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第八章　平面解析几何
8.7　抛物线
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　抛物线的定义与标准方程
考点2　抛物线的几何性质
01
02
考点3　抛物线的综合问题
03
课时作业
第三部分
1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.
3．掌握抛物线的简单应用．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的____，直线l叫做抛物线的____．
教材回扣
相等
焦点
准线
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
向右
向下
x≤0
y≥0
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　 　)
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).(　 　)
(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(　 　)
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．(　 　)
基础检测
×
×
√
√
2．（人教A版选择性必修第一册P133T2改编）已知抛物线C：y＝6x2，则C的准线方程为(　 　)
C
3．（人教A版选择性必修第一册P133T3改编）已知抛物线y2＝2px上的点M(2，y0)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是(　 　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－2x D．y2＝－4x
B
4．（人教A版选择性必修第一册P138练习T3改编）P为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p＝(　 　)
A．2 B．4
C．4或9 D．2或18
D
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 抛物线的定义与标准方程
【例1】　(1)（2024·北京海淀区三模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|＝6，则△MNF的面积为(　 　)
C
(2)（2024·陕西西安一模）平面上动点M到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3，则动点M满足的方程为___________________________．
y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0)
规律总结
1．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向．在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
【对点训练1】　(1)（2024·四川雅安三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的一条直径与拋物线x2＝2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p＝(　 　)
C
解析：因为圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的一条直径与抛物线x2＝2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2＝2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，如图，因为圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(2，－1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2，1)，即抛物线x2＝2py(p>0)经过点(2，1)，则4＝2p，解得p＝2.故选C.
(2)（2024·山西晋城一模）吉林雾凇大桥，位于吉林市松花江上，连接雾凇高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾凇大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为p米）的一部分，左、右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为a米（将每根吊索视为线段）.已知最中间的吊索的长度（即图中点A到桥面的距离）为b米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点B到桥面的距离）为(　 　)
A
考点2 抛物线的几何性质
命题角度1　焦半径和焦点弦
C
规律总结
与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).则有
命题角度2　与抛物线有关的最值问题
【例3】　（2024·湖南常德一模）已知抛物线方程为y2＝16x，焦点为F.圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1，设P为抛物线上的一点，Q为圆上的一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为(　 　)
A．6　　 B．7
C．8　　 D．9
C
【解析】　由抛物线方程为y2＝16x，得焦点F(4，0)，准线方程为x＝－4，如图，过点P作准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|＝|PN|，所以|PF|＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|，当点Q固定不动时，P，Q，N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1，得圆心M(5，1)，半径r＝1，所以|QN|min＝|MN|－r＝8.故选C.
规律总结
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
【对点训练2】　(1)（2024·山东泰安二模）设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝(　 　)
A
(2)（2024·湖南益阳三模）已知M是抛物线y2＝4x上一点，圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x－1对称的圆为圆C2，N是圆C2上的一点，则|MN|的最小值为(　 　)
A
考点3 抛物线的综合问题
规律总结
1．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则可以选用一般弦长公式．
2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
【对点训练3】　过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
课时作业59
第
分
部
三
1．（5分）（2024·北京朝阳区二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P为C上一点．若|PF|＝8，则点P的横坐标为(　 　)
A．5　　　 B．6　　　
C．7　　　 D．8
解析：由题意知，F(1，0)，由抛物线的定义知，|PF|＝xP＋1＝8，解得xP＝7，即点P的横坐标为7.故选C.
C
A
2．（5分）（2024·江西新余二模）已知点Q(2，－2)在抛物线C：y2＝2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF（O为坐标原点）的面积是(　 　)
3．（5分）（2024·湖南衡阳三模）已知点F(2，0)，动圆P过点F，且与x＝－2相切，记动圆圆心点P的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为(　 　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝12x
解析：由题意知，点P到点F的距离和它到直线x＝－2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线，所以Γ的方程为y2＝8x.故选C.
C
C
5．（5分）已知直线y＝k(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k(x－2)与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|－2|MN|，则(　 　)
A．λ＝－12 B．－12<λ<0
C．λ＝－16 D．λ<－16
A
6．（6分）（多选）（2025·八省联考）已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点，则(　 　)
A．p＝4
B．|MF|≥|OF|
C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
ABC
7．（6分）（多选）（2024·湖北襄阳二模）抛物线C：x2＝2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(t，1)时，|PF|＝2，直线l与抛物线相交于A，B两点，下列结论正确的是(　 　)
A．抛物线的方程为x2＝8y
B．抛物线的准线方程为y＝－1
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．|AF|＋|BF|≥4
BC
BD
9．（5分）（2024·湖南长沙二模）已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为__________．
解析：如图，由题意，得直线l：y＝－1，且圆N：x2＋(y－3)2＝4，设圆M半径为r，则点M到l′：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，故点M的轨迹是以N为焦点，以l′为准线的抛物线，故方程为x2＝12y.
x2＝12y
10．（5分）（2024·天津卷）圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为
_______．
11．（15分）已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F到顶点的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
12．（16分）已知曲线C在y轴右侧，C上的任意点到点F(1，0)的距离减去它到y轴的距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
解：因为C上的任意点到点F(1，0)的距离减去它到y轴的距离的差都是1，所以C上的任意点到点F(1，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离，所以曲线C是以F(1，0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线．
因为曲线C在y轴右侧，所以曲线C的方程是y2＝4x(x>0).
(2)若曲线C上总存在不同两点关于直线y＝x＋m对称，求实数m的取值范围．
解：如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，所以kMN＝－1.设直线MN的方程为y＝－x＋n，代入y2＝4x(x>0)，得y2＋4y－4n＝0(y≠0).
因为直线MN与C有两个不同交点，所以42－4×1×(－4n)＝16(n＋1)>0，且n≠0，解得n>－1且n≠0.
所以y1＋y2＝－4，y1y2＝－4n，x1＋x2＝(n－y1)＋(n－y2)＝2n－(y1＋y2)＝2n＋4，所以MN的中点坐标为(2＋n，－2).
又MN的中点在直线y＝x＋m上，所以－2＝2＋m＋n，即m＝－4－n，
因为n>－1且n≠0，所以m<－3且m≠－4.所以m的取值范围是(－∞，－4)∪(－4，－3).
13．（5分）（2024·北京顺义区二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，直线PF与l相交于点Q，与y轴相交于点M.若F为PQ的中点，则|PM|＝(　 　)
A．4 B．6
B
A
ABD
15．（6分）（多选）（2024·新课标Ⅱ卷）抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则(　 　)
A．l与⊙A相切
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个

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