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第八章　平面解析几何
8.1　直线的方程
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　直线的倾斜角和斜率
考点2　直线的方程
01
02
考点3　直线方程的综合应用
03
课时作业
第三部分
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线(不与y轴平行)斜率的计算公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴____与直线l____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴__________时，我们规定它的倾斜角为0°.
(3)范围：直线倾斜角α的取值范围是________________．
教材回扣
正向
向上
平行或重合
0°≤α<180°
2．直线的斜率
(1)定义：当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝_________．倾斜角等于90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式：过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线
的斜率公式为k＝__________．
正切值
tan α
(1，k)
3．直线方程的五种形式
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点 斜 式 ______________ (x0，y0)是直线上一点，k为斜率 不垂直于x轴的直线(k存在)
斜 截 式 ____________ k为斜率，b是直线的纵截距，是______的特例 不垂直于x轴的直线(k存在)
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
点斜式
不垂直于x轴和y轴的直线
两点式
特殊地，横截式x＝my＋n表示横截距为n，斜率不为零或斜率不存在的直线．
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
教材拓展
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角．(　 　)
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．(　 　)
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.(　 　)
(4)经过点P0(x0，y0)的任意直线的方程可表示为y－y0＝k(x－x0).(　 　)
基础检测
√
×
×
×
C
3．(人教A版选择性必修第一册P67T7改编)经过点(1，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程是(　 　)
A.x＋y＝4
B．y＝x＋2
C．y＝3x或x＋y＝4
D．y＝3x或y＝x＋2
D
4．(人教A版选择性必修第一册P80T16改编)直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为____________．
(1，－1)
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 直线的倾斜角和斜率
【例1】　(1)设直线l的方程为x cos θ＋y－1＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　 　)
D
(2)已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l：ax＋y－1－a＝0与线段MN相交，则a的取值范围是(　 　)
B
规律总结
D
C
考点2 直线的方程
【例2】　求符合下列条件的直线方程：
(3)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的2倍．
规律总结
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的形式，并直接写出直线方程．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，再由题设条件求出待定系数，进而得出直线方程．
【对点训练2】　(1)已知直线l的一个方向向量为(2，－3)，且经过点(3，1)，则l的方程为(　 　)
A．3x＋2y－3＝0 B．3x＋2y－11＝0
C．2x－3y－1＝0 D．3x＋2y＋3＝0
B
(2)已知直线l过点(－3，3)，且在x轴上的截距为在y轴上截距的3倍，则直线l的方程为(　 　)
A．x＋3y－6＝0
B．x－3y＋12＝0
C．x＋y＝0或x＋3y－6＝0
D．x＋y＝0或x＋3y＋12＝0
C
考点3 直线方程的综合应用
【例3】　已知直线l：(a－1)y＝(2a－3)x＋1.
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
规律总结
直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
【对点训练3】　已知直线y－3＝k(x－4)分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点．
(1)若|AB|＝10，求实数k的值；
(2)求|OA|＋|OB|的最小值．
课时作业53
第
分
部
三
1．(5分)已知直线方程为x＋y－3＝0，则该直线的倾斜角为(　 　)
A
2．(5分)如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　 　)
A．k1B．k3C．k1D．k3解析：倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负，所以k1A
3．(5分)已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－4，则直线l的一般式方程是(　 　)
D
4．(5分)若直线l过点A(2，3)，则直线l与x轴、y轴的正半轴围成的三角形面积的最小值为(　 　)
A．9　　　 B．12
C．18　　　 D．24
B
5．(5分)直线(4a2－2)x＋2y＋3＝0(a为常数)的倾斜角的取值范围是(　 　)
C
6．(5分)直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　 　)
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0)∪(0，2]
D．(－∞，＋∞)
C
AD
8．(6分)(多选)已知直线l：m2x－2m2y＋1＝0(m≠0)，当m变化时，以下结论正确的是(　 　)
A．直线l必过定点
B．直线l的倾斜角大小不变
C．直线l一定不经过第四象限
D．直线l一定经过第一、二、三象限
BCD
9．(5分)若点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，11)在同一条直线上，则实数k的值为____．
－9
11．(16分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
12．(17分)已知直线l1：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M；
(2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线l2的方程．
13．(5分)已知两点A(－1，5)，B(0，0)，若直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为(　 　)
A
D
15．(5分)已知函数f(x)＝mx－|2x－1|，若满足f(x)>0的整数解恰有3个，则实数m的取值范围为(　 　)
A

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