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第八章　平面解析几何
8.2　两条直线的位置关系
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　两条直线的位置关系
考点2　两条直线的交点与距离问题
01
02
考点3　对称问题
03
课时作业
第三部分
1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．两条直线的特殊位置关系
(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则l1∥l2 ___________．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的位置关系为________．
(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则l1⊥l2 _____________．特别地，若直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则l1与l2的位置关系为_________．
教材回扣
k1＝k2
l1∥l2
k1k2＝－1
l1⊥l2
2．两条直线的交点坐标
相交
交点的坐标
平行
3．三种距离公式
(1)两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为|P1P2|＝________________________．特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离为|OP|＝____________．
(2)点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
的距离d＝______________．
(3)两条平行直线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax
＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2)间的距离d＝_________.
教材拓展
2．常见直线系方程
(1)过定点(x1，y1)的直线系方程：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1.
(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
3．对称常用结论
(1)点(x，y)关于直线y＝x＋t的对称点为(y－t，x＋t)，关于直线y＝－x＋t的对称点为(－y＋t，－x＋t).
(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y).
(3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　 　)
(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　 　)
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　 　)
基础检测
×
×
√
√
2．(人教A版选择性必修第一册P102T2改编)已知直线l1：(m＋2)x＋2y－1＝0与直线l2：3x＋(m＋1)y＋1＝0平行，则实数m＝(　 　)
A．－4 B．1
C
3．(人教A版选择性必修第一册P79练习T1改编)两条平行直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：6x＋8y－5＝0间的距离等于(　 　)
B
4．(人教A版选择性必修第一册P102T4改编)若直线l过点(1，3)且与斜率为4的直线垂直，则直线l的方程为(　 　)
A．x＋4y－13＝0 B．4x－y－1＝0
C．x＋4y－8＝0 D．4x－y－15＝0
A
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 两条直线的位置关系
【例1】　(1)已知直线l1：(m－2)x－3y－1＝0与直线l2：mx＋(m＋2)y＋1＝0互相平行，则实数m的值是(　 　)
A．－4或1　　 B．1　　　
C．－4　　 D．6
C
(2)已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为(　 　)
D
规律总结
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)对于选择、填空题，可直接利用直线方程系数之间的关系得出结论，减少计算．
【对点训练1】　(1)过点(2，－1)且与直线2x－3y＋9＝0平行的直线的方程为(　 　)
A．2x－3y－7＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－4＝0 D．2x－3y＋7＝0
解析：设与直线2x－3y＋9＝0平行的直线的方程为2x－3y＋λ＝0(λ≠9)，将(2，－1)代入得2×2－3×(－1)＋λ＝0，解得λ＝－7，所以所求直线的方程为2x－3y－7＝0.故选A.
A
(2)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　 　)
A．不论a为何值，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2都互相平行
C．当a＝1时，l1与l2关于y轴对称
D．直线l1与圆x2＋y2＝1不能相切
A
解析：由直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，可得a×1＋(－1)×a＝0，所以不论a为何值，l1与l2都互相垂直，所以A正确，B不正确；当a＝1时，直线l1：x－y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0，如图所示，此时直线l1与l2关于x轴对称，所以C不正确；由圆x2＋y2＝1，可得圆心为O(0，0)，半径为r＝1，当a＝0时，直线l1：y－1＝0，则原点到直线l1的距离为d＝1＝r，此时直线l1与圆x2＋y2＝1相切，所以D不正确．故选A.
考点2 两条直线的交点与距离问题
【例2】　(1)经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　 　)
A．x＋y＋1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
D．x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0
C
B
规律总结
1．求过两条定直线交点的直线方程，往往用设直线系方程求参的方法求解．
2．已知两平行直线方程求距离时，如果直接利用两平行直线间的距离公式求解，要注意两平行直线方程中x，y的系数应对应相等．
【对点训练2】　(1)已知直线l1∥l2，l1：2x＋y＋4＝0，l2：6x＋ay＋2＝0，则它们间的距离为(　 　)
D
B
考点3 对称问题
D
A
规律总结
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
【对点训练3】　(1)已知点M(1，－2)，N(m，2)，若M，N关于直线x＋2y－2＝0对称，则实数m的值是(　 　)
A．3 B．1
C．－2 D．－7
A
(2)一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－3y＋1＝0反射后经过点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为(　 　)
A．2x－y－1＝0 B．x－2＝0
C．3x－y－3＝0 D．4x－y－5＝0
B
课时作业54
第
分
部
三
1．(5分)过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　 　)
A．2x＋y＋5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋4＝0
解析：设垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为x－2y＋m＝0，又直线过点A(2，3)，所以2－2×3＋m＝0，解得m＝4，故所求直线的方程为x－2y＋4＝0.故选D.
D
2．(5分)已知直线l1：(m＋1)x＋3y－1＝0，l2：5x＋(m－1)y－m＋1＝0，则“m＝4”是“l1∥l2”的(　 　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B
3．(5分)已知点A(－2，1)，B(3，2)，C(7，－5)，则点B到直线AC的距离为(　 　)
C
4．(5分)已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c等于(　 　)
A．－12 B．48
C．36或48 D．－12或48
D
5．(5分)直线y＝4x－5关于点P(2，1)对称的直线方程是(　 　)
A．y＝4x＋5 B．y＝4x－5
C．y＝4x－9 D．y＝4x＋9
C
6．(5分)一入射光线经过点M(2，6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3，4)，则反射光线所在直线方程为(　 　)
A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0
C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0
D
7．(6分)(多选)已知直线l：y＝ax－a＋1，下列说法正确的是(　 　)
A．直线l过定点(－1，1)
B．当a＝1时，l关于x轴的对称直线为x＋y＝0
C．直线l一定经过第四象限
BD
8．(6分)(多选)已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，下列结论正确的是(　 　)
A．若l1∥l2，则a＝6
AD
9．(5分)不论m取何值，直线l：(2m＋1)x＋(m－1)y＋3＝0恒过一定点，该定点坐标为____________．
(－1，2)
10．(5分)已知A(－2，－3)，B(2，－1)，C(0，2)，则△ABC的面积为__．
8
11．(16分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－4，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
(2)求直线l1关于直线l3：3x－y－4＝0对称的直线方程．
13．(5分)已知直线l1：(sin α)x－(cos α)y＋1＝0，l2：(sin α)x＋(cos α)y＋1＝0，l3：(cos α)x－(sin α)y＋1＝0，l4：(cos α)x＋(sin α)y＋1＝0.则下列说法中正确的有(　 　)
①存在实数α，使l1∥l2；
②存在实数α，使l2∥l3；
③对任意实数α，都有l1⊥l4；
④存在点到四条直线距离相等．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
14．(5分)已知两条直线l1：(λ＋2)x＋(1－λ)y＋2λ－5＝0，l2：(k＋1)x＋(1－2k)y＋k－5＝0，且l1∥l2，当两条平行线间的距离最大时，λ＋k＝(　 　)
A．3 B．4
C．5 D．6
C
15．(5分)动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻、想象力最丰富、艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2，4)，军营所在位置为B(6，2)，河岸线所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则(　 　)
B

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