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第四章　三角函数、解三角形
4.6　正弦定理、余弦定理
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　利用正弦定理、余弦定理解三角形
考点2　判断三角形的形状
01
02
考点3　三角形的面积问题
03
课时作业
第三部分
1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形．
2．理解三角形的面积公式并能应用．
3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
教材回扣
b2＋c2－2bc cos A
c2＋a2－2ca cos B
a2＋b2－2ab cos C
2R sin B
2R sin C
sin A∶sin B∶sin C
2.三角形解的判断
3.三角形中常用的面积公式
(2)S＝_________________＝__________________＝__________________．
(3)S＝__________________（r为三角形的内切圆半径）.
在△ABC中，常有以下结论：
(1)A＋B＋C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b A>B sin A>sin B，cos A教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的余弦值之比．(　 　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b.(　 　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　 　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　 　)
基础检测
×
√
×
×
2．（人教A版必修第二册P48T2(2)改编）在△ABC中，已知b＝2，A＝
45°，C＝75°，则边c＝______.
3．（人教A版必修第二册P44T2改编）在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A＝________．
120°
4．（人教A版必修第二册P53T10改编）在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于____．
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形
命题角度1　正弦定理
C
(2)（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　 　)
A．b＝10，A＝45°，C＝60°
BC
A
规律总结
1．利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角（该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断）.
微拓展
任意三角形中的射影定理
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝b cos C＋c cos B；b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A.
注：以“a＝b cos C＋c cos B”为例，b，c在a上的射影分别为b cos C，c cos B，故名为射影定理．
证明：如图，在△ABC中，AD⊥BC，则b cos C＝CD，c cos B＝BD，
故b cos C＋c cos B＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝b cos C＋c cos B，
同理可证b＝c cos A＋a cos C，c＝a cos B＋b cos A．　
【典例】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2b cos B＝a cos C＋c cos A，则B的大小为(　 　)
B
命题角度2　余弦定理
【例2】　(1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且a2＋b2－c2＝4S，则角C＝__．
规律总结
1．利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
2．在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理．
【对点训练1】　(1)（2024·湖南衡阳三模）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，若b＝c，D为AC的中点，b sin ∠BAC＝2sin ∠ABD，则BD＝(　 　)
A
B
考点2 判断三角形的形状
【例3】　(1)（2024·陕西渭南三模）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b cos C＋c cos B＝b，且a＝c cos B，则△ABC是(　 　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
D
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a－c cos B＝b－c cos A，则△ABC为(　 　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
D
规律总结
判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
【对点训练2】　(1)（2024·河南新乡二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝7，b＝3，c＝5，则(　 　)
A．△ABC为锐角三角形
B．△ABC为直角三角形
C．△ABC为钝角三角形
D．△ABC的形状无法确定
C
A．△ABC为直角三角形
B．△ABC为锐角三角形
C．△ABC为钝角三角形
D．△ABC的形状无法确定
A
考点3 三角形的面积问题
规律总结
【对点训练3】　（2024·福建厦门一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2cos B＋ab cos A＝2c.
(1)求a；
解：由题设得a(a cos B＋b cos A)＝2c，由正弦定理有a(sin A cos B＋sin B cos A)＝2sin C，
所以a sin (A＋B)＝2sin C，而A＋B＝π－C，故a sin C＝2sin C，又sin C>0，所以a＝2.
课时作业30
第
分
部
三
D
2．（5分）（2024·江西九江三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2c－a＝2b cos A，则B＝(　 　)
B
D
C
C
6．（5分）（2024·浙江绍兴三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2b cos (B＋C)－a cos C＝c cos A，则A＝(　 　)
D
7．（6分）（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　 　)
ABD
ABD
解：因为b sin A＝3c sin B，所以ab＝3cb，所以a＝3c，又a＝6，所以c＝2.
(2)求b；
B
14．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2a＋b＝2c cos B，且sin A＋sin B＝1，则△ABC为(　 　)
A．等边三角形
B．顶角为120°的等腰三角形
C．顶角为150°的等腰三角形
D．等腰直角三角形
B

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