：，
把代入得：， 解得：，，
去分母得：.
去括号得：.
移项并合并同类项得：.
系数化为得：. 故选：．
9．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【详解】解：把代入方程，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
10．（24-25七年级上·山东淄博·期末）若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·四川巴中·开学考试）k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ．
【答案】或或
【详解】解：∵，∴，∴，
∵关于的一元一次方程有正整数解，
∴，∴，
∴或或，∴或或，故答案为：或或．
12．（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个．
【答案】
【详解】解：
，
，
∵x，k为整数，∴或．故答案为：4．
13．（24-25七年级上·全国·期末）关于x的方程的解与方程的解相同，那么a的值是 ．
【答案】2
【详解】解：
解得，
解得，
∵两个方程的解相同，
∴
解得．
故答案为：2．
14．（25-26七年级上·浙江·课后作业）小明在解方程时，去括号后忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么该方程正确的解为 ．
【答案】
【详解】解：去括号时，忘记将括号中的第二项变号，
得到的方程为：
将代入
得：
所以,，
所以原方程为
解得
即该方程正确的解为
故答案为：．
15．（25-26七年级上·江苏·期中）方程的解为 ．
【答案】
【详解】解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得．
故答案为: ．
16．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．
（1） ．
（2）若，则x的值为 ．
【答案】 2
【详解】（1）．故答案为：，
（2）当，即时，则．
因为，所以，解得．
当，即时，则．
因为，所以，解得（不符合题意，舍去）．
综上所述，若，则x的值为2，故答案为：2．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26七年级上·浙江·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：．
(1)求的值；(2)若的值等于13，求的值．
【答案】(1)11(2)
【详解】（1）解：根据定义，
原式；
（2）解：由题意的得：，
，
，
，
．
18．（24-25七年级上·山东泰安·单元测试）计算：
(1)；(2)； (3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去括号得：，
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（4）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
19．（25-26七年级上·浙江·课后作业）原创题下面是小宇同学解方程的过程，请你仔细阅读，并解答所提出的问题．
解：去括号，得，（第一步）
移项，得，（第二步）
合并同类项，得，（第三步）
两边同除以，得．（第四步）
(1)该同学解答过程从第________步开始出错，错误原因是________(2)写出正确的解答过程．
【答案】(1)一；去括号时，未乘(2)见解析
【详解】（1），
，
故答案为：一；去括号时，未乘．
（2）去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同除以，得．
20．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___；
(2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______；
(3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值．
【答案】(1)1(2)5(3)，
【详解】（1）解：
，
将，代入得，
，
故答案为：1；
（2）解：∵
∴
∴，代入得，
，
，
故答案为：5；
（3）解：由，得，
∵的值为整数，
∴为整数，且取正整数，
∴或或
当时，；
当时，；
当时，；
∵
∴
∴，
∵的值为整数，
∴或或，
当时，；
当时，；
当时，；
∵方程的解也是关于的方程的解，
∴，．
21．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程．
(1)当为何值时，该方程与的解相同？(2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：解方程，得．
将代入，得，解得；
（2）解：由题意，将代入，得，解得．
将代入，得，解得，
所以这个方程正确的解为．
22．（24-25七年级上·上海·期末）已知关于x的方程．(1)若，求该方程的解；(2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值；(3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【详解】（1）解：当时，方程为，
∴，∴，∴，∴；
（2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为，
∴是方程的解，
∴，解得：，∴的值为；
（3）解：∵，∴，∴，∴，
∵取正整数，∴为的正整数倍数．
又∵取最小值，∴，∴，∴的值为．
23．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下面材料：数轴是数学中重要的工具，借助数轴我们可以解决许多问题．点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：
(1)数轴上表示和1的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为______；(3)若，则______；
(4)请你找出所有符合条件的整数，使得．
【答案】(1)4(2)或(3)5或(4)
【详解】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是，故答案为：4；
（2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为，
∴或，解得或，故答案为：或．
（3），∴或，
解得或，故答案为：5或．
（4）解：∵数轴上表示x和的两点之间的距离是，
数轴上表示x和5的两点之间的距离是，
数轴上表示和5的两点之间的距离是，
∴在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到和5表示点的距离之和，
∵，∴表示有理数x的点在和5之间，
∴符合条件的整数有：．
24．（25-26七年级上·山东·课后作业）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“美好方程”．
例如：方程的解为，方程的解为．因为，即这两个方程的解之和为，所以这两个方程互为“美好方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”．
(2)若关于的方程与方程互为“美好方程”，求的值．
(3)若方程与方程互为“美好方程”，求关于的方程的解．
【答案】(1)方程与方程互为“美好方程”(2)(3)
【详解】（1）解：解方程，得．解方程，得．
∵，∴方程与方程互为“美好方程”．
（2）解：解关于的方程，得．解方程，得．
∵关于的方程与方程互为“美好方程”，∴，解得．
（3）解：解方程，得．解关于的方程，得．
∵方程与关于的方程互为“美好方程”，，解得．
将代入，得，解得．
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