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第四章　三角函数、解三角形
4.7　正、余弦定理的综合应用
数学
内容索引
关键能力提升
第一部分
考点1　多边形中的解三角形问题
考点2　三角形中的最值、范围问题
01
02
考点3　三角形中的中线、高线、角平分线
03
课时作业
第二部分
1．会利用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的最值、范围问题．
2．会利用正、余弦定理求解平面多边形、三角形的中线、高线、角平分线等问题．
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
一
考点1 多边形中的解三角形问题
(2)求BC的长．
规律总结
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
【对点训练1】　如图所示，在平行四边形ABCD中，有AC cos ∠BAC＝(2AB－BC)·cos ∠ABC.
(1)求∠ABC的大小；
解：由题意得AC cos ∠BAC＝(2AB－BC)cos ∠ABC，由正弦定理得2sin ∠ACB cos ∠ABC＝sin ∠BAC cos ∠ABC＋sin ∠ABC cos ∠BAC，
∴2sin ∠ACB cos ∠ABC＝sin (∠BAC＋∠ABC)
＝sin (π－∠ACB)＝sin ∠ACB，又∵∠ACB∈(0，π)，
考点2 三角形中的最值、范围问题
规律总结
1．三角形中的最值、范围问题的解题策略
(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围．
(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式．
(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范围可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0【对点训练2】　在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分别是a，b，c，已知向量m＝(a＋b，sin ∠ACB)，n＝(a－c，sin ∠BAC－sin ∠ABC)，满足m∥n.
(1)求∠ABC；
(2)若∠ABC的平分线交边AC于点D，BD＝2，求△ABC面积的最小值．
考点3 三角形中的中线、高线、角平分线
命题角度1　中线
【例3】　（2024·山东潍坊一模）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，已知a(sin ∠ABC＋cos ∠ABC)＝c.
(1)求∠BAC；
【解】　∵a(sin ∠ABC＋cos ∠ABC)＝c，
∴sin ∠BAC(sin ∠ABC＋cos ∠ABC)＝sin ∠ACB，
在△ABC中，sin ∠ACB＝sin (∠BAC＋∠ABC)，则有sin ∠BAC(sin ∠ABC＋cos ∠ABC)＝sin (∠BAC＋∠ABC)，
∴sin ∠BAC sin ∠ABC＋sin ∠BAC cos ∠ABC
＝sin ∠BAC cos ∠ABC＋cos ∠BAC sin ∠ABC，
∴sin ∠BAC sin ∠ABC＝cos ∠BAC sin ∠ABC，又∠ABC∈(0，π)，∴sin ∠ABC>0，
∴sin ∠BAC＝cos ∠BAC，∴tan ∠BAC＝1，
【解】　根据余弦定理有a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC，
则有5＝b2＋2－2b，解得b＝3或b＝－1（舍去），
规律总结
中线的相关结论
如图，在△ABC中，D是BC的中点，∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分别为a，b，c.
命题角度2　高线
(1)求∠ACB；
规律总结
高线的相关结论
(2)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．
命题角度3　角平分线
(1)若BC＝8，求△ABC的面积；
【解】　△ABC中，设∠BAC，∠ABC，
∠ACB的对边分别为a，b，c，
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠CAB，
即64＝c2＋b2＋b·c①，
(2)若CP＝4，求BP的长．
规律总结
角平分线的相关结论
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，∠ABC，
∠ACB所对的边分别为a，b，c.
课时作业31
第
分
部
三
(2)求AC边上的高．
(1)求∠ABC；
(2)若a＝12，D为BC边的中点，且AD＝3，求b.
3．（17分）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别是a，b，c，满足(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab.
(1)求∠ACB；
(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值．
(1)若EC＝1，求∠BAD的余弦值；
(1)若A，B，C，D四点共圆，求边AC的长；
解：在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝8＋8－2×8×cos ∠ABC＝16－16cos ∠ABC①，
在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC＝16＋4－2×8cos ∠ADC＝20－16cos ∠ADC②，
因为A，B，C，D四点共圆，所以∠ABC＋∠ADC＝π，因此cos ∠ADC＝－cos ∠ABC，
(2)求四边形ABCD面积的最大值．
由正弦定理得sin ∠ACB＝sin ∠BAC－2sin ∠ACB cos ∠ABC，
故sin ∠ACB＝sin (∠ABC＋∠ACB)－2sin ∠ACB cos ∠ABC，
即sin ∠ACB＝sin ∠ABC cos ∠ACB＋sin ∠ACB cos ∠ABC－2sin ∠ACB cos ∠ABC，
(2)已知点M在线段AC上，且∠ABM＝∠CBM，求BM长度的取值范围．

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