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第八章　平面解析几何
8.8　直线与圆锥曲线
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　直线与圆锥曲线的位置关系
考点2　弦的有关问题
01
02
考点3　直线与圆锥曲线的综合问题
03
课时作业
第三部分
1．理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法．
2．掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式．
3．能解决直线与圆锥曲线相交的综合问题．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线可能的位置关系包括____、____、____；相交时有一个或两个交点，相切时有一个交点，相离时无交点．
(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋D＝0与圆锥曲线C的方程组成方程组，消去y（或x）得到一个关于变量x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）.
①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C____；Δ＝0时，直线l与曲线C____；Δ＜0时，直线l与曲线C____．
教材回扣
相交
相切
相离
相交
相切
相离
②当a＝0时，即得到一个一次方程，则直线l与曲线C相交，且只有一个交点，此时，若曲线C为双曲线，则直线l与双曲线的______平行；若曲线C为抛物线，则直线l与抛物线的______平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
_______________＝______________________或|AB|＝_____________＝
___________________________，k为直线斜率且k≠0.
渐近线
对称轴
3．中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解
(1)利用根与系数的关系：将直线的方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)直线与圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切、相交．(　 　)
(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”．(　 　)
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　 　)
基础检测
√
√
×
×
A．(－∞，0)∪(1，＋∞)
B．(0，3)∪(3，＋∞)
C．(1，3)∪(3，＋∞)
D．(1，＋∞)
C
3．（人教A版选择性必修第一册P136T3改编）已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是(　 　)
A．2 B．4
C．8 D．16
C
B
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】　(1)（2024·江苏宿迁三模）已知抛物线C：x2＝y，点M(m，1)，则“m>1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的(　 　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A
规律总结
在判断直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x（或y），得到关于y（或x）的方程，如果是直线与椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形．
C
B
考点2 弦的有关问题
B
规律总结
弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线方程与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点．
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，将两端点坐标代入方程，作差构造中点、斜率间的关系．若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率．
7
规律总结
弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，设斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的所设的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
C
考点3 直线与圆锥曲线的综合问题
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
规律总结
1．解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线的方程和椭圆的方程，消去y（或x）得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．
2．涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
解：设A(x0，y0)(y0>0)，则B(－x0，－y0)，
由题知x0≠1且x0≠±3，
课时作业60
第
分
部
三
1．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，直线l过点A(－2，0)，且与抛物线C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l的条数为(　 　)
A．2　　　 B．3
C．4　　　 D．5
B
C
B
4．（5分）（2024·甘肃金昌二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点．若|AB|＝5，则直线l的方程为(　 　)
B
D
C
7．（6分）（多选）（2024·山东青岛质检）设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　 　)
A．|AB|≥4
B．|OA|＋|OB|>8
C．若点P(2，2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3
D．△OAB面积的最小值是2
ACD
解析：由题意知F(1，0)，不妨设A在第一象限，若直线l斜率不存在，则A(1，2)，B(1，－2)，则|OF|＝1，
8．（6分）（多选）（2024·江苏苏州三模）过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l：y＝x－1与C相交于A，B两点，O为坐标原点，则(　 　)
A．p＝2 B．OA⊥OB
ACD
(2)已知点M0(1，4)，求证：线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点；
(3)设M是坐标平面上的动点，且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．
证法二　设线段F1M的垂直平分线l与C恰有一个公共点P，
则当点P不在椭圆长轴上时，线段F1M的垂直平分线l即为C在点P处的切线，也为∠F1PM的平分线所在直线，如图，
作∠F1PF2的平分线PH，根据椭圆的光学性质得PH⊥l，所以∠F1PE＋∠F1PH＝90°，则∠F2PH＋∠EPM＝90°，
故∠F2PF1＋∠F1PM＝180°，
所以M，P，F2三点共线，所以|MF2|＝|MP|＋|PF2|＝|PF1|＋
|PF2|＝4，所以点M的轨迹是以F2为圆心，4为半径的圆，
当点P在椭圆长轴上时，点M的坐标为(5，0)或(－3，0)，也满足|MF2|＝4，
故点M的轨迹是圆，该圆的方程为(x－1)2＋y2＝16.
D
B
AC

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