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第五章　平面向量、复数
5.2　平面向量基本定理及坐标运算
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　平面向量基本定理及应用
考点2　平面向量的坐标运算
01
02
考点3　向量共线的坐标表示
03
课时作业
第三部分
1．了解平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使______________．我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个____．
教材回扣
a＝λ1e1＋λ2e2
基底
2．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量作________．
(2)平面向量的坐标运算
①平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝______________，λa＝__________(λ∈R)，ua±vb＝___________________ (u，v∈R).
②向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，那么|a|＝________．
互相垂直
正交分解
(x1±x2，y1±y2)
(λx1，λy1)
(ux1±vx2，uy1±vy2)
(x2－x1，y2－y1)
x1y2－x2y1＝0
3．平面向量基本定理的推论
(1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.
(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
教材拓展
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.(　 　)
(2)基底中可以含有零向量．(　 　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．(　 　)
基础检测
×
×
×
√
C
3．(人教A版必修第二册P33T2改编)已知向量a＝(1，3λ)，b＝(2＋λ，－3)，若a∥b，则λ＝(　 　)
A．1　　　 B．－1
C．2　　　 D．－3
解析：因为a＝(1，3λ)，b＝(2＋λ，－3)，且a∥b，所以3λ(2＋λ)＝1×(－3)，解得λ＝－1.故选B.
B
D
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 平面向量基本定理及应用
C
C
规律总结
1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
A
A
考点2 平面向量的坐标运算
D
【解析】　以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，
B
规律总结
1．利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
2．向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．
C
D
考点3 向量共线的坐标表示
【例3】　(1)(2024·陕西渭南三模)已知向量m＝(2，λ)，n＝(2－λ，－4)，若m与n共线且反向，则实数λ的值为(　 　)
A．4 B．2
C．－2 D．－2或4
【解析】　由向量m＝(2，λ)，n＝(2－λ，－4)共线，得λ(2－λ)＝－8，解得λ＝－2或λ＝4.当λ＝－2时，m＝(2，－2)，n＝(4，－4)，m与n同向，不符合题意；当λ＝4时，m＝(2，4)，n＝(－2，－4)，m与n反向，符合题意．所以实数λ的值为4.故选A.
A
C
规律总结
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
【对点训练3】　(1)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是(　 　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(1，1)，e2＝(1，－1)
BD
(2)(2024·河南开封三模)已知向量a＝(2，1)，a＋b＝(1，m)，若a∥b，则m＝(　 　)
A．－3　　 B．3　　
D
课时作业34
第
分
部
三
A
A
3．(5分)(2024·江苏南京二模)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，x＋3).若a∥b，则x＝(　 　)
A．－6 B．－2
C．3 D．6
解析：由a∥b，知1·(x＋3)＝2·x，解得x＝3.故选C.
C
4．(5分)(2024·上海浦东新区三模)给定平面上的一组不共线向量e1，e2，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是(　 　)
A．2e1＋e2和e1－e2
B．e1＋3e2和e2＋3e1
C．3e1－e2和2e2－6e1
D．e1和e1＋e2
C
解析：对于A，不存在实数λ，使得2e1＋e2＝λ(e1－e2)，故2e1＋e2和e1－e2不共线，可作基底；对于B，不存在实数λ，使得e1＋3e2＝λ(e2＋3e1)，故e1＋3e2和e2＋3e1不共线，可作基底；对于C，因为e1，e2是不共线的两个非零向量，且存在实数－2，使得2e2－6e1＝－2(3e1－e2)，故3e1－e2和2e2－6e1共线，不可作基底；对于D，不存在实数λ，使得e1＝λ(e1＋e2)，故e1和e1＋e2不共线，可作基底．故选C.
C
B
B
A．满足λ＋μ＝2的点P必为BC的中点
B．满足λ＋μ＝1的点P有且只有一个
C．λ＋μ的最小值不存在
D．λ＋μ的最大值为3
D
CD上时，0≤a≤1，b＝1，此时μ＝1，λ＝a＋μ＝a＋1，λ＋μ＝a＋2，所以2≤λ＋μ≤3；当P在线段DA上时，a＝0，0≤b≤1，此时μ＝b，λ＝a＋μ＝b，λ＋μ＝2b，所以0≤λ＋μ≤2.由以上讨论可知，当λ＋μ＝2时，P可为BC的中点，也可以是点D，所以A错误；使λ＋μ＝1的点有两个，分别为点B与AD中点，所以B错误；当P运动到点A时，λ＋μ有最小值0，故C错误；当P运动到点C时，λ＋μ有最大值3，所以D正确．故选D.
9．(8分)(多选)在下列向量组中，可以作为基底的是(　 　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，8)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
解析：因为0×2－0×1＝0，所以e1，e2共线，不能作为基底，故A错误；因为－1×(－2)－2×5＝－8≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，故B正确；因为3×8－5×6＝－6≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，故C正确；因为2×3－(－3)×(－2)＝0，所以e1，e2共线，不能作为基底，故D错误．故选BC.
BC
10．(8分)(多选)已知向量a，b，c满足c＝λa＋(1－λ)b(0<λ<1)，且c＝(1，2)，则a，b的坐标可以为(　 　)
A．a＝(1，0)，b＝(0，2)
B．a＝(2，0)，b＝(0，4)
C．a＝(3，1)，b＝(－1，3)
D．a＝(2，1)，b＝(4，－1)
BC
ABD
－4
6
D
D
1∶7
解析：如图，连接AE，由题意知△ABD≌△BCE≌
△CAF，且D，E，F分别为BE，CF，AD的中点，所以

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