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第八章　平面解析几何
8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　直线与圆的位置关系
考点2　圆与圆的位置关系
01
02
课时作业
第三部分
1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．直线与圆的位置关系
设圆的半径为r(r>0)，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示．
教材回扣
0
d>r
1
两组相同的
d两组不同的
2.圆与圆的位置关系
d>R＋r
d＝R＋r
d＝R－r
d与切线、切点弦有关的结论
(1)已知
⊙O1：x2＋y2＝r2；
⊙O2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
⊙O3：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(　 　)
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　 　)
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．(　 　)
(4)“k＝0”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　 　)
基础检测
×
×
√
×
2．（人教A版选择性必修第一册P93T1改编）直线l：y＝x＋1与圆C：(x－1)2＋y2＝4的位置关系是(　 　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．都有可能
A
3．（人教A版选择性必修第一册P93T3改编）直线l：x＋2y＋4＝0被圆C：(x－3)2＋(y＋1)2＝9截得的弦长为(　 　)
C
4．（人教A版选择性必修第一册P98练习T1改编）圆x2＋y2＝1与圆(x－2)2＋y2＝1的位置关系是(　 　)
A．相交 B．外切
C．外离 D．内含
解析：圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1，圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2，0)，半径为1，可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆外切．故选B.
B
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 直线与圆的位置关系
命题角度1　直线与圆位置关系的判断
【例1】　直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　 　)
A．相交、相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
【解析】　方法一　直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，则该直线恒过定点(1，2).因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1，2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．故选C.
C
规律总结
判断直线与圆的位置关系的常用方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的关系判断．
(2)代数法：联立方程并消元后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
命题角度2　弦长问题
【例2】　（2024·辽宁抚顺三模）已知直线y＝x＋1与圆C：x2＋y2＝5相交于M，N两点，O为坐标原点，则△MON的面积为(　 　)
A
规律总结
弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立为方程组，消元后根据根与系数的关系及弦长公式求弦长．
命题角度3　切线问题
【例3】　一束光线从点(2，3)射出，经x轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则入射光线所在直线的斜率为(　 　)
C
规律总结
圆的切线方程的求法（切线斜率存在）
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k.
命题角度4　直线与圆位置关系中的最值问题
【例4】　（2024·湖南邵阳三模）已知直线l：x－y－2＝0与圆O：x2＋y2＝1，过直线l上的任意一点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，则∠APB的最大值为(　 　)
C
规律总结
直线与圆的位置关系的问题中，对于与圆的切线有关的线段长度范围（最值）问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
【对点训练1】　(1)（2024·江西吉安模拟）已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0与直线kx－y＋2＝0有公共点，则整数k的值为(　 　)
A．－3 B．－1
C．1 D．2
B
(2)（2024·全国甲卷理）已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　 　)
A．1 B．2
C
(3)（2024·四川德阳模拟）已知⊙C：(x－2)2＋y2＝1，过坐标原点O作⊙C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形OACB的面积为(　 　)
B
(4)（2024·河北沧州一模）过点P(1，2)作圆O：x2＋y2＝10相互垂直的两条弦AC与BD，则四边形ABCD的面积的最大值为(　 　)
D
考点2 圆与圆的位置关系
C
(2)（多选）（2024·湖南长沙模拟）若圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0与圆O2：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B两点，则下列选项中正确的是(　 　)
A．点(1，－1)在圆O2内
B．直线AB的方程为x＋y－1＝0
D.圆O2上存在两点P，Q，使得|PQ|>|AB|
BC
规律总结
1．判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
【对点训练2】　(1)（2024·河北石家庄二模）已知圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0交于A，B两点，则|AB|＝(　 　)
C
(2)（多选）（2024·黑龙江齐齐哈尔一模）已知圆C1：(x－3)2＋y2＝1，C2：x2＋(y－a)2＝16，则下列结论正确的有(　 　)
A．若圆C1和圆C2外离，则a>4
B．若圆C1和圆C2外切，则a＝±4
C．当a＝0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线
D．当a＝－2时，圆C1和圆C2相交
BCD
课时作业56
第
分
部
三
1．（5分）（2024·四川南充二模）已知圆C：x2＋2x＋y2－1＝0，直线l：x＋n(y－1)＝0，则直线l与圆C(　 　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
D
C
3．（5分）（2024·云南昆明一模）过点P(－2，0)作圆C：x2＋y2－4x－4＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积为(　 　)
C
4．（5分）（2024·山西吕梁二模）已知A，B分别是圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－4)2＝36(a≥0)上的动点，若|AB|的最大值为12，则a＝(　 　)
A．0 B．1
C．2 D．3
D
5．（5分）圆C1：x2＋y2－2x＝10与圆C2：(x＋2)2＋(y－4)2＝16的公共弦长为(　 　)
A
B
7．（6分）（多选）（2024·福建南平二模）已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)，则(　 　)
A．直线l过定点(3，1)
C．当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，l的方程为2x－y－5＝0
ACD
8．（6分）（多选）（2024·山东青岛三模）已知动点M，N分别在圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1和C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3上，动点P在x轴上，则(　 　)
A．圆C2的半径为3
B．圆C1和圆C2相离
BD
9．（5分）（2024·河北张家口三模）圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：(x－5)2＋(y－3)2＝36的公切线的方程为__________________．
4x＋3y＋1＝0
10．（5分）已知圆C：x2＋y2－2ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称，圆C与x轴交于A，B两点，则|AB|＝____．
11．（16分）已知直线l经过点P(1，0)，圆C：x2＋y2＋2x－6y＋6＝0.
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
解：由已知得，圆C：(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心坐标为(－1，3)，半径为2. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时直线与圆C相切，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k(x－1)，即kx－y－k
12．（17分）已知两圆M：x2＋y2＝10和N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0.
(1)求两圆的公共弦所在直线的方程；
解：由圆M：x2＋y2＝10和圆N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0，
两个圆的方程相减并整理，得x＋y－2＝0，即两圆的公共弦所在直线的方程为x＋y－2＝0.
(2)求过两圆交点且圆心在直线x＋2y－3＝0上的圆的方程．
13．（5分）过点P(－1，1)的直线l与圆C：x2＋y2＋4x－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　 　)
A
14．（5分）（2024·福建龙岩三模）已知曲线C1：x2＋y2－10y＋16＝0与曲线C2：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a>0)相交于A，B两点，直线AB交x轴于点P，则点P的横坐标的取值范围为(　 　)
D
15．（5分）（2024·江西鹰潭三模）已知m∈R，直线l1：mx＋y＋2m＝0与l2：x－my＋4m＝0的交点P在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上，则r的最大值是(　 　)
D

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