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第五章　平面向量、复数
5.4　平面向量的综合问题
数学
内容索引
关键能力提升
第一部分
考点1　平面向量在几何中的应用
考点2　与向量有关的最值(范围)问题
01
02
课时作业
第二部分
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
一
考点1 平面向量在几何中的应用
【例1】　(1)(2024·湖北武汉模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D是BC边的中点，过点C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，则BF＝(　 　)
C
(2)(多选)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是(　 　)
ACD
规律总结
【对点训练1】　(1)已知平面四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，G，H，且AB2＋CD2＝AD2＋BC2，则四边形EFGH一定为(　 　)
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．直角梯形
C
B
考点2 与向量有关的最值(范围)问题
命题角度1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
C
规律总结
求解与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题的一般步骤
(1)利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系．
(2)运用基本不等式或函数的性质求其最值．
命题角度2　与数量积有关的最值(范围)问题
D
规律总结
与数量积有关的最值(范围)问题的解法
(1)坐标法：通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理．
(2)向量法：运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决．
考教衔接
极化恒等式a·b＝ [(a＋b)2－(a－b)2]
1．教材母题：(人教A版必修第二册P22练习T3)求证：(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b，
D
命题角度3　与向量的模有关的最值(范围)问题
【例4】　(2024·陕西咸阳模拟)已知a，b是两个单位向量，且|a＋b|＝|a－b|，若向量c满足|c－a－b|＝2，则|c|的最大值为(　 　)
B
规律总结
求向量模的最值(范围)的方法
(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示来构造不等式，利用基本不等式、三角函数，再用求最值的方法求解．
(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解．
命题角度4　与夹角有关的最值(范围)问题
【例5】　平面向量a，b满足|a|＝3|b|，且|a－b|＝4，则a与a－b夹角的正弦值的最大值为(　 　)
B
规律总结
求夹角的最值(范围)问题要根据夹角余弦值的表达式，采用基本不等式或函数的性质进行．
【对点训练2】　(1)(2024·湖北黄冈二模)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝3，|λe－a|＝1，则|a|的最大值为(　 　)
A．9 B．3
C
A
方法二　以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D(－1，1)，
课时作业36
第
分
部
三
D
A
C
解析：如图，以A1为原点，A1A2所在直线为x轴，A1A6所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
B
5．(5分)(2024·山西太原三模)已知△ABC中，A＝120°，D是BC的中点，且AD＝1，则△ABC面积的最大值为(　 　)
A
A
A
D
9．(8分)(多选)已知P为△ABC所在平面内一点，则下列正确的是(　 　)
ABD
ABC
ABC
2
13．(5分)平面向量a，b满足|a|＝|b|，且|a－3b|＝1，则cos 〈b，3b－a〉的
最小值是______．
B
ACD
17．(8分)(2024·浙江绍兴模拟)定义两个向量组X＝(x1，x2，x3)，Y＝(y1，y2，y3)的运算X Y＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3，设e1，e2，e3为单位向量，向量组X＝(x1，x2，x3)，Y＝(y1，y2，y3)分别为e1，e2，e3的一个排列，则X Y的最小值为____．

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