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第八章　平面解析几何
8.5　椭圆
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　椭圆的定义及应用
考点2　椭圆的方程
01
02
考点3　椭圆的几何性质
03
课时作业
第三部分
高考创新方向 知识交汇
04
1．理解椭圆的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、轴长、离心率）.
3．掌握椭圆的简单应用．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的________等于常数（大于_________）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的____，两焦点间的距离叫做椭圆的____，焦距的一半称为半焦距．
教材回扣
距离的和
|F1F2|
焦点
焦距
2．椭圆的标准方程和简单几何性质
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
a，b，c 的关系 _____________ 焦点 ___________________ F1(0，－c)，
F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c a2＝b2＋c2
F1(－c，0)， F2(c，0)
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
简单 几何 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为____ 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) __________________________________________
轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 离心率 e＝__，且e∈__________，e越接近1，椭圆越___ 原点
A1(0，－a)， A2(0，a)，
B1(－b，0)， B2(b，0)
(0，1)
扁平
3.在用椭圆定义时，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段（包括端点）；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在．
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)设F1(－4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆.(　 　)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　 　)
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　 　)
基础检测
×
√
×
×
A．6　　　 B．7　　　
C．8　　　 D．9
解析：由椭圆方程可知a2＝36，解得a＝6.又椭圆上一点M到两焦点的距离和为2a＝12，所以M到另一个焦点的距离为12－5＝7.故选B.
B
D
A
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 椭圆的定义及应用
【例1】　(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝16，F(－1，0)为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为(　 　)
A
6
规律总结
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
【对点训练1】　(1)（2024·山西太原三模）已知点F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，P(4，3)是C上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为I(m，1)，则椭圆C的标准方程是(　 　)
B
B．|PF1|的最小值为2
C．|PF1|·|PF2|的最大值为16
D．可能存在点P，使得∠F1PF2＝65°
D
考点2 椭圆的方程
【例2】　(1)与椭圆3x2＋4y2＝12有相同焦点，且过点(4，0)的椭圆的方程是(　 　)
C
D
规律总结
根据条件求椭圆方程的常用方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，进而求出椭圆方程．
B
A
考点3 椭圆的几何性质
命题角度1　离心率
D
D
规律总结
求椭圆离心率或其范围的常用方法
(3)构造关于a，c的齐次方程或不等式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e的值或范围．
命题角度2　与椭圆有关的最值（范围）问题
D
规律总结
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质．
(2)利用函数，尤其是二次函数．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
D
C
高考创新方向 知识交汇
D
创新解读
本题将解析几何与基本不等式结合，题目新颖，需要充分挖掘几何关系并转化为直线方程才能顺利做出题目，充分体现了解析几何“先用几何眼光观察，再用代数方法解决”的学科思想，与新高考倡导的“鼓励学生多角度主动思考、深入探究”的思想不谋而合．
课时作业57
第
分
部
三
A．4　　　 B．8
C．10　　 D．12
解析：由题意，得c2＝4，a2＝k，b2＝8，所以k＝4＋8＝12.故选D.
D
C
B
D
B
B
C
A
ACD
ABD
BCD
解析：设椭圆的上顶点为E，如图所示，则直角三角形BOE中，
△FMN的周长为|MF|＋|NF|＋|MN|＝4－|MF′|＋4－|NF′|＋|MN|＝8－(|MF′|＋|NF′|－|MN|)≤8，当且仅当M，N，F′三点共线时，等号成立，故D正确．故选BCD.
12．（6分）（2024·广东江门二模）已知圆A：(x＋1)2＋y2＝1内切于圆P，圆P内切于圆B：(x－1)2＋y2＝49，则动圆P的圆心的轨迹方程为
________________．
5
D
D
C

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