资源简介

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第一章　集合、常用逻辑用语与不等式　
1.4　基本不等式
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　利用基本不等式求最值
考点2　利用基本不等式求参数的范围
01
02
考点3　基本不等式的实际应用
03
课时作业
第三部分
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
(1)基本不等式成立的条件：______________．
(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．
教材回扣
a>0，b>0
a＝b
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥______(a，b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
2ab
2
3．“四个平均数”
4．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0.
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值，是____（简记：积定和最小）.
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值，是__（简记：和定积最大）.
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
基础检测
×
×
×
×
3
3．（人教A版必修第一册P58T5改编）若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为 ．
9
4．（人教A版必修第一册P46例3(1)改编）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形两邻边的长分别为 m， m时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度是 m.
10
10
40
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 利用基本不等式求最值
命题角度1　配凑法
A．－4　　 B．0　　
C．4　　 D．8
B
A
命题角度2　常数代换法
C
命题角度3　消元法
【例3】　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为 ．
6
规律总结
3．当要求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值．
A
D
(3)（2024·浙江嘉兴二模）若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是(　 　)
A
考点2 利用基本不等式求参数的范围
A．{a|－1B．{a|－1≤a≤4}
C．{a|－4≤a≤1}
D．{a|－4B
规律总结
利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法
(1)根据基本不等式等号成立的条件，求参数的值或取值范围．
(2)转化为求最值问题，利用基本不等式求解．
C
考点3 基本不等式的实际应用
15
规律总结
利用基本不等式解决实际应用问题的思路
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为关于其他变量的函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．
【对点训练3】　如图，实验中学欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室．房屋地面面积为18 m2，高度为3 m．若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1 000元，屋顶的造价为6 000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为 元．
42 000
课时作业4
第
分
部
三
B
C
B
C
5．（5分）（2024·黑龙江哈尔滨一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1元和a2元，则(　 　)
A．a1＝a2
B．a1C．a1>a2
D．a1，a2的大小无法确定
B
C
7．（6分）（多选）已知a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有(　 　)
AC
AD
8．（6分）（多选）（2024·湖北武汉二模）下列说法正确的是(　 　)
A．若ac2>bc2，则a>b
6
10．（5分）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 m，各试验区之间也空0.5 m．则每块试验区的面积的最大值为 m2.
(1)要使每年度的总利润最大，求生产线的规模及对应的年利润；
(2)要使每年度的药品平均利润（总利润与药品产量的比值）最大，求生产线的规模及对应的年利润．
C
14．（5分）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数f(x)＝aex＋be－x（其中a，b为非零常数，e＝2.718 28…）来表示，当f(x)取到最小值2时，下列说法正确的是(　 　)
A．x＝ln a
B．a＋b的最小值为2
C．2a＋2b的最小值为2
D．ln a ln b的最小值为0
B
15．（6分）（多选）已知x>0，y>0，且x＋y＋xy－3＝0，则(　 　)
A．xy的取值范围是[1，9]
B．x＋y的取值范围是[2，3）
C．x＋4y的最小值是3
BD

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