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专题5.1.认识方程+5.2.等式的基本性质+专题5.3.一元一次方程和它的解
1、掌握并理解方程的概念，并掌握方程、等式的区别与联系；
2、掌握并理解一元一次方程的概念，及方程的解与解方程的区别与联系；
3、理解并掌握等式的两个基本性质，并能利用等式的基本性质解方程。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.方程与等式的辨别 2
考点2.根据实际背景列方程 3
考点3.方程的解 4
考点4.等式的基本性质 6
考点5.等式的基本性质的实际应用 7
考点6.一元一次方程的辨别 9
考点7.根据一元一次方程的概念求参数 11
考点8.利用等式的基本性质解简单的一元一次方程 12
考点9.根据方程的解或解的情况求参数 13
模块3：培优训练 15
1.认识方程
1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数。．
2）方程的解：使方程两边相等的未知数的值。
2.等式的基本性质
性质1：等式两边同加上（或同减去）同一个数或式，所得结果任是等式。
用字母可以表示为：如果，那么。
性质2：等式两边都乘或都除以同一个数或式，（除数不能为零），所得结果任是等式。
用字母可以表示为：如果，那么或（c≠0）。
其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。
3.一元一次方程和它的解
1）一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程。
如何判断一元一次方程：
①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1.
2）一元一次方程的解：使一元一次方程两边相等的未知数的值，叫作一元一次方程的解，也叫方程的根。
3）解方程：求方程的解的过程叫作解方程。
考点1.方程与等式的辨别
例1．（25-26七年级上·重庆·开学考试）下列式子是方程的是（　　）
A． B． C． D．
变式1.（24-25七年级上·浙江·月考）在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号）
变式2．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）下面式子中，是方程的是（ ）．
A． B． C． D．
考点2.根据实际背景列方程
例1．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）只列方程，不必求解：
(1)已知某数的倍与的差等于．设某数为；
(2)某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少．若设女生人数为人．
变式1．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）下面不能用方程“”来表示的是（ ）．
A． B．
C． D．
变式2．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）现某商品每件的标价是550元，按标价的八折出售，仍可获利，则该商品每件的进价是多少元？设每件商品的进价为元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设 ，列方程为 ．
考点3.方程的解
例1．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列方程中，解为的方程是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
考点4.等式的基本性质
例1．（25-26九年级上·福建·阶段练习）已知（，），下列等式中变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列各式中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
变式2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列变形中，正确的是（ ）
A．若，那么 B．若，那么
C．，那么 D．若，那么
考点5.等式的基本性质的实际应用
例1．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（ ）
A．30克 B．25克 C．20克 D．59克
变式1．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（ ）
A． B．C． D．
变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于 ．
变式3．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表：
卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A
两数和 48 60 53 65 42
根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ．
考点6.利用等式的基本性质解方程
例1．（24-25七年级上·浙江·期中）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式．
(1)； (2)； (3)； (4)．
变式1．（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）解方程．
(1) (2)
变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）运用等式的基本性质解下列方程：
(1)． (2)．
变式3．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质解下列方程：
(1)． (2)． (3)
考点7.一元一次方程的辨别
例1．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·浙江·课后作业）下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
考点8.根据一元一次方程的概念求参数
例1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）方程是一元一次方程，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．16
变式1．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　）
A．9 B．8 C．5 D．4
变式2．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ．
考点9.根据方程的解或解的情况求参数
例1．（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值是（　 　）．
A．4 B． C．2 D．
变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ．
变式3．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）是方程的解，则m的值是
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·重庆万州·期末）下列各式中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·云南临沧·期末）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（ ）
A．函数 B．有理数 C．代数式 D．方程
4．（24-25七年级上·河南郑州·期末）代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（ ）
0 1 2 3
8 6 4 2 0
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　）
0 1 2
0
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·山西临汾·期末）关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（ ）
2 3
A． B． C． D．
7．（25-26七年级上·全国·期中）下列变形中，符合等式性质的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
8．（24-25七年级上·广东韶关·阶段练习）下列式子中变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
9．（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列选项中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25七年级下·山西晋城·期中）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）根据“x的3倍与5的和比x多2”可列出方程 ．
12．（25-26八年级上·重庆·开学考试）若是关于x的方程的解，则的值为 ．
13．（2025七年级上·四川成都·专题练习）假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是
14．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ．
15．（24-25七年级上·福建泉州·期中）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值：
x 0 1 2 3
0 4 8
则关于x的方程的解是 ．
16．（24-25七年级上·浙江·期中）写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是；②方程的解是2．这样的方程是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26七年级上·浙江·课后作业）已知关于的方程是一元一次方程．
(1)求的值．(2)请判断和是否为方程的解．(3)求的值．
18．（25-26七年级上·浙江·随堂练习）下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
(1)；(2)；(3)．
19．（25-26七年级上·浙江·课后作业）若方程是关于的一元一次方程．
(1)的值为_______．(2)判断是不是方程的解，并说明理由．
20.（25-26七年级上·浙江·课后作业），，分别是下列哪个方程的解？
（1）；（2）；（3）；（4）．
21．（25-26七年级上·山东·课后作业）用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式：
(1)如果，那么 ．
(2)如果，那么 ．
(3)如果，那么 ．
(4)如果，那么 ．
22．（24-25七年级上·浙江·课后作业）根据下列情境中的等量关系列一个等式．
(1)一头半岁的蓝鲸体重为，90天后体重为30.1t．设蓝鲸体重平均每天增加．
(2)把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米．
(3)甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了2h．设甲、乙两城市间的路程为．
23．（25-26七年级上·浙江·课后作业）利用等式的性质解下列方程：
(1)．(2)．(3)．(4)．
24．（24-25七年级上·四川·期中）根据题意设未知数，并列出方程．
(1)一个数的倍比它的倍多，求这个数；
(2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？
(3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？
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专题5.1.认识方程+5.2.等式的基本性质+专题5.3.一元一次方程和它的解
1、掌握并理解方程的概念，并掌握方程、等式的区别与联系；
2、掌握并理解一元一次方程的概念，及方程的解与解方程的区别与联系；
3、理解并掌握等式的两个基本性质，并能利用等式的基本性质解方程。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.方程与等式的辨别 2
考点2.根据实际背景列方程 3
考点3.方程的解 4
考点4.等式的基本性质 6
考点5.等式的基本性质的实际应用 7
考点6.一元一次方程的辨别 9
考点7.根据一元一次方程的概念求参数 11
考点8.利用等式的基本性质解简单的一元一次方程 12
考点9.根据方程的解或解的情况求参数 13
模块3：培优训练 15
1.认识方程
1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数。．
2）方程的解：使方程两边相等的未知数的值。
2.等式的基本性质
性质1：等式两边同加上（或同减去）同一个数或式，所得结果任是等式。
用字母可以表示为：如果，那么。
性质2：等式两边都乘或都除以同一个数或式，（除数不能为零），所得结果任是等式。
用字母可以表示为：如果，那么或（c≠0）。
其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。
3.一元一次方程和它的解
1）一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程。
如何判断一元一次方程：
①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1.
2）一元一次方程的解：使一元一次方程两边相等的未知数的值，叫作一元一次方程的解，也叫方程的根。
3）解方程：求方程的解的过程叫作解方程。
考点1.方程与等式的辨别
例1．（25-26七年级上·重庆·开学考试）下列式子是方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．，虽然含有未知数，但它不是等式，所以不是方程，故本选项不符合题意；
B．，含有未知数，但不是等式，所以不是方程，故本选项不符合题意；
C．，含有未知数，且是等式，所以是方程，故本选项符合题意；
D．，虽然是等式，但它没含有未知数，所以不是方程，故本选项不符合题意．故选：C．
变式1.（24-25七年级上·浙江·月考）在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号）
【答案】 、、； 、．
【详解】解：用等号表示相等关系的式了叫等式，等式有：、、；
含有未知数的等式是方程，方程有：、．
故答案为：、、； 、．
变式2．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）下面式子中，是方程的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：、不是等式，不符合方程定义，该选项错误；
、是含有未知数的等式，符合方程定义，该选项正确；
、没有未知数，不符合方程定义，该选项错误；
、不是等式，不符合方程定义，该选项错误．故选：．
考点2.根据实际背景列方程
74．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）只列方程，不必求解：
(1)已知某数的倍与的差等于．设某数为；
(2)某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少．若设女生人数为人．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：已知某数的倍与的差等于，设某数为，
可列出方程：，故答案为：；
（2）设女生人数为，
∵班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少，
∴方程为：，故答案为：．
变式1．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）下面不能用方程“”来表示的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示；
B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示．
C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示；
D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示；故选：D．
变式2．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）现某商品每件的标价是550元，按标价的八折出售，仍可获利，则该商品每件的进价是多少元？设每件商品的进价为元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：设每件商品的进价为元，依题意得：， 故选：C．
变式3．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设 ，列方程为 ．
【答案】 宽为
【详解】解：设宽为，则长为，，
故答案为：宽为；．
考点3.方程的解
例1．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，，故不是方程的解，不符合题意；
B、，，故不是方程的解，不符合题意；
C、，故不是方程的解，不符合题意；
D、，故是方程的解，符合题意；故选D．
变式1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列方程中，解为的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A． 当时，，∴不是的解，不符合题意；
B． 当时，，∴是的解，符合题意；
C． 当时，，∴不是的解，不符合题意；
D． 当时，，∴不是的解，不符合题意；故选B．
变式2．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、当时，左边，右边，则左边右边，即该方程的解不是，故本选项不符合题意；
B、当时，左边，右边，则左边右边，即该方程的解是，故本选项符合题意；
C、当时，左边，右边，则左边右边，即该方程的解不是，故本选项不符合题意；
D、当时，左边，右边，则左边右边，即该方程的解不是，故本选项不符合题意；
故选：B
考点4.等式的基本性质
例1．（25-26九年级上·福建·阶段练习）已知（，），下列等式中变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A选项：，根据等式的性质，把等式两边同时乘以，可得：，故A选项错误；
B选项：，根据等式的性质可得：，把两边同时除以，可得：，故B选项错误；
C选项：，根据等式的性质，把等式两边同时乘以，可得：，故C选项正确；
D选项：，根据等式的性质可得：，把两边同时除以，可得：，故D选项错误．故选：C．
变式1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列各式中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】解：A．∵，∴，即，故该选项正确，不符合题意；
B．∵，，∴，故该选项正确，不符合题意；
C．∵，∴①当时，a为任意实数；②当时，，故该选项错误，符合题意；
D．∵，∴，即，故该选项正确，不符合题意．故选C．
变式2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列变形中，正确的是（ ）
A．若，那么 B．若，那么
C．，那么 D．若，那么
【答案】D
【详解】解：A．若，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意；
B．若且，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意；
C，当，时，，但，原变形不正确，故此选项不符合题意；
D．若，那么，原变形正确，故此选项符合题意．故选：D．
考点5.等式的基本性质的实际应用
例1．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（ ）
A．30克 B．25克 C．20克 D．59克
【答案】A
【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克，
∴，，∴，∴．故选：A．
变式1．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】解：∵天平①平衡，∴，
∴，即，∴天平一定平衡的是C，故选：C．
变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于 ．
【答案】
【详解】解：设左盘中物体的质量等于，由题意得，
解得：，即左盘中物体的质量等于，故答案为：．
变式3．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表：
卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A
两数和 48 60 53 65 42
根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为 ，最大数所对应的卡片编号为 ．
【答案】
【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，
由题意得：，
得，得，∴，∴，
∴，∴,
∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B，故答案为：A，B．
考点6.利用等式的基本性质解方程
例1．（24-25七年级上·浙江·期中）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式．
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：∵，等式两边同时加上得：．
（2）解：，等式两边同时除以得：．
（3）解：，先两边同时减去得，
再同时乘以得：．
（4）解：，先两边同时减去1得，
再同时除以得：．
变式1．（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）解方程．
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
．
变式2．（25-26七年级上·浙江·课后作业）运用等式的基本性质解下列方程：
(1)． (2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：方程两边都减，得．
（2）解：方程两边都减，得．
变式3．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质解下列方程：
(1)． (2)． (3)
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：方程两边同时加，得，
方程两边同时除以，得．
（2）解：方程两边同时减，得，
方程两边同时除以，得．
（3）解：方程两边同时减，得，
方程两边同时减，得，
方程两边同时除以，得．
考点7.一元一次方程的辨别
例1．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：方程①：，右边为分式，不是整式方程，不符合一元一次方程的定义；
方程②：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义；
方程③：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义；
方程④：，含项，次数为2，不符合一元一次方程的定义；
方程⑤：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义；
方程⑥：，含两个未知数x和y，不符合一元一次方程的定义；
综上，符合条件的一元一次方程为②、③、⑤，共3个，故选：B．
变式1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故选项不符合题意；
B．，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故选项符合题意；
C．，分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，故选项不符合题意；
D．， 含有两个未知数，不是一元一次方程，故选项不符合题意；故选：B．
变式2．（24-25七年级上·浙江·课后作业）下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，本选项不符合题意；
B、符合一元一次方程的定义，本选项符合题意；
C、不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，本选项不符合题意；
D、未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程的定义，本选项不符合题意；故选：B．
考点8.根据一元一次方程的概念求参数
例1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）方程是一元一次方程，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．16
【答案】D
【详解】解：是关于x的一元一次方程，
，，，，．故选：D．
变式1．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】B
【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，∴，∴，
∵关于的一元一次方程的解为，∴，
∴，∴，故选：B．
变式2．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ．
【答案】3
【详解】解：因为是关于x的一元一次方程，
所以 且，解得．故答案为：．
考点9.根据方程的解或解的情况求参数
例1．（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值是（　 　）．
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】解：∵方程的解是，
∴将代入方程得：，
去括号：，合并同类项：，移项：，即．
系数化为1： 故选：B．
变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴，解得：，
∴关于y的一元一次方程的解为，故选：A．
变式2．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：把代入方程得：，解得：，故答案为：．
变式3．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）是方程的解，则m的值是
【答案】
【详解】解：∵是方程的解，
∴将代入方程得．即．
合并同类项得．移项得．故答案为：．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·重庆万州·期末）下列各式中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A．是等式，但无未知数，属于算术式，不是方程；
B．含未知数，但不是等式，属于代数式，不是方程；
C．含未知数，但为不等式，不是方程；
D．是等式且含未知数，符合方程的定义，是方程；故选D．
2．（24-25七年级上·云南临沧·期末）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意；
B、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意；
C、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意；
D、把代入，左边为，右边为，左边等于右边，所以是该方程的解，故该选项符合题意；故选D．
3．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（ ）
A．函数 B．有理数 C．代数式 D．方程
【答案】D
【详解】解：∵用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”，
又∵含有未知数的等式是方程，
∴“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的方程．故选：D．
4．（24-25七年级上·河南郑州·期末）代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（ ）
0 1 2 3
8 6 4 2 0
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴，
观察表格数据，得出当时，则；
即关于的方程的解是故选：D．
5．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　）
0 1 2
0
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，
由表格知，当时，，
是方程的解，
即也是方程的解．故选：A．
6．（24-25七年级下·山西临汾·期末）关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（ ）
2 3
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】原方程可化简为，解得（）．
当时，，与一致，正确．
当时，，但表中，矛盾，错误．
当时，，与一致，正确．
当时，，与一致，正确．综上，错误的解为选项B．故选B．
7．（25-26七年级上·全国·期中）下列变形中，符合等式性质的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【详解】解：A、移项得，不是，选项错误，不符合题意；
B、，移项得，不是，选项错误，不符合题意；
C、给两边都除以，得，不是，选项错误，不符合题意；
D、给两边都乘以，得，正确，符合题意；故选：D．
8．（24-25七年级上·广东韶关·阶段练习）下列式子中变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
【详解】解：A、∵，∴ ，故本选项不符合题意；
B、∵，∴两边都除以得：，故本选项符合题意；
C、∵，∴两边都乘以3得：，故本选项不符合题意；
D、∵，∴两边都加得：，故本选项不符合题意；故选：B．
9．（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列选项中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、不是方程，故此选项不符合题意；
B、没有未知数，不是方程，故此选项不符合题意；
C、是不等式，不是方程，故此选项不符合题意；
D、是一元一次方程，故此选项符合题意；故选：D．
10．（24-25七年级下·山西晋城·期中）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意；
B．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意；
C．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意；
D．把代入方程得：左边，右边，左边=右边，符合题意．故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）根据“x的3倍与5的和比x多2”可列出方程 ．
【答案】（或）
【详解】解：由题意列方程式为：．故答案为：．
12．（25-26八年级上·重庆·开学考试）若是关于x的方程的解，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵是关于x的方程的解，∴，即．答案为：
13．（2025七年级上·四川成都·专题练习）假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是
【答案】6
【详解】解：由题意可得，，
∴，，∴则，故答案为：6
14．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴且，∴，故答案为：．
15．（24-25七年级上·福建泉州·期中）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值：
x 0 1 2 3
0 4 8
则关于x的方程的解是 ．
【答案】/
【详解】解：∵ ，∴，
由表可知，当时，，∴关于x的方程的解是．故答案为：．
16．（24-25七年级上·浙江·期中）写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是；②方程的解是2．这样的方程是 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵一元一次方程形式是，是常数且；由题意可知，．
则将与的值代入中得：，解得：，
所以该一元一次方程为：．故答案为：（答案不唯一）．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26七年级上·浙江·课后作业）已知关于的方程是一元一次方程．
(1)求的值．(2)请判断和是否为方程的解．(3)求的值．
【答案】(1)(2)不是方程的解；是方程的解(3)
【详解】（1）解：由题意，得，解得．
（2）解：由（1）可知，，则方程为．
把代入，左边右边，故不是方程的解；
把代入，左边右边，故是方程的解．
（3）解：原式．
当时，原式．
18．（25-26七年级上·浙江·随堂练习）下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)不是方程，也不是一元一次方程；
(2)是方程，也是一元一次方程；
(3)是方程，不是一元一次方程．
【详解】（1）解：∵是等式，但不含未知数，
∴不是方程，不是一元一次方程；
（2）解：∵是含有未知数的等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为，
∴是方程，也是一元一次方程；
（3）解：∵是含有未知数的等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数不为，
∴是方程，不是一元一次方程．
19．（25-26七年级上·浙江·课后作业）若方程是关于的一元一次方程．
(1)的值为_______．(2)判断是不是方程的解，并说明理由．
【答案】(1)2(2)不是．理由见解析
【详解】（1）根据题意得：且，解得：；
由得．由得综上所述，的值为2．
（2）不是．理由如下：由（1）可知，方程为．
把代入方程左边，得左边．
因为右边，所以左边右边，所以不是方程的解．
20.（25-26七年级上·浙江·课后作业），，分别是下列哪个方程的解？
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】是方程的解；是方程的解；是方程的解．
【详解】解：把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；
综上所述，是方程的解；是方程的解；是方程的解．
21．（25-26七年级上·山东·课后作业）用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式：
(1)如果，那么 ．
(2)如果，那么 ．
(3)如果，那么 ．
(4)如果，那么 ．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：如果，，根据等式性质，在等式两边都减去；故填：；
（2）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都减去；故填：；
（3）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都除以；故填：；
（4）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都乘以；故填：．
22．（24-25七年级上·浙江·课后作业）根据下列情境中的等量关系列一个等式．
(1)一头半岁的蓝鲸体重为，90天后体重为30.1t．设蓝鲸体重平均每天增加．
(2)把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米．
(3)甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了2h．设甲、乙两城市间的路程为．
【答案】(1)(2) (3)
【详解】（1）解：根据数量关系：蓝鲸原来的体重+天增长的体重=总体重，
可得方程；
（2）解：根据数量关系：个袋子中大米的质量+剩余的千克=千克，
可得到方程：；
（3）解：根据数量关系：技术改造前运行时间-技术改造后运行时间=，
可得到方程：．
23．（25-26七年级上·浙江·课后作业）利用等式的性质解下列方程：
(1)．(2)．(3)．(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：两边同时减，得
化简，得，两边同时除以，得．
（2）解：两边同时减，得，
化简，得，两边同时除以，得．
（3）解：两边同时加，得，
化简，得，两边同时除以，得．
（4）解：两边同时减，得，
化简，得，
两边同时减，得，
化简，得，两边同时乘，得．
24．（24-25七年级上·四川·期中）根据题意设未知数，并列出方程．
(1)一个数的倍比它的倍多，求这个数；
(2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？
(3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？
【答案】(1)设这个数为，；(2)设截去的木条每段长为，；
(3)设大约周后树苗长高到，．
【详解】（1）解：设这个数为，根据题意得，；
（2）解：设截去的木条每段长为，根据题意得，；
（3）解：设大约周后树苗长高到，根据题意得，．
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