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第五章　平面向量、复数
5.3　平面向量的数量积
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　平面向量数量积的基本运算
考点2　平面向量数量积的应用
01
02
课时作业
第三部分
1．理解平面向量数量积的含义及其几何意义，会计算平面向量的数量积．
2．了解平面向量的数量积与投影向量的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个平面向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
教材回扣
∠AOB
投影
投影向量
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
项目 几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝______________
模 |a|＝________ |a|＝__________
夹角 cos θ＝_______
cos θ＝______________
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；
若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；
若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
教材拓展
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.(　 　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　 　)
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(　 　)
基础检测
×
×
√
×
C
A
A
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 平面向量数量积的基本运算
A
C
规律总结
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．
(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积．
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
B
(2)(2024·山东滨州二模)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则c·(b－a)＝(　 　)
A．4　　　 B．1
C．－1　　 D．－4
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，可知a＝(－1，－2)，b＝(－2，1)，c＝(2，2)，则b－a＝(－1，3)，所以c·(b－a)＝－2＋6＝4.故选A.
A
考点2 平面向量数量积的应用
D
A
命题角度3　向量的垂直
【例4】　(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　 　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2.故选D.
D
命题角度4　向量的投影
【例5】　(2024·浙江绍兴三模)若非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a＋2b在b方向上的投影向量为(　 　)
B
规律总结
3．两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
B
(2)(2024·福建泉州一模)已知向量a，b满足(a－b)·b＝0，则(　 　)
A．(a＋b)⊥(a－b)
B．|a－2b|＝|a|
C．〈a－2b，a〉＝〈a，b〉
D．b在a方向上的投影向量为a
B
(3)(多选)(2024·山东聊城二模)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，λ)，若b在a上的投影向量为a，则(　 　)
A．λ＝3 B．a∥b
C．a⊥(b－a) D．a与b的夹角为45°
ACD
平面向量的新定义问题
1．平面向量背景下的新定义问题，通常基于平面向量的方向和大小，引入新的运算规则或概念．
2．解题时，首先要准确理解新定义的本质，明确其涉及的向量运算和性质．其次，将新定义应用到具体的题目情境中，通过向量的加法、减法、数乘、数量积等运算，推导出所需的结论．
3．这类问题往往信息量大，背景新颖，需要考生耐心分析，细致推理．同时，注意平面向量的模、夹角等几何特征在新定义问题中的应用，以及如何利用这些特征简化解题过程．
创新点
【典例】　(多选)(2024·山东潍坊三模)定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，令aΘb＝(x1y2－x2y1，x1x2＋y1y2)，下面说法一定正确的是(　 　)
A．对任意的λ∈R，有(λa)Θb＝λ(aΘb)
B．存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a，都有aΘe＝eΘa＝a成立
C．若a与b垂直，则(aΘb)Θc与aΘ(bΘc)共线
D．若a与b共线，则(aΘb)Θc与aΘ(bΘc)的模相等
AD
－x2y1x3)，aΘ(bΘc)＝(x1，y1)Θ(x2y3－x3y2，x2x3＋y2y3)＝(x1x2x3＋x1y2y3－y1x2y3＋y1x3y2，x1x2y3－x1y2x3＋y1x2x3＋y1y2y3)＝(x1y2y3－y1x2y3，－x1y2x3＋y1x2x3)≠μ(x1y2y3－y1x2y3，x1y2x3－y1x2x3)，其中μ∈R，故C不正确；若a与b共线，则x1y2－x2y1＝0，设c＝(x3，y3)，(aΘb)Θc＝(0，x1x2＋y1y2)Θ(x3，y3)＝(－x1x2x3－y1y2x3，x1x2y3＋y1y2y3)，aΘ(bΘc)＝ (x1x2x3＋x1y2y3－y1x2y3＋y1y2x3，x1x2y3－x1y2x3＋y1x2x3＋y1y2y3)＝(x1x2x3＋y1y2x3，x1x2y3＋y1y2y3)，所以(aΘb)Θc与aΘ(bΘc)的模相等，故D正确．故选AD.
课时作业35
第
分
部
三
1．(5分)(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(　 　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：∵a＝(0，1)，b＝(1，0)，∴a－b＝(－1，1)，∴a·(a－b)＝0×(－1)＋1×1＝1.故选B.
B
2．(5分)(2024·山东德州三模)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则实数t＝(　 　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
C
3．(5分)(2024·北京海淀区一模)已知向量a，b满足|a|＝2，b＝(2，0)，且|a＋b|＝2，则〈a，b〉＝(　 　)
C
B
B
D
C
B
9．(8分)(多选)(2024·浙江绍兴三模)已知平面向量a＝(2，3)，b＝(4，λ)，则(　 　)
A．若a∥b，则λ＝6
ACD
10．(8分)(多选)(2024·安徽安庆三模)已知单位向量a，b的夹角为θ，则下列结论正确的有(　 　)
A．(a＋b)⊥(a－b)
B．a在b方向上的投影向量为(a·b)b
D．若(a＋b)·a＝(a－b)·a，则a∥b
AB
AD
12．(7分)(2024·四川乐山三模)已知i，j是夹角为60°的单位向量，若(λi＋
j)(2i－j)＝1，则实数λ的值是__．
B
D
D

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