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第一章　集合、常用逻辑用语与不等式　
1.5　一元二次方程、不等式与二次函数
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　一元二次不等式的解法
考点2　三个“二次”之间的关系
01
02
考点3　一元二次不等式的恒成立问题
03
课时作业
第三部分
1．会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数．
2．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
3．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
教材回扣
2．三个“二次”之间的关系
{x|xx2}
{x|x1

当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是 ，要注意区别．
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立 a>0且Δ<0.
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立 a<0且Δ<0.
(3)若a可以为0，则需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　 　)
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.(　 　)
基础检测
×
√
×
×
2．（人教A版必修第一册P53T1(5)改编）不等式－2x2＋x≤－3的解集
为 ．
3．（人教A版必修第一册P55T5改编）已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝ ．
解析：已知A＝{x|x2－16<0}＝{x|－40}＝{x|x<1或x>3}，则A∪B＝R.
R
（－3，0]
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 一元二次不等式的解法
命题角度1　不含参一元二次不等式的解法
【例1】　（多选）下列选项中，正确的是(　 　)
A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}
ABD
命题角度2　含参一元二次不等式的解法
【例2】　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
【解】　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，即(ax－2)(x＋1)≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
规律总结
对含参的一元二次不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、为负及为零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的大小关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根之间的大小关系进行讨论．
【对点训练1】　解关于x的不等式：
(2)ax2－(2a－1)x－2≥0.
解：不等式ax2－(2a－1)x－2≥0可化为(ax＋1)(x－2)≥0，
当a＝0时，x－2≥0，不等式的解集为[2，＋∞）；
考点2 三个“二次”之间的关系
【例3】（多选）若存在m，n(mA．x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤m＋1或x≥n}
B．x2＋ax＋b≤c－x的解集为{x|m＋1≤x≤n}
C．c＝－n
D．a2＋2a>4b－4c
AD
规律总结
1．一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入法或根与系数的关系求待定系数．
【对点训练2】（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则(　 　)
A ． a>0
B．a＋b＋c>0
CD
考点3 一元二次不等式的恒成立问题
命题角度1　在实数集R上的恒成立问题
【例4】　若命题p：“ x∈R，(k2－1)x2＋4(1－k)x＋3≤0”是假命题，则k的取值范围是(　 　)
A．(1，7) B．[1，7）
C．(－7，1) D．（－7，1]
B
命题角度2　在给定区间上的恒成立问题
【例5】　（2025·八省联考）已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是(　 　)
A．(－∞，1] B．[－2，1]
C．[－1，2] D．[－1，＋∞)
B
【解析】　①若a>2，当22时，f(x)>0，故a>2不符合题意；②若02时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>2a，由于当x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解得02时，f(x)＝x2>0恒成立，符合题意；④若a<0，当x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>－a，由于当x>2时，f(x)>0，故－a≤2，解得－2≤a<0.综上，a的取值范围为[－2，1].故选B.
命题角度3　给定参数范围的恒成立问题
【例6】　若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　 　)
A．[－1，3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D
规律总结
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)对于一元二次不等式在R上恒成立问题，可用判别式Δ进行解决；对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，不能用判别式Δ进行解决，一般用分离参数求最值或分类讨论的方法．
【对点训练3】　已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1).
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立？并说明理由；
解：不存在．理由：原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0，
当m＝0时，原不等式化为－2x＋1＜0，不恒成立；
当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，
则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解，
所以不存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立．
(2)若不等式对任意x∈(1，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若不等式对任意m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围．
课时作业5
第
分
部
三
1．（5分）不等式x(x＋2)A
A．{x|x<1，x≠－2}
B．{x|x>1}
C．{x|－2D．{x|x<－2或x>1}
C
3．（5分）不等式ax2＋bx－3<0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)，则b－a的值是(　 　)
A．－3 B．3
C．－5 D．5
解析：因为不等式ax2＋bx－3<0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)，所以a<0，x＝1和x＝3是方程ax2＋bx－3＝0的根，所以
D
4．（5分）已知mx2＋mx＋1≥0对一切实数x恒成立，则m的取值范围是(　 　)
A．0C．m≥4 D．0≤m≤4
D
5．（5分）若对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围是(　 　)
A．(－2，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．（－∞，2]
C
6．（5分）已知对任意m∈[1，3]，mx2－mx－1<－m＋5恒成立，则实数x的取值范围是(　 　)
D
7．（6分）（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　 　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
ABD
8．（6分）（多选）已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是(　 　)
ACD
9．（5分）满足2(0，1)∪(1，2)
10．（5分）命题q： x∈（－∞，－2]，x2＋2x－a＋2>0.若q为真命题，则实数a的取值范围是 ．
解析：因为 x∈（－∞，－2]，x2＋2x－a＋2>0为真命题，则a(－∞，2)
11．（16分）已知函数f(x)＝x2－3x＋a.
(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)<0在x∈（－1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．
12．（17分）已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若不等式f(x)>x2＋ax－1－a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a∈R，解不等式f(x)>1.
D
13．（5分）对任意x∈[1，2]，不等式ax2－2x＋3a<0恒成立，则实数a的取值范围是(　 　)
14．（5分）若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有2个整数，则实数m的取值范围为(　 　)
A．[－1，0）∪(4，5] B．[－1，0)∪(2，5]
C．（－2，0)∪(2，5] D．（－2，0)∪（3，5]
解析：由x2－(m＋2)x＋2m<0，得(x－m)(x－2)<0，当m＝2时，不等式的解集为 ，不符合题意，舍去，当m<2时，不等式的解集为{x|m2时，不等式的解集为{x|2A
15．（5分）已知一元二次方程x2＋(m＋1)x＋1＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0A．－4 B．－5
C．－6 D．－7
A

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