资源简介

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专题5.5.一元一次方程的应用
1、体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题；
2、借助立体或平面图形（边长、周长、面积、体积等）学会分析复杂问题中的数量和等量关系。
3、通过生活实例，了解成本、售价、利润、利润率之间的数量关系；
4、能在具体打折问题中找准等量关系，列出方程并求解。
5、借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程，解决实际问题；
6、熟悉路程问题中的速度、路程、时间之间的关系，从而实、现从文字语言到图形语言，从图形语言到符号语言的转化。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.行程问题 3
考点2.配套问题 4
考点3.工程问题 6
考点4.销售（利润）问题 8
考点5.比赛积分 11
考点6.方案优化与选择 13
考点7.数字与日历问题 15
考点8.分段计费问题 19
考点9.和差倍分问题 23
考点10.几何图形问题 24
考点11.数学文化问题 25
模块3：培优训练 28
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．
由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
2.建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系
生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽；长方形周长=2（长+宽）；正方形面积=边长×边长；正方形周长=4边长。
2）约定型数量关系
利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系
在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价；速度×时间=路程；工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系
将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系
当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
3）图解法分析数量关系
用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。
考点1.行程问题
例1.（24-25七年级上·浙江·期中）老师带着两个学生到离校33千米的博物馆参观．老师骑摩托车速度为25千米/小时，这辆摩托车后座可以带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．如果学生步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后用3小时同时到达博物馆．
【答案】老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生，整个过程在路上共计花了3个小时
【详解】解：如图，
设第一个学生搭乘摩托车的路程为x千米，即，则， ，
对于段的相遇问题，可设老师与第二个学生相遇的时间为t小时，
于是得方程： ∴
∴∴
由时间关系，可得方程解方程得
则在路上共计用的时间为
即：老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生，整个过程在路上共计花了3个小时．
变式1．（24-25七年级上·湖南·期末）一天，小明以48米/分钟的速度去上学，5分钟后小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以72米/分钟的速度去追赶小明．求多少分钟后爸爸能追上小明？如果设分钟后爸爸追上小明，依题意可得的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意可得的方程是，故选：A．
变式2．（24-25七年级上·河北衡水·开学考试）一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？
【答案】，两地之间的距离是千米．
【详解】解：设，两地之间的距离是千米，
根据题意得：，解得：，
答：，两地之间的距离是千米．
变式3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是．
求：(1)船在静水中的平均速度；(2)甲、乙两地之间的距离．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：设船在静水中的速度为，依题意得：
，解得，
∴船在静水中的平均速度为；
（2）解：依题意，船在静水中的平均速度为，
∴甲乙两码头之间的距离为，
∴甲乙两码头之间的距离．
考点2.配套问题
例1．（24-25七年级上·重庆·期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）
第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人．
(1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数；
(2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？
【答案】(1)生产盲盒A的工人人数为600人；
(2)该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套．
【详解】（1）解：设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人，
由题意得：，解得：，
∴，
答：生产盲盒A的工人人数为600人；
（2）解：设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B，
由题意得：，解得：，
∴，
答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套．
变式1．（24-25七年级下·重庆·期中）用的原材料可制作5个甲产品或13个乙产品，3个甲产品和7个乙产品组成一套商品出售，现有原材料用以生产两种产品，应如何分配原材料，才能使产成的产品恰好配套成商品？根据题意设制作甲产品所用的原材料体积为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：设制作甲产品所用原材料体积为，则制作乙产品所用原材料体积为．根据题意得，，故选：．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？
【答案】应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套．
【详解】解：设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产甲种零件，由题意得：
，解得，（人．
答：应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套．
变式3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：每张硬纸板剪6个侧面；B方法：每张硬纸板剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问多少张硬纸板用A方法裁剪？能做多少个盒子？
【答案】(1)侧面个数为个，底面的个数为个；
(2)裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，7张硬纸板用A方法裁剪，能做30个盒子．
【详解】（1）解：∵裁剪时x张用A方法，∴裁剪时张用B方法，
∴用B方法裁剪侧面的个数为：（个），
用B方法裁剪底面的个数为：（个），
∴裁剪出的侧面的个数为：个，底面的个数为：个，
（2）解：由题意得：，解得：，
∴盒子的个数为：（个）．
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，7张硬纸板用A方法裁剪，能做30个盒子．
考点3.工程问题
例1．（24-25七年级上·湖北·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元．
(1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？(2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？
(3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费．
【答案】(1)30天(2)60天(3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元
【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程，
则，解得，
答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程．
（2）解：设共需y天才能完成此项工程，则．解得．
答：共需60天才能完成此项工程．
（3）解：甲完成工程所需费用为（万元），
乙完成工程所需费用为（万元）．
甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，
由题意得．解得．
所需费用为：万元．
答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元．
变式1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天．(1)甲、乙两公司合作需要多少天完成？(2)若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？
【答案】(1)12(2)5
【详解】（1）解：设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天．
根据题意，得：，解得，
则，所以（天）．
答：甲、乙两公司合作需要12天完成．
（2）解：设乙公司还需要天可以完成此工程．
根据题意，得：，解得．
答：乙公司还需要5天可以完成此工程．
变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）某开发公司生产若干件某种新产品，需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天，且若由甲单独做，公司需付甲每天的加工费用80元；若由乙单独做，公司需付乙每天的加工费用120元．
(1)设甲单独加工这批新产品要用x天，则乙单独加工这批新产品要用_______天；
(2)在（1）的条件下，求这批新产品的件数；
(3)若公司董事会制定了如下方案：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂同时合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到工厂进行技术指导（若两个工厂同时合作，只需派一名工程师到工厂指导），并由公司为其提供每天10元的午餐补助．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由．
【答案】(1)(2)这批新产品的件数为960(3)两个工厂同时合作完成时，既省时又省钱，见解析
【详解】（1）解：根据题意，得乙单独加工这批新产品要用天，故答案为：；
（2）解：设甲单独加工这批产品用x天，由题意得，，解得：，
（件），答：这个公司要加工960件新产品；
（3）解： ①由甲厂单独加工：需要耗时为（天），需要费用为：（元）；
②由乙厂单独加工：需要耗时为 （天），需要费用为：（元）；
③由两家工厂共同加工：需要耗时为 （天），需要费用为：（元）．
因为，，
所以，甲、乙合作同时完成时，既省钱又省时间．
变式3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾．
(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？
(2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？
【答案】(1)天(2)元
【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，
根据题意得：，解得：，
答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾．
（2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天，
，
答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元．
考点4.销售（利润）问题
例1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）春季来临，某新款运动鞋比较受年轻人喜爱，黑龙江总代理张老板就用240000元购进2000双这款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋在前7天的销售情况记录如下：
销售天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
每天的销售量（单位：双）
(1)这七天共销售运动鞋多少双？(2)计划这批运动鞋全部售完后共获利，则每双鞋的定价应为多少元？(3)若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出，按此定价继续销售，以第五天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按八折销售很快售完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计）
【答案】(1)这七天共销售运动鞋双；(2)每双鞋的定价应为元；
(3)这批运动鞋全部销售后张老板共盈利元．
【详解】（1）解：
（双）．
答：这七天共销售运动鞋双；
（2）解：设每双鞋的定价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：每双鞋的定价应为元；
（3）解：
（元）．
答：这批运动鞋全部销售后张老板共盈利元．
变式1．（24-25七年级上·山西太原·开学考试）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
（1）若一次购物少于200元，则不予优惠．
（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠．
（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．
问题一：小明去该超市购物，付款189元．小明所购商品的原价是多少元？
问题二：小强去该超市购物，付款530元．小强所购商品的原价是多少元？
【答案】问题一：189或210元；问题二：600元
【详解】解：问题一：若一次购物少于200元，则小明所购商品的原价是189元；
若一次购物满200元，但不超过500元，则小明所购商品的原价是元；
综上所述，小明所购商品的原价是189或210元；
问题二：根据题意得：小强所购商品的原价超过500元，
设小强所购商品的原价为x元，根据题意得：
，解得：，
答：小强所购商品的原价为600元．
变式2．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？
【答案】
【详解】解：设至少生产个产品，由题意可得：
，即：，解得：，
答：至少要生产个产品．
变式3．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）超市零食区共有薯片、饼干、坚果三种零食共100袋，其中薯片数量是饼干数量的，坚果有40袋．进货补充后，饼干的总库存数量是薯片总库存数量的．已知坚果的总库存数量是200袋，薯片的总库存数量比坚果的总库存数量多．
(1)求超市零食区原有薯片与饼干各有多少袋？
(2)求进货补充后，超市零食区薯片的总库存和饼干的总库存分别是多少袋？
(3)超市计划将这些零食全部售出，若薯片进价每袋4元，饼干进价每袋2元，坚果进价每袋3.5元．薯片售价每袋6元，饼干售价每袋3元，坚果售价每袋5元．预计在出售过程中，平均每种零食会有因包装破损不能出售，超市全部出售完是赚钱还是赔钱？赚了多少元或赔了多少元？
【答案】(1)超市零食区原有薯片袋，饼干袋
(2)补充后，超市零食区薯片的总库存是袋，饼干的总库存是袋
(3)超市全部出售完是赚钱，赚了元
【详解】（1）解：设超市零食区原有饼干袋，则超市零食区原有薯片袋，
根据题意，得，解得，则（袋），
答：超市零食区原有薯片袋，饼干袋；
（2）解：根据题意，薯片的总库存数量为（袋），
饼干的总库存数量为（袋），
答：补充后，超市零食区薯片的总库存是袋，饼干的总库存是袋；
（3）解：根据题意，总的进货货款为（元）
总的销售额为
（元）
（元）
答：超市全部出售完是赚钱，赚了元．
考点5.比赛积分
例1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）“小组互助”是花园中学办学特色之一．七年级10班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况：
参赛者 A B C D E
答对题数 20 19 18 14 10
答错题数 0 1 2 6 10
得分 100 94 88 64 40
(1)由表格知，答对一题得_____分，答错一题得____分；
(2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？
【答案】(1)5，(2)17道题
【详解】（1）解：由表格中参赛者A的成绩可知：每答对一道题得分，
由表格中参赛者B的成绩可知：每答错一道题得分，故答案为：5，；
（2）解：设答对了x道题，则答错了道题，
根据题意，得，解得，答：答对了17道题．
变式1．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）山西某中学举行英语对话听力挑战赛，每位选手共挑战轮，每轮个题目，每轮结果呈现形式为（其中答对题，答错题），每种不同的结果产生的积分也不相同．甲、乙、丙三位同学的挑战结果如下表：
第轮 第轮 第轮 第轮 总积分
甲
乙
丙
(1)结果为，积___________分；结果为，积___________分．
(2)设的结果积分，请利用方程的知识，求的值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：设结果为 积分，根据乙同学的总积分可得：
，解得，故结果为 积 分；
设结果为积分，根据甲同学的总积分可得：
，解得，故结果为积分；故答案为：；．
（2）解：根据题意列方程为：，解得，故的值为．
变式2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表）：
小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题：
(1)从表中可以看出，负一场积______分，胜一场积_______分；
(2)某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由．
【答案】(1)1，2(2)若该班在12场，胜了6场，则其胜场积分是负场积分的2倍．
【详解】（1）解：由表中最后一行的信息可知，某班12场全负积分为12分，
∴负一场的积分为：（分）；
设胜一场积分，则由表中第一行信息可得：，解得：，
∴胜一场积2分；故答案为：1，2；
（2）解：设该班胜了场，根据题意可得：
，解得：，
∴若某班赛完全部12场，胜了6场，则该班的胜场积分是负场积分的2倍．
答：若该班在12场，胜了6场，则其胜场积分是负场积分的2倍．
变式3（2024·陕西咸阳·模拟预测）为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场．
【答案】该队负了1场
【详解】解：设该队平了x场，则负了场．
由题意得解得则
答：该队负了1场．
考点6.方案优化与选择
例1．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）某游乐园有如表A，B，C三种购票方式：
种类 购票方式
A 一次性使用门票，每张15元
B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票
C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票
(1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示）
(2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明．
(3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用．
【答案】(1)A种购票方式：元；B种购票方式：元；C种购票方式：元．
(2)选择B种购买方式比较优惠 (3)元．
【详解】（1）解：A种购票方式：元；B种购票方式：元；C种购票方式：元．
（2）解：选择B种购买方式比较优惠，理由如下：
当时，元；元．
而，所以，选择B种购买方式比较优惠．
（3）解：设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据题意得， 解之得，．
∴（元），
答：丙在这一年中进入该游乐园所花的费用为元．
变式1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）：
计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费．
(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？
(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？
(3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？
【答案】(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元
(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟
(3)若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元
【详解】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费（元），
答：某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元；
（2）解：由于用计费方法B的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于200分钟，设通话时间是分钟，则，解得，
答：用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟；
（3）解：设通话时间是分钟，由题意可得
，解得，
当通话时间为400分钟时，（元），
（元），
答：若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元．
变式2．（24-25七年级上·重庆·期末）在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话：
问题：(1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？
(2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？
【答案】(1)小明他们一共去了8个成人，4个学生；
(2)购买团体票的方式买票更省钱，见解析，能节省35元钱．
【详解】（1）解：设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生，
根据题意得：，解得：，∴（人）．
答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．
（2）解：若购买15张团体票，需（元），
∵，∴购买团体票的方式买票更省钱，能节省35元钱．
变式3．（24-25七年级上·湖北·期末）小麦和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳鸯锅底．用餐完毕后，小麦去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受．
优惠方式A 可使用“50元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付50元就能获得）．店家规定代金券不兑现、不找零，最多可叠加使用3张．
优惠方式B 除锅底不打折外，其余菜品全部打□折．
小麦选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元．
(1)请用一元一次方程的知识计算一下，优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？
(2)小麦如何付款最省钱？
【答案】(1)优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折(2)小麦应买3张代金券最省钱
【详解】（1）优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打x折，
由题意得，解得，
答：优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打6折；
（2）优惠方式A：若买1张代金券，需要付款 (元）；
若买2张代金券，需要付款（元）；
若买3张代金券，需要付款（元）；
因为，所以选择优惠方式A时，买3张代金券最省钱，需要付款150元；
优惠方式B：需付182元，故小麦应买3张代金券最省钱．
考点7.数字与日历问题
例1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下列按一定规律排列的三行数：
第一行：，4，，16，…：
第二行：0，6，，18，…；
第三行：，2，，8，…
解答下列问题：(1)每一行的第6个数依次是：___________，___________，_________．
(2)分别写出第二行和第三行的第n个数_______，_________．
(3)第一行中是否存在某三个相邻数的和为1536？若存在，求出这三个数；若不存在请说明理由．
【答案】(1)64；66；32(2)；(3)第一行不存在某三个相邻数的和为1536，理由见解析
【详解】（1）解：观察可知，第一行的后面一个数是前面一个数的倍，
∴第一行第6个数为；
观察可知，第二行第n个数比第一行第n个数大2，
∴第二行第6个数为；
观察可知，第三行的后面一个数是前面一个数的倍，
∴第三行第6个数为；故答案为：64；66；32；
（2）解：由（1）可知第一行第n个数为，第三行第n个数为，
∴第二行第n个数为；故答案为：；；
（3）解：第一行不存在某三个相邻数的和为1536，理由如下：
假设存在某三个相邻数的和为1536，
设最前面的那个数为x，则剩下两个数为，
∴，解得，
∵第一行第n个数为，∴第一行第9个数为，
∴512不是第一行的数，∴第一行不存在某三个相邻数的和为1536．
变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）我国公民的“身份号码”共有18位数字，它是由6位区域码，8位出生日期码，3位顺序码，1位校验码构成．例如，某公民的身份号码如图①所示，其中最后一位“X”不是英文字母，而是罗马数字，表示10．
校验码是按照特定的算法得来的，计算方法为：
第一步：将身份号码的前17位数字分别乘以各自对应的系数，如下表所示：
回答下列问题：(1)某人身份号码为“”，若A的值为4，则校验码B的值为_________；若校验码B的值为8，则A的值为_________．
(2)某人身份号码为“”，已知D的值是C的值的2倍，请写出最后的校验码E的值，并说明理由．
(3)如图②，图示中的身份号码被磨损掉了两个数字，若它们的差为1，请直接写出被磨损掉的两个数字．
【答案】(1)，；(2)校验码E的值为7，理由见解析；(3)被磨损掉的两个数字分别为和或者和．
【详解】（1）解： ，
若A的值为4，则校验码B的值为；
若校验码B的值为8，则17位数字和系数相乘的结果相加，再除以11，余数为，
或，或，
或（舍），故答案为：，；
（2）解：校验码E的值为7，理由如下：设C的值是（为整数），则D的值是，
，，，
，，校验码E的值为7；
（3）解：①若磨损掉的第一个数字为，第二个数字为时，则，
校验码E的值为8，，解得：，
被磨损掉的两个数字分别为和；
余数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
校验码 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2
②若磨损掉的第一个数字为，第二个数字为时，则，
校验码E的值为8，，解得：，被磨损掉的两个数字分别为和；
综上可知，被磨损掉的两个数字分别为和或者和．
变式2．（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题：
(1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？
(2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由；
【答案】(1)小明是星期二出发的(2)的值不能等于74，理由见解析
【详解】（1）解：设小明出发的日期是10月的第x天，
根据题意得：，解得，
∴小明出发的日期是10月的第3天，由月历表可知，10月3号为星期二，
答：小明是星期二出发的；
（2）解：的值不能等于74，理由如下：
∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m，∴另外三个数为，
若，则，
∵10月15日在第一列，∴此时不能出现“S型”∴的值不能等于74．
变式3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图，这是2025年1月的月历．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
(1)它的横行、竖列上的相邻两数之间分别有什么关系？
(2)如果一竖列上连续三个数的和为48，你能知道这三个数分别是多少吗？
(3)如果用一个正方形圈出四个数，这四个数的和能等于60吗？若能，请求出圈出的四个数分别是多少；若不能，请说明理由．
【答案】(1)横行上的相邻两数之间的关系为：后一个数与前一个数的差为，竖列上的相邻两数之间的关系为：下一列的数与上一列的数的差是；(2)这三个数分别是、、(3)不能，理由见详解
【详解】（1）解：横行上的相邻两数之间的关系为：后一个数与前一个数的差为，
竖列上的相邻两数之间的关系为：下面一行的数与上面一行的数的差是；
（2）解：设中间的数为，则有，解得，
所以，，故这三个数分别是、、；
（3）解：不能；理由如下：设最左上角的数为，则有
，解得，所以，，，
所以四个数分别是、、、，由日历得与不在同一列，与不在同一列，
故不能用一个正方形圈出四个数，这四个数的和不能等于60．
考点8.分段计费问题
例1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过12的部分 a元/
超过12但不超过20的部分 元/
超过20的部分 元/
(1)某户4月份用了13的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示）
(2)设某户月用水量为n，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n的式子表示）
(3)当时，甲、乙两户一个月共用水32，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x的式子表示）
【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元
【详解】（1）解：根据题意，得，当时，每费用为 元，当时，每费用为元，
故本月总费用为：（元） 故该用户4月份应缴纳的水费为元．
（2）解：根据题意，得，，故不超过12的部分费用为：（元）；
超过12但不超过20的部分费用为：（元）；
超过20的部分费用为：（元），
故该户应缴纳的水费为： (元)．答：应交电费元．
（3）解：根据题意，得，且元，
根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，故；
当时，甲户用水量超过12但不超过20，乙户用水量不少于12但少于20，
所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
（元）．
当时，甲的用水量超过20乙的用水量不超过12，
所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
元．
综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元．
变式1．（24-25七年级上·浙江·课后作业）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用管道天然气用气量及价格分为三档，其中：
用气量 年用气量 价格
第一档 不超出的部分 3.0
第二档 超出，不超出的部分 a
第三档 超出的部分
(1)若甲用户2024年前三个月已使用天然气，则应缴费________元．
(2)若乙用户2024年已使用天然气，则应缴费________元．（用含a的代数式表示）
(3)已知丙用户2024年用气量为，当时，请用含x的代数式表示丙用户这一年的燃气费．
【答案】(1)600(2)
(3)当丙用户用气量不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过时，支出的燃气费为元
【详解】（1）解：甲用户使用天然气，因为不超过，价格为元.
故费用为：（元）.
（2）解：乙用户年已使用天然气，为两段缴费：不超过和在和之间两段进行缴费：(元)；
（3）解：丙用户用气量不确定，需进行分类讨论：
当时：缴费：元；
当时：缴费：（元），
当时，（元）
当时：缴费：
当时，
（元）
综上所述：丙用户这一年的燃气费为：当丙用户用气量不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过时，支出的燃气费为元
变式2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）根据以下素材，探索未完成的任务．
水费、用水量是多少？
素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”．
素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨．第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨．第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处理费为1元/吨．
素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下：
自来水费 （元）
污水处理费 （元）
水费 （元）
问题解决
任务1 确定污水处理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为67元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？
任务2 确定水费 某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？
任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费210元，则该用户5、6月份各用水多少吨？
【答案】任务1：该用户12月份需缴污水处理费19元；任务2：应缴水费为元；任务3：该用户5、6月份各用水、吨
【详解】解：任务1：设该用户12月份的用水量为x吨，则该用户12月份需缴污水处理费x元，
∵（元），（元），，
∴．根据题意得：，解得：．
答：该用户12月份需缴污水处理费19元；
任务2：根据题意得：当时，应缴水费元；
当时，应缴水费元；
当时，应缴水费元．
答：应缴水费为元；
任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则该用户6月份的用水量为吨，
当时，，解得：（不符合题意，舍去）；
当时，，解得：，
∴（吨）．
答：该用户5、6月份各用水、吨．
考点9.和差倍分问题
例1．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的．
(1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？
(2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？
(3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？
【答案】(1)240人(2)B街路：144人；C街路：216人(3)72人
【详解】（1）解：（人），
∴参加A街路清冰雪劳动共有240人；
（2）解：设参加C街路的清冰雪劳动有x人，
；，，
∴参加B街路的清冰雪劳动有144人，C街路的清冰雪劳动有216人；
（3）设参加清冰雪劳动的居民有y人，，，
∴参加清冰雪劳动的居民有72人．
变式1．（24-25七年级上·浙江·单元测试）某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？
【答案】656人
【详解】解：设这个工厂原有男工x人，
根据题意得：，解得，
答：这个工厂原有男工656人．
变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）《九章算术》是我国古代的一部自成体系的数学专著．其中有一题大意如下：今有人合伙买宝石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差3钱．问人数、宝石价格分别是多少．
【答案】人数为42，宝石价格为17钱
【详解】解：设人数为．根据题意，得，解得．
∴宝石价格为（钱），
答：人数为，宝石价格为钱．
变式3．（25-26七年级上·浙江·课后作业）古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题．
【答案】壶中原来有斗酒．
【详解】解：设壶中原来有斗酒，则他第一次遇店又见花后，壶中有斗酒；
第二次遇店又见花后，壶中有斗酒；
第三次遇店又见花后，壶中有斗酒．
由题意，得，解得．故壶中原来有斗酒．
考点10.几何图形问题
例1.（2024·陕西·西安七年级期末）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
【答案】每一个长条的面积为．
【详解】解：设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是，由题意得：，解得：，则．
答：每一个长条的面积为．
变式1．（24-25浙江八年级期中）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同的管子在容器的高度处（即管子底端离容器底）连通．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示、，若每分钟同时向乙和丙注入等量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则注水___________分钟后，甲与乙的水位高度之差是．
【答案】，
【详解】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，且注水1分钟，乙的水位上升，∴注水1分钟，丙的水位上升，
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差为2cm，则可分：
①当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，则有：∴，解得：；
∵，∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵分钟，cm，即经过分钟丙容器的水达到管子底部，乙的水位上升cm，
∴，解得：；
②当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为：分钟，
∴，解得：；
综上所述：开始注入，分钟的水量后，甲乙的水位高度之差是2cm；故答案为，．
变式2．（25-26七年级上·广东·课后作业）如图，长为50cm、宽为的大长方形被分割成8块．除阴影A，B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边的长为．
(1)由图可知，每块小长方形较长一边的长为________cm（用含a的代数式表示），图中2块阴影部分的周长和为________cm（用含x的代数式表示）．(2)当a为何值时，2块阴影部分的周长相等？
【答案】(1)，(2)当时，2块阴影部分的周长相等．
【详解】（1）解：根据图形得的最长边为cm，
观察图形可得，的长+的宽=cm，的宽+的长=cm，
所以两块阴影的周长和的长的宽的长的宽的长的宽的宽的长（cm）；故答案为：，；
（2）解：的周长为的周长为，
令，，
解得．故当时，块阴影部分的周长相等．
考点11.数学文化问题
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题．
【答案】小和尚有人，大和尚有人．
【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人，
由题意得，，解得，（人），
答：小和尚有人，大和尚有人．
变式1．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车．
【答案】有人，辆车．
【详解】解：设共有辆车，
根据题意得，，解得，∴人，
答：有人，辆车．
变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．”意思是驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为 ．
【答案】
【详解】解：设太仓距上林里，依题意得：．故答案为：．
变式3．（25-26七年级上·浙江·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中有一道读书问题，其大意是有个学生三天读完一本书，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天分别读多少个字．已知这本书共有34685个字，则他第二天读了 个字．
【答案】9910
【详解】解：设他第一天读了个字，
根据题意，得，解得， 则，答案为：9910．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（ ）
A．8 B．14 C．10 D．12
【答案】C
【详解】解：设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，根据题意得：
，即，解得：，
故需要有10名工人生产茶壶，故选：C．
2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，
∴借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人．
根据题意得：．故选：B．
3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人，
由题意可得，，故选：D．
4．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（ ）
A．63 B．98 C．126 D．161
【答案】C
【详解】设最中间的数为x，
∴这7个数分别为、、、x、、、，
∴这7个数的和为：，
当时，此时，当时，此时，
当时，此时，当时，此时，
由图可知，当时，右面没有数字，∴时不符合题意，故选：C．
5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可列方程．故选B．
6．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，在一个的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方、在金庸先生的武侠著作《射雕英雄传》中的女主角黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九服一，左七右三，五居中央”，如图①就是这个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：根据题意：，解得：，故选：B．
7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）某件工程甲独做需7天完成，乙独做需11天完成．现甲和乙合作共同完成此项工程．中途乙因病少做了4天，若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设完成此项工程共需天，根据题意得：．故选：C
8．（25-26七年级上·贵州遵义·开学考试）商店以80元一件的价格购进一批衬衫，并以的利润率出售，过了一段时间发现还剩下150件，于是打九折出售，又过了一段时间发现一共卖掉了总量的，于是将最后几件按进货价出售，最后商店共获利2300元，则商店一共进了（ ）件衬衫．
A．180 B．200 C．240 D．300
【答案】B
【详解】解：，设商店一共进了x件衬衫，则第一次卖出去，则第二次售出件，根据题意可知：，
整理得：，解得：，答：商店一共进了200件衬衫．故选：B
9．（25-26七年级上·浙江·课后作业）“曹冲称象”是流传很广的故事．按照他的方法，先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工的体重均为60kg，设每块条形石重xkg，则下列选项中，正确的是（ ）
A．根据题意，得 B．根据题意，得
C．该象的质量是2580kg D．每块条形石重130kg
【答案】C
【详解】解：根据题意可得方程： 则错误；
解上面的方程得：， 故错误；大象的质量是，故正确 ．
故选：．
10．（25-26七年级上·浙江·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设他家这个月共用天然气，
（元），且， 他家这个月用天然气超过，
根据题意得：， 解得， 答：他家这个月共用天然气， 故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程：
【答案】
【详解】解：设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，
∵甲单独做需要14小时完成，乙单独做需要11小时完成，
∴甲的工作效率为，乙的工作效率为，由题意得，
故答案为：．
12．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）在2025年江苏省城市足球联赛(“苏超”)中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了 场比赛．
【答案】85
【详解】解：设总比赛场次为场
第一阶段∶单循环赛制，每支球队都要与其他球队比赛一场；每支球队需比赛的场次为球队总数减(不与自己比赛)，支球队共比赛场，但每场比赛被重复计算两次，所以需除以得到实际场次．
（场）
第二阶段∶淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军，
因此，总场次等于第一阶段循环赛场次加上第二阶段淘汰赛场次，（场），故答案为：．
13．（24-25七年级上·山东济南·开学考试）东东把12升的水倒入图的两个容器中，刚好都倒满，已知圆柱体容器和圆锥体容器的底面积相等，则圆柱体容器的容积是 升，圆锥容器的容积是 升．
【答案】 9 3
【详解】解：设圆柱体容器的容积是x升，则圆锥体容器的容积是升，
由题意得：，解得，∴，
即圆柱体容器的容积是9升，圆锥容器的容积是3升，故答案为：9，3．
14．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）客、货两车同时从A、B两地相向而行，在距A地100千米处第一次相遇，各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距B地60千米处第二次相遇．A、B两地相距 千米．
【答案】240
【详解】解：设A，B 两地相距千米，第一次相遇时客货两车走过一个x，其中客车走过100千米，第二次相遇时俩车共走过，其中客车走过千米，同时可知客车走过的路程为千米，
则解得，即A，B 两地相距千米，故答案为：240．
15．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分．
【答案】
【详解】设最低分做对的题目数题，则做错题，
由题意得，，解得，∴低分做对的题目数10题，
∵每个人的得分都不相同，
∴所有另外9个同学的对题数最少是：11、12、13、14、15、16、17、18、19，
因此第一名至少得：（分），故答案为：．
16．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米．
【答案】130
【详解】解：设第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米，
根据长方形展板上下对边相等，得，解得，
展板的长是（米），展板的宽是（米），
长方形展板的面积是（平方米）．故答案为：130．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人．
(1)求新调入多少名工人？
(2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？
【答案】(1)新调入8名工人(2)应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套
【详解】（1）解：设调入x名工人，由题意可得：
，
解得，
答：新调入8名工人；
（2）解：由（1）得工人总人数为（名），
设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，
由题意可得，，
解得：，
答：应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．
18．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表：
购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上
参观门票价格（元/人） 50 45 40 35
去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元．
(1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？
(2)你能确定两班各有多少名学生吗？
(3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？
【答案】(1)有，可以节约740元钱(2)1班有58人，2班有45人(3)购买151张，总票价为5285元
【详解】（1）解：有．可以节约（元）．
（2）解：设1班有x人，则2班有人，根据题意，有两种情况：
若1班和2班人数都在51～100之间，
（不符合题意，舍去）；
若1班人数是51～100，2班是1～50，
，
解得：，则，
答：1班有58人，2班有45人；
（3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价元．
若买151张票，总票价为元，
∵，∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元．
19．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）．
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
(1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分；
(2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？
(3)若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由．
【答案】(1)；(2)胜2场，负9场(3)不可能实现，理由见解析
【详解】（1）解：观察C队和D队积分可知，球队胜一场积分，
负一场积分，球队胜一场积2分，负一场积1分．故答案为：2；1．
（2）解：设E队胜场，则负场，由题意得，，解得：，
，
答：E队已经进行了11场比赛中胜2场，负9场．
（3）解：不可能实现，理由如下：
每个球队各有18场比赛，D队已经进行了11场比赛，
D队还有场比赛，
假设D队剩下7场全胜，则最终积分，
又，D队不可能实现最终积分达到32分．
20．（24-25七年级上·河北沧州·期中）一辆快车从A地匀速驶往B地，同时一辆慢车从B地匀速驶往A地，两车行驶时相遇，相遇地点距B地．相遇后再行驶，快车到达B地，休息后立即以原速返回，驶往A地．(1)快车的速度是_____，慢车的速度是_____；A、B两地的距离是_____；
(2)从两车出发直至慢车到达A地的过程中，经过几小时两车相距？
【答案】(1)120，60，360(2)经过1小时或3小时或5小时两车相距180km
【详解】（1）解：∵两车同时出发，行驶时相遇，相遇地点距地，
∴慢车的行驶速度为：，
又∵相遇后再行驶，快车到达地，∴快车行驶了，
∴快车的速度为，∴、两地的距离是：
故答案为：；；；
（2）解：设从两车出发直至慢车到达地的过程中，经过小时两车相距，则有三种情况：
①两车相遇前：，解得：；
②两车相遇后：，解得：；
③时，快车行驶了，∴快车到达地，休息后，时，
此时两车已经相距：，∴，解得：．
答：经过小时或小时或小时两车相距．
21．（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天．(1)乙工程队单独完成需要多少天？
(2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？
【答案】(1)天(2)天
【详解】（1）解：，
答：乙工程队单独完成需要天；
（2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，
由题意得，，解得，
答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠．
22．（24-25七年级下·重庆渝北·自主招生）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？
(2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【答案】(1)购进甲商品40件，乙商品20件(2)小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件
【详解】（1）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
由题意得，，解得：，则．
答：购进甲商品40件，乙商品20件．
（2）解：设第一天购买乙种商品件，
依题意得，或，解得或（舍去），
所以第一天购买乙种商品5件．
元，每件乙种商品售价为80元．
设第二天购买甲种商品件，
依题意得，或，解得或9，
所以第二天购买甲种商品8或9件，件或件．
答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件．
23．（24-25七年级上·山东·期中）如图是年月份的月历，请解决下列问题：
星期天 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
(1)竖排相邻各数间有什么关系？横排相邻各数间有什么关系？
(2)从左上到右下的对角线上相邻各数间有什么关系？从右上到左下的对角线上相邻各数间有什么关系？
(3)暑假期间小明和家人外出游玩天，这天的日期之和是，小明是几号出去玩的？
【答案】(1)竖排相邻各数间相差，横排相邻各数间相差
(2)从左上到右下的对角线上相邻各数间相差，从右上到左下的对角线上相邻各数间相差 (3)号
【详解】（1）解：由月历可得，竖排相邻各数间相差，横排相邻各数间相差；
（2）解：由月历可得，从左上到右下的对角线上相邻各数间相差，从右上到左下的对角线上相邻各数间相差；
（3）解：设小明是号出去玩的，
由题意得，，解得，
答：小明是号出去玩的．
24．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）【阅读思考】在一个的方格中写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，得到的的方格称为三阶幻方．例如图1就是一个三阶幻方．


(1)在图2是的空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方．
(2)如图3是一个三阶幻方，根据方格中已给的信息，得到________；
(3)如图4是某月的日历，将带阴影的方框中的9个数（如图所示）重新排列能否构成一个三队幻方？ 如能，请在备用图中构造三阶幻方；如不能，请说明理由．
(4)如图5，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 构成一个“异幻方”，现将，，，2，3，4、6，7填入图6构成“异幻方”，部分数据已填入，则 ________．
【答案】(1)见解析（答案）(2)3(3)能，见解析(4)或
【详解】（1）解：如下表：
6 1 2
3 7
4 5 0
（2）由题意知，解得，故答案为：3；
（3）解：∵，
∴只要使每行、每列、每条对角线上的三个数的和为33即可．如下表：
12 3 18
17 11 5
4 19 10
（4）解：每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，
每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等，
每个三角形的三个顶点上的数字之和，
，，，，，
所给的数剩下7，6，3，2，，，
，，，或，，，，
或，
或 故答案为∶或．
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专题5.5.一元一次方程的应用
1、体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题；
2、借助立体或平面图形（边长、周长、面积、体积等）学会分析复杂问题中的数量和等量关系。
3、通过生活实例，了解成本、售价、利润、利润率之间的数量关系；
4、能在具体打折问题中找准等量关系，列出方程并求解。
5、借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程，解决实际问题；
6、熟悉路程问题中的速度、路程、时间之间的关系，从而实、现从文字语言到图形语言，从图形语言到符号语言的转化。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.行程问题 3
考点2.配套问题 4
考点3.工程问题 6
考点4.销售（利润）问题 8
考点5.比赛积分 11
考点6.方案优化与选择 13
考点7.数字与日历问题 15
考点8.分段计费问题 19
考点9.和差倍分问题 23
考点10.几何图形问题 24
考点11.数学文化问题 25
模块3：培优训练 28
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．
由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
2.建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系
生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽；长方形周长=2（长+宽）；正方形面积=边长×边长；正方形周长=4边长。
2）约定型数量关系
利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系
在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价；速度×时间=路程；工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系
将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系
当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
3）图解法分析数量关系
用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。
考点1.行程问题
例1.（24-25七年级上·浙江·期中）老师带着两个学生到离校33千米的博物馆参观．老师骑摩托车速度为25千米/小时，这辆摩托车后座可以带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．如果学生步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后用3小时同时到达博物馆．
变式1．（24-25七年级上·湖南·期末）一天，小明以48米/分钟的速度去上学，5分钟后小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以72米/分钟的速度去追赶小明．求多少分钟后爸爸能追上小明？如果设分钟后爸爸追上小明，依题意可得的方程是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·河北衡水·开学考试）一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？
变式3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是．
求：(1)船在静水中的平均速度；(2)甲、乙两地之间的距离．
考点2.配套问题
例1．（24-25七年级上·重庆·期中）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）
第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人．
(1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数；
(2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？
变式1．（24-25七年级下·重庆·期中）用的原材料可制作5个甲产品或13个乙产品，3个甲产品和7个乙产品组成一套商品出售，现有原材料用以生产两种产品，应如何分配原材料，才能使产成的产品恰好配套成商品？根据题意设制作甲产品所用的原材料体积为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？
变式3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：每张硬纸板剪6个侧面；B方法：每张硬纸板剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问多少张硬纸板用A方法裁剪？能做多少个盒子？
考点3.工程问题
例1．（24-25七年级上·湖北·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元．
(1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？(2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？
(3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费．
变式1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天．(1)甲、乙两公司合作需要多少天完成？(2)若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？
变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）某开发公司生产若干件某种新产品，需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天，且若由甲单独做，公司需付甲每天的加工费用80元；若由乙单独做，公司需付乙每天的加工费用120元．
(1)设甲单独加工这批新产品要用x天，则乙单独加工这批新产品要用_______天；
(2)在（1）的条件下，求这批新产品的件数；
(3)若公司董事会制定了如下方案：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂同时合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到工厂进行技术指导（若两个工厂同时合作，只需派一名工程师到工厂指导），并由公司为其提供每天10元的午餐补助．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由．
变式3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾．
(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？
(2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？
考点4.销售（利润）问题
例1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）春季来临，某新款运动鞋比较受年轻人喜爱，黑龙江总代理张老板就用240000元购进2000双这款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋在前7天的销售情况记录如下：
销售天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
每天的销售量（单位：双）
(1)这七天共销售运动鞋多少双？(2)计划这批运动鞋全部售完后共获利，则每双鞋的定价应为多少元？(3)若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出，按此定价继续销售，以第五天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按八折销售很快售完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计）
变式1．（24-25七年级上·山西太原·开学考试）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
（1）若一次购物少于200元，则不予优惠．
（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠．
（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．
问题一：小明去该超市购物，付款189元．小明所购商品的原价是多少元？
问题二：小强去该超市购物，付款530元．小强所购商品的原价是多少元？
变式2．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？
变式3．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）超市零食区共有薯片、饼干、坚果三种零食共100袋，其中薯片数量是饼干数量的，坚果有40袋．进货补充后，饼干的总库存数量是薯片总库存数量的．已知坚果的总库存数量是200袋，薯片的总库存数量比坚果的总库存数量多．
(1)求超市零食区原有薯片与饼干各有多少袋？
(2)求进货补充后，超市零食区薯片的总库存和饼干的总库存分别是多少袋？
(3)超市计划将这些零食全部售出，若薯片进价每袋4元，饼干进价每袋2元，坚果进价每袋3.5元．薯片售价每袋6元，饼干售价每袋3元，坚果售价每袋5元．预计在出售过程中，平均每种零食会有因包装破损不能出售，超市全部出售完是赚钱还是赔钱？赚了多少元或赔了多少元？
考点5.比赛积分
例1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）“小组互助”是花园中学办学特色之一．七年级10班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况：
参赛者 A B C D E
答对题数 20 19 18 14 10
答错题数 0 1 2 6 10
得分 100 94 88 64 40
(1)由表格知，答对一题得_____分，答错一题得____分；
(2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？
变式1．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）山西某中学举行英语对话听力挑战赛，每位选手共挑战轮，每轮个题目，每轮结果呈现形式为（其中答对题，答错题），每种不同的结果产生的积分也不相同．甲、乙、丙三位同学的挑战结果如下表：
第轮 第轮 第轮 第轮 总积分
甲
乙
丙
(1)结果为，积___________分；结果为，积___________分．
(2)设的结果积分，请利用方程的知识，求的值．
变式2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表）：
小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题：
(1)从表中可以看出，负一场积______分，胜一场积_______分；
(2)某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由．
变式3（2024·陕西咸阳·模拟预测）为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场．
考点6.方案优化与选择
例1．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）某游乐园有如表A，B，C三种购票方式：
种类 购票方式
A 一次性使用门票，每张15元
B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票
C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票
(1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示）
(2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明．
(3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用．
变式1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）：
计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费．
(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？
(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？
(3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？
变式2．（24-25七年级上·重庆·期末）在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话：
问题：(1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？
(2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？
变式3．（24-25七年级上·湖北·期末）小麦和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳鸯锅底．用餐完毕后，小麦去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受．
优惠方式A 可使用“50元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付50元就能获得）．店家规定代金券不兑现、不找零，最多可叠加使用3张．
优惠方式B 除锅底不打折外，其余菜品全部打□折．
小麦选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元．
(1)请用一元一次方程的知识计算一下，优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？
(2)小麦如何付款最省钱？
考点7.数字与日历问题
例1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下列按一定规律排列的三行数：
第一行：，4，，16，…：
第二行：0，6，，18，…；
第三行：，2，，8，…
解答下列问题：(1)每一行的第6个数依次是：___________，___________，_________．
(2)分别写出第二行和第三行的第n个数_______，_________．
(3)第一行中是否存在某三个相邻数的和为1536？若存在，求出这三个数；若不存在请说明理由．
变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）我国公民的“身份号码”共有18位数字，它是由6位区域码，8位出生日期码，3位顺序码，1位校验码构成．例如，某公民的身份号码如图①所示，其中最后一位“X”不是英文字母，而是罗马数字，表示10．
校验码是按照特定的算法得来的，计算方法为：
第一步：将身份号码的前17位数字分别乘以各自对应的系数，如下表所示：
回答下列问题：(1)某人身份号码为“”，若A的值为4，则校验码B的值为_________；若校验码B的值为8，则A的值为_________．
(2)某人身份号码为“”，已知D的值是C的值的2倍，请写出最后的校验码E的值，并说明理由．
(3)如图②，图示中的身份号码被磨损掉了两个数字，若它们的差为1，请直接写出被磨损掉的两个数字．
变式2．（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题：
(1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？
(2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由；
变式3．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图，这是2025年1月的月历．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
(1)它的横行、竖列上的相邻两数之间分别有什么关系？
(2)如果一竖列上连续三个数的和为48，你能知道这三个数分别是多少吗？
(3)如果用一个正方形圈出四个数，这四个数的和能等于60吗？若能，请求出圈出的四个数分别是多少；若不能，请说明理由．
考点8.分段计费问题
例1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过12的部分 a元/
超过12但不超过20的部分 元/
超过20的部分 元/
(1)某户4月份用了13的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示）
(2)设某户月用水量为n，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n的式子表示）
(3)当时，甲、乙两户一个月共用水32，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x的式子表示）
变式1．（24-25七年级上·浙江·课后作业）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用管道天然气用气量及价格分为三档，其中：
用气量 年用气量 价格
第一档 不超出的部分 3.0
第二档 超出，不超出的部分 a
第三档 超出的部分
(1)若甲用户2024年前三个月已使用天然气，则应缴费________元．
(2)若乙用户2024年已使用天然气，则应缴费________元．（用含a的代数式表示）
(3)已知丙用户2024年用气量为，当时，请用含x的代数式表示丙用户这一年的燃气费．
变式2．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）根据以下素材，探索未完成的任务．
水费、用水量是多少？
素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”．
素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨．第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨．第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处理费为1元/吨．
素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下：
自来水费 （元）
污水处理费 （元）
水费 （元）
问题解决
任务1 确定污水处理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为67元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？
任务2 确定水费 某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？
任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费210元，则该用户5、6月份各用水多少吨？
考点9.和差倍分问题
例1．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的．
(1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？
(2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？
(3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？
变式1．（24-25七年级上·浙江·单元测试）某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？
变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）《九章算术》是我国古代的一部自成体系的数学专著．其中有一题大意如下：今有人合伙买宝石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差3钱．问人数、宝石价格分别是多少．
变式3．（25-26七年级上·浙江·课后作业）古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题．
考点10.几何图形问题
例1.（2024·陕西·西安七年级期末）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
变式1．（24-25浙江八年级期中）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同的管子在容器的高度处（即管子底端离容器底）连通．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示、，若每分钟同时向乙和丙注入等量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则注水___________分钟后，甲与乙的水位高度之差是．
变式2．（25-26七年级上·广东·课后作业）如图，长为50cm、宽为的大长方形被分割成8块．除阴影A，B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边的长为．
(1)由图可知，每块小长方形较长一边的长为________cm（用含a的代数式表示），图中2块阴影部分的周长和为________cm（用含x的代数式表示）．(2)当a为何值时，2块阴影部分的周长相等？
考点11.数学文化问题
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题．
变式1．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车．
变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．”意思是驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为 ．
变式3．（25-26七年级上·浙江·课后作业）我国古代著作《增删算法统宗》中有一道读书问题，其大意是有个学生三天读完一本书，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天分别读多少个字．已知这本书共有34685个字，则他第二天读了 个字．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（ ）
A．8 B．14 C．10 D．12
2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（ ）
A．63 B．98 C．126 D．161
5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，在一个的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方、在金庸先生的武侠著作《射雕英雄传》中的女主角黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九服一，左七右三，五居中央”，如图①就是这个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）某件工程甲独做需7天完成，乙独做需11天完成．现甲和乙合作共同完成此项工程．中途乙因病少做了4天，若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26七年级上·贵州遵义·开学考试）商店以80元一件的价格购进一批衬衫，并以的利润率出售，过了一段时间发现还剩下150件，于是打九折出售，又过了一段时间发现一共卖掉了总量的，于是将最后几件按进货价出售，最后商店共获利2300元，则商店一共进了（ ）件衬衫．
A．180 B．200 C．240 D．300
9．（25-26七年级上·浙江·课后作业）“曹冲称象”是流传很广的故事．按照他的方法，先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工的体重均为60kg，设每块条形石重xkg，则下列选项中，正确的是（ ）
A．根据题意，得 B．根据题意，得
C．该象的质量是2580kg D．每块条形石重130kg
10．（25-26七年级上·浙江·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程：
12．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）在2025年江苏省城市足球联赛(“苏超”)中，13个地级市分别组建代表队，于5月10日正式开赛．比赛分为常规赛和淘汰赛两个阶段：第一阶段为常规赛，13支球队采用单循环赛制，前八名进入淘汰赛；第二阶段采用单回合淘汰赛制，分3轮共进行7场比赛，单场定胜负，最终决出联赛冠军．那么本次联赛共进行了 场比赛．
13．（24-25七年级上·山东济南·开学考试）东东把12升的水倒入图的两个容器中，刚好都倒满，已知圆柱体容器和圆锥体容器的底面积相等，则圆柱体容器的容积是 升，圆锥容器的容积是 升．
14．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）客、货两车同时从A、B两地相向而行，在距A地100千米处第一次相遇，各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距B地60千米处第二次相遇．A、B两地相距 千米．
15．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分．
16．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人．
(1)求新调入多少名工人？
(2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？
18．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表：
购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上
参观门票价格（元/人） 50 45 40 35
去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元．
(1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？
(2)你能确定两班各有多少名学生吗？
(3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？
19．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）．
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
(1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分；
(2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？
(3)若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由．
20．（24-25七年级上·河北沧州·期中）一辆快车从A地匀速驶往B地，同时一辆慢车从B地匀速驶往A地，两车行驶时相遇，相遇地点距B地．相遇后再行驶，快车到达B地，休息后立即以原速返回，驶往A地．(1)快车的速度是_____，慢车的速度是_____；A、B两地的距离是_____；
(2)从两车出发直至慢车到达A地的过程中，经过几小时两车相距？
21．（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天．(1)乙工程队单独完成需要多少天？
(2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？
22．（24-25七年级下·重庆渝北·自主招生）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？
(2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
23．（24-25七年级上·山东·期中）如图是年月份的月历，请解决下列问题：
星期天 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
(1)竖排相邻各数间有什么关系？横排相邻各数间有什么关系？
(2)从左上到右下的对角线上相邻各数间有什么关系？从右上到左下的对角线上相邻各数间有什么关系？
(3)暑假期间小明和家人外出游玩天，这天的日期之和是，小明是几号出去玩的？
24．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）【阅读思考】在一个的方格中写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，得到的的方格称为三阶幻方．例如图1就是一个三阶幻方．


(1)在图2是的空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方．
(2)如图3是一个三阶幻方，根据方格中已给的信息，得到________；
(3)如图4是某月的日历，将带阴影的方框中的9个数（如图所示）重新排列能否构成一个三队幻方？ 如能，请在备用图中构造三阶幻方；如不能，请说明理由．
(4)如图5，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 构成一个“异幻方”，现将，，，2，3，4、6，7填入图6构成“异幻方”，部分数据已填入，则 ________．
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