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第八章　平面解析几何
8.3　圆的方程
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　圆的方程
考点2　与圆有关的轨迹问题
01
02
考点3　与圆有关的最值问题
03
课时作业
第三部分
高考创新方向 多想少算
04
1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．
2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．圆的方程
(1)圆的定义：平面上到____的距离等于____的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)圆的标准方程：我们把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)称为圆心为__________，半径为__的圆的标准方程．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2(r>0)，表示以原点O为圆心，r为半径的圆．
教材回扣
定点
定长
(a，b)
r
(x0－a)2＋ (y0
－b)2＞r2
d＝r
d教材拓展
4．阿波罗尼斯圆：古希腊数学家阿波罗尼斯发现，平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　 　)
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆．(　 　)
(3)已知圆的方程为x2－2x＋y2＝0，过点A(1，2)可作该圆的两条切线．(　 　)
基础检测
√
×
√
√
2．(人教A版选择性必修第一册P85T1改编)已知圆的圆心为(－3，4)，半径为5，则它的方程为(　 　)
A．(x－3)2＋(y－4)2＝5
B．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
C．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝5
解析：因为圆心为(－3，4)，半径为5，所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25.故选C.
C
3．(人教A版选择性必修第一册P102T7改编)若方程x2＋y2＋4x＋2y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　 　)
A．(－∞，－5) B．(－5，＋∞)
C．(－∞，5) D．(5，＋∞)
解析：因为方程x2＋y2＋4x＋2y－m＝0表示一个圆，所以42＋22＋4m>0，解得m>－5，即m的取值范围为(－5，＋∞).故选B.
B
4．(人教A版选择性必修第一册P85T2改编)已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为(　 　)
A．(－1，＋∞)
B．(－1，0)
C．(－1，0)∪(4，＋∞)
D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
C
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 圆的方程
【例1】　(1)(2024·山东聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为(　 　)
D
(2)(2024·吉林长春三模)经过A(1，1)，B(－1，1)，C(0，2)三点的圆的方程为(　 　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
C
规律总结
求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【对点训练1】　(1)若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则过A，B及原点O三点的圆的方程是(　 　)
A．x2＋y2＋4x－3y＝0
B．x2＋y2－4x－3y＝0
C．x2＋y2＋4x－3y－4＝0
D．x2＋y2－4x－3y＋8＝0
A
(2)(2024·北京西城区二模)已知圆C经过点(－1，0)和(3，0)，且与直线y＝2相切，则圆C的方程为__________________．
(x－1)2＋y2＝4
考点2 与圆有关的轨迹问题
【例2】　(1)长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为(　 　)
D
(2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(　 　)
A．y2＝4x
B．x2＋y2－2x－2y－3＝0
C．x2＋y2－2y－3＝0
D．y2＝－4x
B
规律总结
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
【对点训练2】　(1)平面上一动点P满足|PM|2＋|PN|2＝6，且M(－1，0)，N(1，0)，则动点P的轨迹方程为(　 　)
A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x－1)2＋y2＝3
C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝3
解析：设P(x，y)，由|PM|2＋|PN|2＝6，所以(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝6，整理得x2＋y2＝2，即动点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.故选C.
C
(2)已知圆C：x2＋y2＝3，直线l过点A(－2，0)，线段AB的端点B在圆C上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为(　 　)
B
考点3 与圆有关的最值问题
命题角度1　利用几何性质求最值
【例3】　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
命题角度2　利用函数求最值
【例4】　若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆M：(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为(　 　)
D
规律总结
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
【对点训练3】　(1)(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4y＋1＝0，则下列说法正确的是(　 　)
AC
(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，则x＋y的取值范围为____________．
[－2，0]
高考创新方向 多想少算
【例】　已知实数a，b满足 a2＋b2－|a|－|b|＝0(a，b不同时为0)，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为(　 　)
A．4 B．5
C．6 D．7
C
创新解读
本题本质上考查了直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式，但是题目设置上需要学生对题干条件进行转化后，才能利用已有知识解决．本题落实通过“材料信息的丰富性、试题要素的灵活性”的高考命题改革要求，引导学生提升思维品质，减少死记硬背和机械化刷题．
课时作业55
第
分
部
三
B
2．（5分）点(－1，－1)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　 　)
A．－1C．a<－1或a>1 D．a＝±1
解析：因为点(－1，－1)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝4的内部，所以(－1＋a)2＋(－1－a)2<4，化简得a2<1，解得－1A
A．(x－1)2＋y2＝4
B．x2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋1)2＋y2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析：由题可知|PA|2＝4|PO|2，所以(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，化简得(x＋1)2＋y2＝4.故选C.
C
4．（5分）已知圆M过点O(0，0)，A(2，0)，B(2，－2)，则圆M的标准方程是(　 　)
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
A
A
C
7．（6分）（多选）已知方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0，则下列说法正确的是(　 　)
A．当a＝10时，表示圆心为(2，－4)的圆
B．当a<10时，表示圆心为(2，－4)的圆
D．当a＝8时，表示的圆与y轴相切
BCD
8．（6分）（多选）圆C：(x－2)2＋y2＝1，点P(m，n)为圆C上的动点，则下列结论正确的是(　 　)
AC
x2＋(y－2)2＝4
10．（5分）（2024·江西九江二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．这条线称为三角形的欧拉线．已知A(0，2)，B(4，2)，C(a，－1)，且△ABC为圆x2＋y2＋Ex＋Fy＝0的内接三角形，则△ABC的欧拉线方程为______．
y＝1
12．（17分）已知圆C的方程为x2＋y2－2x＋4y－m＝0.
(1)若点A(m，－2)在圆C的内部，求m的取值范围；
解：圆C的方程即(x－1)2＋(y＋2)2＝5＋m，所以m>－5，
再根据点A(m，－2)在圆C的内部，可得(m－1)2＋(－2＋2)2<5＋m，
解得－1(2)当m＝4时，设P(x，y)为圆C上的一个动点，求(x－4)2＋(y－2)2的最小值．
D
D
15．（5分）（2024·湖南长沙一中月考）已知动点P在圆M：(x－m＋1)2＋(y－m)2＝1上，动点Q在曲线y＝ln x上．若对任意的m∈R，|PQ|≥n恒成立，则n的最大值是______．
解析：由题意可知|PQ|≥|QM|－r＝|QM|－1，当且仅当点P在线段QM上时，等号成立，所以求|PQ|的最小值即为求|QM|的最小值，因为⊙M的圆心M(m－1，m)在直线y＝x＋1上，动点Q到直线
y＝x＋1的距离即为|QM|的最小值，当动点Q在
如图所示位置时动点Q到直线y＝x＋1的距离最小．

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