资源简介

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第八章　平面解析几何
8.6　双曲线
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　双曲线的定义
考点2　双曲线的方程
01
02
考点3　双曲线的几何性质
03
课时作业
第三部分
高考创新方向 创新考法
04
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、轴长、渐近线、离心率).
3．了解双曲线的简单应用．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．双曲线的定义
(1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于_______)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的____，两焦点间的距离叫做双曲线的____．
(2)等轴双曲线：__________等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程为________，离心率为e＝____．
教材回扣
差的绝对值
|F1F2|
焦点
焦距
实轴和虚轴
y＝±x
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点 ____________________ F1(0，－c)，
F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c a，b，c 的关系 ________________ F1(－c，0)，F2(c，0)
c2＝a2＋b2
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
简 单 几 何 性 质 范围 x≤－a或x≥a， y∈R y≤－a或y≥a，
x∈R
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 (－a，0)，(a，0) _____________________
轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝____ 渐近线 ______
______
离心率 e＝__，且e∈__________ (0，－a)，(0，a)
2b
(1，＋∞)
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
教材拓展
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　 　)
基础检测
×
×
√
√
C
3．(人教A版选择性必修第一册P127习题T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐
近线方程是__________．
解析：根据题意及双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
17
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 双曲线的定义
【例1】　(1)已知一个动圆P与两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和C2：(x－3)2＋y2＝9都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为(　 　)
A
C
规律总结
双曲线定义的应用策略
(1)利用双曲线的定义可判断平面内动点的轨迹是否为双曲线．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立所求与|PF1|·|PF2|的联系．
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差要取绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在的坐标轴．
C
C
考点2 双曲线的方程
D
C
规律总结
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
【对点训练2】　(1)过点(2，3)且与椭圆5x2＋9y2＝45有相同焦点的双曲线的标准方程为(　 　)
A
C
考点3 双曲线的几何性质
命题角度1　渐近线
y＝±2x
规律总结
命题角度2　离心率
【解析】　如图所示，由双曲线的定义，P为双曲线右支上任意一点，可得
规律总结
A
AD
高考创新方向 创新考法
(2)(ⅰ)如果把(1)的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明．
创新解读
本题考法新颖，不同于以往解析几何大题先求曲线方程的常规套路，而是要求证明一个二级结论，教学过程中师生都易关注常见结论，而忽视结论的由来和证明，导致学生出现“知其然，不知其所以然”的现象，本题提示我们在学习过程中要注重数学推导过程的学习．
考教衔接
圆锥曲线的第三定义
1．链接教材：(1)（人教A版选择性必修第一册P108例3）
2．圆锥曲线的第三定义
平面内的动点到两定点A1(－a，0)，A2(a，0)的斜率之积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两个定点为椭圆或双曲线的两个顶点．其中如果常数e2－1∈(0，＋∞)，轨迹为双曲线，如果常数e2－1∈(－1，0)，轨迹为椭圆．
3．圆锥曲线的第三定义的有关结论
【典例】　(1)已知A，B分别是双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　 　)
D
B
课时作业58
第
分
部
三
A
A
B
4．（5分）（2024·福建莆田三模）已知圆C：(x－3)2＋y2＝16，A(－3，0)，P是圆C上的动点，线段PA的垂直平分线与直线PC（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是(　 　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：由题意可得圆心C(3，0)，半径r＝4.因为M在线段PA的垂直平分线上，所以|MA|＝|MP|，则||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||＝|CP|＝4.因为|AC|＝6>|CP|，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线．故选C.
C
A
6．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则cos ∠F1BF2＝(　 　)
B
7．（5分）（2024·全国甲卷）已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　 　)
A．4 B．3
C
C
A．λ的取值范围为(－6，3)
B．C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C．C的焦距为6
D．C的离心率e的取值范围为(1，3)
AC
ACD
BCD
A
ACD

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