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专题5.6 一元一次方程中的含参问题
解决含参问题的主要策略：
主元思想：当方程中既有未知数 又有参数时，把参数当作已知数，把 当作未知数来解方程。这是处理所有含参问题的基础。
分类讨论：当参数取值不同会影响方程的解的情况时（比如整数解问题、有解无解问题），必须对参数的所有可能取值进行讨论，做到不重不漏。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1. 利用一元一次方程定义求参数 2
考点2. 利用一元一次方程的解求参数 3
考点3. 同解方程问题 4
考点4. 方程的解有特定关系求参数 5
考点5. 整数解问题 7
考点6. 错解问题 8
考点7. 新定义运算问题 10
考点8. 方程有解/无解问题 12
考点9. 含参数的一元一次方程 13
模块3：培优训练 15
1. 利用一元一次方程定义求参数
根据一元一次方程的定义（含一个未知数、未知数最高次数为1、整式方程），需同时满足：
二次项系数为0 ：例如方程中出现x 项时，需令其系数m -4=0，解得m=±2 1
一次项系数≠0 ：如(m-2)x的系数m-2≠0，排除m=2的情况。
2. 整数解问题
要求方程的解是整数或正整数。
先求出含参数的解，令分母是分子的因数，讨论参数取值。
在求解过程中某一步出错，但给出了错解。
将错解代入错误的方程求出看错的参数，再解正确的方程。
3. 方程有解/无解问题
讨论参数为何值时，方程有解、无解或有无数解。
将方程化为ax=b形式。1）有唯一解a；2）无解：a=0 且b ；3）有无数解：a=0 且 b=0。
4. 含参数的一元一次方程
一元一次方程ax=b的解由a，b共同决定。
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
考点1. 利用一元一次方程定义求参数
例1．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）如果关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．不存在
【答案】C
【详解】解：∵方程是一元一次方程，∴，解得，故选：C．
变式1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）若是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴且∴．故答案为：．
变式2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】1
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴由得或，解得或，
又∵，即，∴，故答案为：．
考点2. 利用一元一次方程的解求参数
例1．（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ．
【答案】
【详解】解∶∵是关于的一元一次方程的解，
∴，∴，故答案为：．
变式1．（24-25七年级上·广东佛山·期末）若方程 的解为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查方程的解，把代入方程求出a的值解答即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得，
故答案为：．
变式2.（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如果是关于的方程的解，求的值．
【答案】21
【详解】解：由题意知，，整理得，，
∴．
变式3.（24-25七年级上·成都·阶段练习）已知，为常数，关于的方程，无论为何值，它的解总是，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：把代入关于的方程 得：，
，，，，
∵无论为何值，它的解总是∴无论为何值，恒成立，
，解得：，，故答案为：．
考点3. 同解方程问题
例1．（25-26七年级上·山东·课后作业）如果关于的方程的解与方程的解相同，那么的值为 ．
【答案】
【详解】解：；；
的解与方程的解相同
把代入得：；. 故答案为：.
变式1．（24-25七年级上·浙江·课后作业）已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为 ．
【答案】
【详解】解：解方程
移项可得
通分得到
即
系数化为1得
因为两个方程的解相同，把代入
得到
去分母得
移项可得
合并同类项得
系数化为1得
故答案为：．
变式2.（24-25江苏·七年级期末）已知关于x的方程和方程的解相同，求关于y的方程的解．
【答案】
【详解】解：解方程，得．
因为两个方程的解相同，所以将代入方程，得，解得．
将代入方程，得，解得．故答案为：．
考点4. 方程的解有特定关系求参数
例1．（24-25七年级上·江苏·期末）已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值．
【答案】
【详解】解：方程，
去括号得，移项合并同类项得，解得：，
∵关于x的方程的解比的解小5，
因此方程的解为，
将代入，得，解得：．
变式1.已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ．
【答案】
【详解】解：，去分母得：，
去括号得：，移项得：，
合并同类项得：，系数化为1得：；
解互为相反数，将代入得，
去分母得：；去括号得：
移项得：；合并同类项得：
系数化为1得： 故答案为： ．
变式2.（24-25·陕西·七年级期末）已知关于的方程 与方程的解互为倒数，则代数式的值是 ．
【答案】
【详解】解：，，，，，．
∵两个方程的解互为倒数，∴方程的解为．
把代入方程中，
，，，，，．
把代入，原式．故答案为：．
变式3．（24-25·浙江·七年级期末）已知关于的方程和，当为何值时，方程的解比方程的解大1．
【答案】
【详解】解：解方程得：，
解方程得：，
∵方程的解比方程的解大1，
∴，解得．
考点5. 整数解问题
例1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【详解】解：，解得，
由方程的解为正整数，故， 解得，
又a为正整数，故a的最大值是13，故选：A．
变式1．（25-26七年级上·重庆·期中）若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（ ）
A．6个 B．5个 C．3个 D．2个
【答案】A
【详解】解：可化为：
，即：..
又为整数，或或.故选：．
变式2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是 ．
【答案】
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得：．
要想使方程的解为非正整数，则整数满足：，
是负整数，且能整除5，的值为，，
当时，解得：，
当时，解得：，
符合条件的所有整数的和为：．故答案为：．
变式3．（24-25山东七年级期末）关于x的方程有负整数解，则符合条件的整数m的值可能是（ ）
A．-1 B．3 C．1 D．2
【答案】A
【详解】解：由可得：，
∵关于x的方程有负整数解，且m为整数，∴或-2，∴或-1，故选：A．
考点6. 错解问题
例1．（24-25七年级上·浙江·期中）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解．
【答案】
【详解】解：小玲的解方程过程如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得，，
∵小玲解得，∴，∴；
正确解法如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
变式1．（24-25·江苏·七年级期末）小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．
【答案】，．
【详解】解：∵小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，
∴把代入方程，得，
，
，
，
，
方程为，
，
，
，
，
，
即，方程的解是．
变式2．（24-25·浙江温州市·七年级期末）小明是七年级（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．
【答案】，
【详解】解：∵方程右边的忘记乘6，求出的解为，
∴，解得，
则原方程为：，
去分母，得，
移项、合并同类项，得．
考点7. 新定义运算问题
例1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【答案】(1)9(2)或(3)2024
【详解】（1）解：解方程得：，解方程得：，
∵方程与方程是“美好方程”，∴，解得：；
（2）解： ∵“美好方程”的一个解为n，∴“美好方程”的另一个解为，
∵“美好方程”的两个解的差为8，∴，∴n的值为或；
（3）解：解方程得：，
∵方程和是“美好方程”，
∴是方程的解，
∵方程可变形为，∴，∴．
变式1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知（，，…an是各项的系数，c是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，例：如果，则它的伴随多项式．
(1)已知，则它的伴随多项式 ；(2)已知，它的伴随多项式，求x的值；(3)已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，求整数a的值．
【答案】(1)；(2)；(3)或．
【详解】（1）解：∵，∴它的伴随多项式；故答案为：；
（2）解：，它的伴随多项式，
∵∴，解得：；
（3）解：∵，∴它的伴随多项式，
∵，∴，∴，
∵方程有正整数解，且a为整数，∴或，解得： 或 ．
变式2．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”，
例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”．(1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”；(2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值；(3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值．
【答案】(1)是，理由见解析(2)或(3)
【详解】（1）解：方程的解是；方程的解是．
根据题意可得，∴这两个方程是“4差解友好方程”；
（2）解：∵，∴，解得：，
∵，∴，∴，解得：，
∵关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”
∴，即，∴或，解得：或；
（3）解：∵，∴，∴，解得：，
∵，∴，解得：，
∵关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，∴，∴，∴，
∴，解得：．
考点8. 方程有解/无解问题
例1．（24-25·河南南阳·七年级期末）已知关于的方程无解，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：，，，
∵关于的方程无解，∴，解得：，故答案为：．
变式1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则关于的方程的解一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无解
【答案】A
【详解】解：，去括号，得，移项，合并同类项，得，
∵，∴原方程的解为，且，∴．故选A．
变式2．（24-25·盐城七年级期中）已知关于x的方程2a(x－1)=(5－a)x+3b有无数多个解，那么a2－5+b的值是多少？
【答案】
【解析】化简得：2ax-2a=（5-a）x+3b，即：（3a-5）x=2a+3b，
根据题意得：3a-5=0且2a+3b=0，解得：a=，b=-；所以a2－5+b=-5-=．
考点9. 含参数的一元一次方程
例1．（24-25重庆·七年级阶段练习）下列结论：
①若关于x的方程的解是，则；
②若，则关于x的方程的解为；
③若，且，则一定是方程的解．其中正确的结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：把x=1代入方程得：a+b=0，∴①符合题意；
∵ax+b=0，∴ax=b，∵a≠0，∴x=，∵b=2a，∴x=2，∴②不符合题意；
∵把x=1代入方程ax+b=1一定有a+b=1成立，∴③符合题意；故选：C．
变式1．（24-25上海市七年级阶段练习）解关于x的方程：．
【答案】当时，原方程无解；当时，
【详解】解：∵，∴，
①当时，，故方程无解．
②当时，，∴系数化为1得：；
∴关于x的方程的解为：当时，原方程无解；当时，．
变式2．（24-25上海黄浦·七年级期中）解关于的方程：．
【答案】当，；当，原方程无解．
【解析】∵，∴，∴，
当，；
当，原方程无解．
变式3．（24-25·上海金山·七年级期中）解关于的方程：．
【答案】，；，无解
【解析】解：，，，
当时，，
当时，方程无解，
所以，当时，原方程的根是；当时，原方程无解．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）方程是一元一次方程，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．16
【答案】D
【详解】解：是关于x的一元一次方程，
，，，，．故选：D．
2．（24-25·宁夏·七年级期末）如果关于的方程的解是，则的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－5 D．5
【答案】A
【详解】解：∵x=4是方程的解，
∴把x=4代入方程可得：解得a=-3，故选：A．
3．（2025·江苏镇江·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【详解】解：∵，，∴．
∵，，∴．
∵方程是方程的“ —方程”，且解较大的为前者，∴．
对化简：，即，，
∴，也就是．对变形可得．
把代入上式，得．故选：C
4．（24-25·重庆实验外国语学校）若关于x的方程无解，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
【答案】A
【详解】解： ，去分母得： 整理得：
当时，方程无解， 故选：
5．（24-25·万州区七年级期中）若关于的方程的解为非正整数，那么符合条件的所有的整数之和为（ ）
A．32 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【详解】解：去分母得：3kx+3k=（4+2k）x+6，移项合并得：（4-k）x=3k-6，
当4-k≠0，即k≠4时，解得：x=，
∵方程的解为非正整数，∴k-4=1，2，3，6，-6，-3，-2，
解得：k=5，6，7，10，-2，1，2，之和为5+6+7+10+（-2）+1+2=29．故选：B．
6．（24-25·河南七年级期中）若方程与关于的方程的解互为相反数，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵∴解得
∵，∴解得
∵与的解互为相反数，
∴，解得，.故选A.
7.（24-25·河南·七年级期末）已知关于的方程的解和的解相同，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【详解】解：解方程得，
∵方程与的解相同，
∴将代入，得：，解得：，故选：A．
8．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）已知是以为未知数的一元一次方程，且，那么的值为（ ）
A．1 B．或1 C．5 D．或5
【答案】D
【详解】解：∵方程为一元一次方程，∴，解得或，
且，∴，代入，即，
∴或，解得或，综上，的值为或5，故选：D．
9．（24-25·七年级上·湖南 期末）关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（　　）
A．a≠0 B．a≠1 C．a≠﹣1 D．a≠±1
【答案】C
【详解】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案．
解：由关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，得a+1≠0，解得a≠﹣1．故选：C．
10．（24-25七年级上·广东·专题练习）关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，则的值为（ ）．
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【详解】解：解方程，
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
两边同除以3，得．
∵是正整数，方程有正整数解，∴．故选A.
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（25-26八年级上·湖南衡阳·开学考试）若是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】
【详解】解：根据题意得：，解得：，故答案为：
12．（24-25七年级上·广东·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为
【答案】7
【详解】解：∵是关于的方程的解，∴,解得，故答案为：7．
13．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
【答案】
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
当，即时，方程的解是，
关于的方程有整数解，为整数，
或或或或或或或，
或或或或或或1或6，
满足条件的所有整数的和为，故答案为：．
14．（24-25七年级上·福建漳州·期中）已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ．
【答案】或/1或
【详解】解：，，
关于的方程的解为正整数，且要为的倍数，
∵为整数，或．故答案为：或．
15．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．则的值为 ．
【答案】
【详解】解：将代入方程，得，
，，，
由题意可知：，，，，．
16．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，则a= ，b= ．
【答案】．
【详解】解：把代入得：，整理得：，
∵方程的解与的取值无关，∴且，解得：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25·上海市静安区七年级期中）解关于x的方程：
【答案】当时，方程的根是；当，方程没有实数根.
【解析】解：，，，
当时，；
当时，方程无实数解
∴当时，方程的根是；
当，方程没有实数根.
18．（24-25七年级下·山西晋城·期中）已知是关于x的一元一次方程．
(1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？
(2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：解方程，解得，
∵方程与方程的解相同，
∴方程的解为，∴，解得，
故时，方程与方程的解相同．
（2）解：，解得，由方程的解为正整数，
故，且m为非负整数，故，解得，故．
19．（24-25七年级上·湖北·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程．
(1)求k的值；(2)判断，，是否是方程的解．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：由题意可知且，∴且，∴；
（2）解：由（1）可知方程为．
把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解；
把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解；
把代入方程，得左边右边，∴是方程的解．
20.已知关于的方程和的解相同．求：(1)的值．(2)的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解方程，得．解方程，得．
根据题意，得，解得．
（2）将代入，得，所以的值为．
21.学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程．
【答案】
【详解】解：由题意得：方程的为，
将代入方程得：，解得：
∴原方程为，
去分母：，
去括号：，
移项：，
合并同类项：，
化系数为：
22.在数学运算里，除了加、减、乘、除四则运算之外，还可以定义一些不同于四则运算但又借助四则运算的计算法则的新运算．比如： “△”是新定义的运算符号，“”为新运算的表达式．代入具体的值：；通过具体值的计算，发现：．所以四则运算中的运算律不一定适用于新运算．如果规定．
(1)求的结果．(2)如果m是一个自然数且满足，求m是多少？
【答案】(1)58(2)
【详解】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，∴，解得．
23．（24-25·河北石家庄·七年级期末）规定一种新运算法则：a※b＝ab－2a＋b2．例如：1※2＝1×2－2×1＋22＝4，请用上述运算法则回答下列问题．
（1）求3※（－1）的值；（2）求（－4）※（※2）的值；（3）若m※5的值为40，求m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）根据题意，得3※（－1）；
（2）※2
∴（－4）※（※2）（－4）※
（3）m※5
∵m※5的值为40∴∴．
24．（24-25·吉林·七年级期末）把（其中、是常数，、是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
(1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”．
(2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值．
(3)是否存在使“雅系二元一次方程”与（为常数）的“完美值”相同，若存在，求出的值及此时的“完美值”，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2) (3)存在，，
【解析】
（1）解：当时，可化为解得，；
（2）解：当时，可化为，把代入，解得；
（3）解：存在；当时，可化为，解得，当时，可化为，解得．∵与（为常数）的“完美值”相同，，解得，将代入得．
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专题5.6 一元一次方程中的含参问题
解决含参问题的主要策略：
主元思想：当方程中既有未知数 又有参数时，把参数当作已知数，把 当作未知数来解方程。这是处理所有含参问题的基础。
分类讨论：当参数取值不同会影响方程的解的情况时（比如整数解问题、有解无解问题），必须对参数的所有可能取值进行讨论，做到不重不漏。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1. 利用一元一次方程定义求参数 2
考点2. 利用一元一次方程的解求参数 3
考点3. 同解方程问题 4
考点4. 方程的解有特定关系求参数 5
考点5. 整数解问题 7
考点6. 错解问题 8
考点7. 新定义运算问题 10
考点8. 方程有解/无解问题 12
考点9. 含参数的一元一次方程 13
模块3：培优训练 15
1. 利用一元一次方程定义求参数
根据一元一次方程的定义（含一个未知数、未知数最高次数为1、整式方程），需同时满足：
二次项系数为0 ：例如方程中出现x 项时，需令其系数m -4=0，解得m=±2 1
一次项系数≠0 ：如(m-2)x的系数m-2≠0，排除m=2的情况。
2. 整数解问题
要求方程的解是整数或正整数。
先求出含参数的解，令分母是分子的因数，讨论参数取值。
在求解过程中某一步出错，但给出了错解。
将错解代入错误的方程求出看错的参数，再解正确的方程。
3. 方程有解/无解问题
讨论参数为何值时，方程有解、无解或有无数解。
将方程化为ax=b形式。1）有唯一解a；2）无解：a=0 且b ；3）有无数解：a=0 且 b=0。
4. 含参数的一元一次方程
一元一次方程ax=b的解由a，b共同决定。
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
考点1. 利用一元一次方程定义求参数
例1．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）如果关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．不存在
变式1．（25-26七年级上·浙江·课后作业）若是关于的一元一次方程，则 ．
变式2．（25-26七年级上·重庆·期中）已知是关于的一元一次方程，则 ．
考点2. 利用一元一次方程的解求参数
例1．（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ．
变式1．（24-25七年级上·广东佛山·期末）若方程 的解为，则 ．
变式2.（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如果是关于的方程的解，求的值．
变式3.（24-25七年级上·成都·阶段练习）已知，为常数，关于的方程，无论为何值，它的解总是，则的值为 ．
考点3. 同解方程问题
例1．（25-26七年级上·山东·课后作业）如果关于的方程的解与方程的解相同，那么的值为 ．
变式1．（24-25七年级上·浙江·课后作业）已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为 ．
变式2.（24-25江苏·七年级期末）已知关于x的方程和方程的解相同，求关于y的方程的解．
考点4. 方程的解有特定关系求参数
例1．（24-25七年级上·江苏·期末）已知关于x的方程的解比的解小5，求m的值．
变式1.已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ．
变式2.（24-25·陕西·七年级期末）已知关于的方程 与方程的解互为倒数，则代数式的值是 ．
变式3．（24-25·浙江·七年级期末）已知关于的方程和，当为何值时，方程的解比方程的解大1．
考点5. 整数解问题
例1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
变式1．（25-26七年级上·重庆·期中）若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（ ）
A．6个 B．5个 C．3个 D．2个
变式2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是 ．
变式3．（24-25山东七年级期末）关于x的方程有负整数解，则符合条件的整数m的值可能是（ ）
A．-1 B．3 C．1 D．2
考点6. 错解问题
例1．（24-25七年级上·浙江·期中）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解．
变式1．（24-25·江苏·七年级期末）小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．
变式2．（24-25·浙江温州市·七年级期末）小明是七年级（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．
考点7. 新定义运算问题
例1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
变式1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知（，，…an是各项的系数，c是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，例：如果，则它的伴随多项式．
(1)已知，则它的伴随多项式 ；(2)已知，它的伴随多项式，求x的值；(3)已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，求整数a的值．
变式2．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”，
例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”．(1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”；(2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值；(3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值．
考点8. 方程有解/无解问题
例1．（24-25·河南南阳·七年级期末）已知关于的方程无解，则的值为 ．
变式1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则关于的方程的解一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无解
变式2．（24-25·盐城七年级期中）已知关于x的方程2a(x－1)=(5－a)x+3b有无数多个解，那么a2－5+b的值是多少？
考点9. 含参数的一元一次方程
例1．（24-25重庆·七年级阶段练习）下列结论：
①若关于x的方程的解是，则；
②若，则关于x的方程的解为；
③若，且，则一定是方程的解．其中正确的结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1．（24-25上海市七年级阶段练习）解关于x的方程：．
变式2．（24-25上海黄浦·七年级期中）解关于的方程：．
变式3．（24-25·上海金山·七年级期中）解关于的方程：．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）方程是一元一次方程，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．16
2．（24-25·宁夏·七年级期末）如果关于的方程的解是，则的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－5 D．5
3．（2025·江苏镇江·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
4．（24-25·重庆实验外国语学校）若关于x的方程无解，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
5．（24-25·万州区七年级期中）若关于的方程的解为非正整数，那么符合条件的所有的整数之和为（ ）
A．32 B．29 C．28 D．27
6．（24-25·河南七年级期中）若方程与关于的方程的解互为相反数，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
7.（24-25·河南·七年级期末）已知关于的方程的解和的解相同，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
8．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）已知是以为未知数的一元一次方程，且，那么的值为（ ）
A．1 B．或1 C．5 D．或5
9．（24-25·七年级上·湖南 期末）关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（　　）
A．a≠0 B．a≠1 C．a≠﹣1 D．a≠±1
10．（24-25七年级上·广东·专题练习）关于的一元一次方程，其中是正整数．若方程有正整数解，则的值为（ ）．
A．2 B． C．3 D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（25-26八年级上·湖南衡阳·开学考试）若是关于的一元一次方程，则 ．
12．（24-25七年级上·广东·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为
13．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
14．（24-25七年级上·福建漳州·期中）已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ．
15．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．则的值为 ．
16．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，则a= ，b= ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25·上海市静安区七年级期中）解关于x的方程：
18．（24-25七年级下·山西晋城·期中）已知是关于x的一元一次方程．
(1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？
(2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值．
19．（24-25七年级上·湖北·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程．
(1)求k的值；(2)判断，，是否是方程的解．
20.已知关于的方程和的解相同．求：(1)的值．(2)的值．
21.学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程．
22.在数学运算里，除了加、减、乘、除四则运算之外，还可以定义一些不同于四则运算但又借助四则运算的计算法则的新运算．比如： “△”是新定义的运算符号，“”为新运算的表达式．代入具体的值：；通过具体值的计算，发现：．所以四则运算中的运算律不一定适用于新运算．如果规定．
(1)求的结果．(2)如果m是一个自然数且满足，求m是多少？
23．（24-25·河北石家庄·七年级期末）规定一种新运算法则：a※b＝ab－2a＋b2．例如：1※2＝1×2－2×1＋22＝4，请用上述运算法则回答下列问题．
（1）求3※（－1）的值；（2）求（－4）※（※2）的值；（3）若m※5的值为40，求m的值．
24．（24-25·吉林·七年级期末）把（其中、是常数，、是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
(1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”．
(2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值．
(3)是否存在使“雅系二元一次方程”与（为常数）的“完美值”相同，若存在，求出的值及此时的“完美值”，若不存在，请说明理由．
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