资源简介

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第一章　集合、常用逻辑用语与不等式
1.3　等式性质与不等式性质
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1 比较数（式）大小
考点2 不等式的性质
01
02
03
课时作业
第三部分
高考创新方向 多想少算
04
考点3 利用不等式的性质求代数式的取值范围
1．理解用作差法、作商法比较两个实数大小的理论依据，会比较两个实数的大小．
2．掌握等式的基本性质．
3．理解不等式的概念及不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．比较实数a，b大小的基本事实
(1)作差法
①a－b>0 a__b；
教材回扣
>
<
=
(2)作商法
>
<
=
2．等式的基本性质
(1)对称性：a＝b ______．
(2)传递性：a＝b，b＝c ______．
(3)可加（减）性：a＝b ______________．
(4)可乘性：a＝b __________．
(5)可除性：a＝b，c≠0 ______．
b＝a
a＝c
a±c＝b±c
ac＝bc
3．不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b ______；a传递性 a>b，b>c ______；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 __________；a>b，c<0 __________ c的符号
同向可加性 a>b，c>d ______________ 同向
bb>a
a>c
aac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
1．不等式的两类常用性质
(1)倒数性质
教材拓展
(2)分数性质
若a>b>0，m>0，则
2．若a1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(3)同向不等式具有可加性和可乘性．(　 　)
基础检测
√
×
×
×
2．（多选）（人教A版必修第一册P43T8改编）下列命题为真命题的是(　 　)
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若a＞b＞0，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
ABD
＜
4．（人教A版必修第一册P43T3(4)改编）设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为 ．
解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0.故M＞N.
M＞N
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 比较数（式）大小
命题角度1　作差法比较大小
A．pC．p>q D．p≥q
B
规律总结
作差法的步骤和关注点
步骤 作差并变形 判断差与0的大小 得结论
关注点 利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形
命题角度2　作商法比较大小
【例2】　eπ·πe与ee·ππ的大小关系为 ．
eπ·πe＜ee·ππ
作商法的步骤和关注点
规律总结
步骤 作商并变形 判断商与1的大小 得结论
关注点 作商时两式的符号应相同，如果两式均小于0，所得结果与“作商法原理”中的结论相反．变形方法有分母（或分子）有理化，指、对数恒等变形等
D
A
考点2 不等式的性质
【例3】　(1)（2024·安徽淮北二模）已知a，b∈R，下列命题正确的是(　 　)
A．若ab＝1，则a＋b≥2
D
(2)（多选）（2024·湖南长沙二模）设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有(　 　)
A．c2AD
规律总结
判断不等式正误常用的三种方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意应用性质的前提条件．
(2)利用特殊值排除法．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等的单调性进行判断．
【对点训练2】　(1)（2024·北京丰台区二模）若a，b∈R，且a>b，则(　 　)
D
(2)（多选）（2024·安徽淮北一模）已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　 　)
A．若a>b>c，则a＋b>c
B．若a>b>|c|，则a2>b2>c2
BD
考点3 利用不等式的性质求代数式的取值范围
【例4】　（多选）已知实数x，y满足－3A．x的取值范围为(－1，2)
B．y的取值范围为(－2，1)
C．x＋y的取值范围为(－3，3)
D．x－y的取值范围为(－1，3)
ABD
规律总结
利用不等式的性质求某些代数式的取值范围时，应注意两点：
一是必须严格运用不等式的性质．
二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决这个问题的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
【对点训练3】　(1)若1A．(－3，3] B．（－3，5)
C．(－3，3) D．(1，4)
解析：由题设0≤|b|<4，则－4<－|b|≤0，又1C
(2)已知－1A．－15D
高考创新方向 多想少算
【例】　以maxM表示数集M中最大的数．设0b≤1，则max{b－a，c－b，1－c}的最小值为 ．
创新解读
课时作业3
第
分
部
三
1．（5分）如果a>b，那么下列说法正确的是(　 　)
A．ac>bc B．ac2>bc2
C．ac＝bc D．b－a<0
解析：对于A，B，当c＝0时，ac＝bc，ac2＝bc2，故A，B错误；对于C，当c＝1时，ac＝a>b＝bc，故C错误；对于D，因为a>b，所以b－a<0，故D正确．故选D.
D
2．（5分）（2024·北京东城区一模）已知a，b∈R，ab≠0，且aC
A
4．（5分）已知2A．(0，2) B．(2，5)
C．(5，8) D．(6，7)
解析：2C
5．（5分）若－1A．2－x<2x<0.2x B．2x<0.2x<2－x
C．2x<2－x<0.2x D．0.2x<2－x<2x
C
C
7．（6分）（多选）已知实数x，y满足1A．3ACD
8．（6分）（多选）若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　 　)
ABD
9．（5分）比较大小：x2＋4y2 4xy－1.
解析：因为x2＋4y2－4xy＋1＝(x－2y)2＋1>0，所以x2＋4y2>4xy－1.
＞
10．（5分）若a，b∈R，给出以下四个条件：①ab>0；②a>0或b>0；③a＋b>2；④a＝0且b>0，其中可以作为“a＋b>0”的一个充分不必要条件的是 ．（填序号）
解析：对于①，当a＝－1，b＝－2时，ab＝2>0，a＋b＝－3<0，不充分；对于②，若a>0，当a＝1，b＝－2时，a＋b＝－1<0，不充分；对于③，a＋b>2>0，充分，反之，当a＋b>0时，若a＝1，b＝0，此时a＋b＝1<2，不必要；对于④，若a＝0且b>0，则a＋b＝b>0，充分，反之，若a＝1，b＝0，满足a＋b>0，不必要．
③④
11．（16分）(1)比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小.
解：(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－(x4＋x2＋1)＝x2≥0，∴(x2＋1)2≥x4＋x2＋1.
A．x1B．x4C．x4D．x3D
D
15．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＞y＞z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是(　 　)
A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz
A
解析：方法一　ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(a－c)(x－z).∵x＞y＞z，a＜b＜c，∴a－c＜0，x－z＞0，∴ax＋by＋cz＜az＋by＋cx.同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(b－c)(z－x)＞0，∴ay＋bz＋cx＞ay＋bx＋cz，故只需再比较ax＋by＋cz与ay＋bx＋cz的大小即可．ax＋by＋cz－(ay＋bx＋cz)＝a(x－y)＋b(y－x)＝(a－b)(x－y)，∵a－b＜0，x－y＞0，∴(a－b)(x－y)＜0，∴ax＋by＋cz＜ay＋bx＋cz，∴在不同的方案中，最低的总费用是(ax＋by＋cz)元．故选A.
方法二　用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间，且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间，这样所需总费用最低，最低总费用为(ax＋by＋cz)元．故选A.