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第五章　平面向量、复数
5.1　平面向量的概念及线性运算
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　平面向量的概念
考点2　平面向量的线性运算
01
02
考点3　共线向量基本定理及应用
03
课时作业
第三部分
1．了解平面向量的实际背景．
2．理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．
3．理解平面向量的几何表示．
4．掌握平面向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．掌握平面向量数乘的运算及其几何意义，理解两个平面向量共线的含义．
6．了解平面向量线性运算的性质及其几何意义．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．向量的有关概念
教材回扣
大小
方向
大小
0
1个单位长度
相同或相反
非零
名称 定义 说明
相等 向量 长度相等且方向____的向量叫做相等向量 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小
相反 向量 与向量a____相等，方向____的向量，叫做a的相反向量，记作－a 0的相反向量仍是0
相同
长度
相反
2.向量的线性运算
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律(性质)
加法 求两个 向量和 的运算 交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；
结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时等号成立
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律(性质)
减法 求两个 向量差 的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ 与向量 a的积 的运算 λa是一个向量，其长度：|λa|＝____________； 其方向：λ>0时，与a方向____；λ<0时，与a方向____； λ＝0时，λa＝0 设λ，μ∈R，则λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝_______；λ(a＋b)＝___________
|λ|·|a|
相同
相反
(λμ)a
(λμ)a
λa＋λb
3.共线向量基本定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
4．向量三角不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形).
教材拓展
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关．(　 　)
(2)两个向量相加，结果有可能是个数量．(　 　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之也成立．(　 　)
基础检测
√
×
×
√
2．(人教A版必修第二册P5T3改编)以下命题中正确的个数是(　 　)
①两个相等向量的模相等；
②若a和b都是单位向量，则a＝b；
③相等的两个向量一定是共线向量；
④零向量是唯一没有方向的向量．
A．1 B．2
C．3 D．4
B
解析：对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确；对于②，若a和b都是单位向量，当它们的方向不同时，a＝b不成立，故②错误；对于③，相等的两个向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确；对于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误．故正确的有①③，共2个．故选B.
C
4．(人教A版必修第二册P16例8改编)已知向量a，b不共线，向量c＝a＋3b，d＝2a＋kb，且c∥d，则k＝(　 　)
A．－3 B．3
C．－6 D．6
解析：设d＝λc，则2a＋kb＝λ(a＋3b)＝λa＋3λb，故λ＝2，k＝3λ＝6.故选D.
D
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 平面向量的概念
【例1】　(1)(多选)下列命题正确的有(　 　)
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．任意两个单位向量方向相同
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
AD
C
规律总结
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆．
【对点训练1】　(1)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是(　 　)
D
(2)(多选)下列说法不正确的是(　 　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
C．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b
D．若a∥b，b∥c，则a∥c
ACD
考点2 平面向量的线性运算
D
A
规律总结
平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则，求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
B
D
考点3 共线向量基本定理及应用
【例3】　(1)(2024·安徽马鞍山三模)已知平面向量e1，e2不共线，a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2，且a∥b，则k＝(　 　)
A
A
规律总结
利用共线向量基本定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
C
(2)(2024·福建福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2是共线向量，则(　 　)
解析：依题意，设2e1＋λe2＝t(μe1＋e2)，又e1，e2是两个不共线的向量，所以tμ＝2，λ＝t，所以λμ＝2.故选D.
D
A
课时作业33
第
分
部
三
1．(5分)下列命题不正确的是(　 　)
A
2．(5分)下列命题中，正确的是(　 　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若|a|>|b|，则a>b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|
解析：若|a|＝|b|，则a，b只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；向量不能比较大小，B错误；若a＝b，则a，b共线，C正确；|a＋b|≤
|a|＋|b|，D错误．故选C.
C
C
C
C
A
A
B
9．(8分)(多选)设a，b是两个非零向量，且|a＋b|<|a|＋|b|，则下列结论中正确的是(　 　)
A．|a－b|≤|a|＋|b|
B．|a－b|<|a＋b|
C．a，b的夹角为钝角
D．若存在实数λ使得a＝λb成立，则λ为负数
AD
10．(8分)(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是(　 　)
AC
AC
12．(7分)(2024·辽宁盘锦模拟)已知向量m，n不共线，a＝λm＋n，b＝(λ－
1)m－2n，若a∥b，则λ＝__．
A
C
B

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