资源简介

(共55张PPT)
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微专题九　圆锥曲线中的定点、定直线、
定值问题
数学
内容索引
关键能力提升
第一部分
考点1　定点问题
考点2　动点在定直线上的问题
01
02
课时作业
第二部分
考点3　定值问题
03
掌握解决定点、定直线和定值问题的一般方法，提升数学运算素养．
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
一
考点1 定点问题
命题角度1　直线过定点问题
(1)求椭圆E的方程．
(2)设过点M(2，0)的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆E交于不同的两点A，C，与直线x＝16交于点P.点B在y轴上，D为坐标平面内的一点，四边形ABCD是菱形．求证：直线PD过定点．
规律总结
直线过定点问题的常用方法
(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明．
(2)“一般推理，特殊求解”，即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点．
(3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)或斜截式方程y＝kx＋b来证明．
命题角度2　圆过定点问题
规律总结
圆锥曲线中圆过定点问题的解法：充分利用圆的几何特征，即圆过定点，可依据直径所对圆周角为直角，转化为两条线段的垂直，进而转化为两个向量垂直，即两向量的数量积等于0，从而建立方程求解．
(2)直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若直线PA，PB的斜率互为倒数，求证：直线l过定点．
解：证明：当l斜率不存在时，显然不满足条件．
当l斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，与C的方程联立，消去y得(4－k2)x2－2kmx－m2－20＝0，
由已知得k2≠4，且Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋20)＝16(m2－5k2＋20)>0.
考点2 动点在定直线上的问题
【例3】　（2024·湖南娄底一模）若抛物线Γ的方程为y2＝4x，焦点为F，设P，Q是抛物线Γ上两个不同的动点．
(1)若|PF|＝3，求直线PF的斜率；
规律总结
动点在定直线上问题的解题策略
(1)从特殊入手，初步确定动点所在的直线，再证明一般情况下动点也在该定直线上即可．
(2)从动点的坐标入手，直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到动点的横、纵坐标关系，进而得出定直线方程．
(2)求证：点T在定直线上．
考点3 定值问题
(2)过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆交于E，F两点（点E在第一象限），P，Q是椭圆C上位于直线l两侧的动点，始终保持∠QEF＝∠PEF，求证：直线PQ的斜率为定值．
规律总结
求定值问题常见类型及解题策略
(1)常见类型
①证明代数式为定值：依据题设条件，得出与代数式中参数有关的等式，代入代数式后再化简，即可得出定值；
②证明点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用条件化简，即可证明；
③证明线段长度、斜率、图形面积（或以上量的和、差、积、商）等为定值：写出各量的目标函数解析式，再消去参数即可．
(2)常用策略
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【对点训练3】　（2024·山东济南三模）如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的准线过点(－2，3).
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若角α为锐角，以角α为倾斜角的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，作线段AB的垂直平分线l交x轴于点P，求证：|FP|－|FP|cos 2α为定值，并求出此定值．
课时作业63
第
分
部
二
1．（15分）（2024·河南驻马店三模）设A，B为曲线C：y2＝4x上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)若A与B的纵坐标之和为4，求直线AB的方程；
(2)求证：线段AB的垂直平分线过定点．
解：存在．
当直线l的斜率不为0时，设其方程为x＝my＋2.由于直线与双曲线有两个交点，则直线不能与渐近线平行，渐近线斜率为±1，则m≠±1.
(1)判断直线l是否过x轴上的定点．若过，求出该定点；若不过，请说明理由．
解：直线l过x轴上的定点．
由题意可知A1(－1，0)，A2(1，0)，k≠0，设直线l的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2).
故直线l的方程为y＝k(x－2)，恒过点(2，0).
(2)若M，N分别在第一和第四象限内，求证：直线MA1与NA2的交点P在定直线上．
解：如图，设椭圆C的右顶点是A′，连接MA′，
(2)若直线AM和AN分别与直线x＝4交于P，Q两点，求证：以线段PQ为直径的圆恒过两个定点，并求出定点坐标．
所以以PQ为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＋6ty－9＝0.
令y＝0，得x＝1或x＝7，
故以线段PQ为直径的圆恒过x轴上的两定点，定点坐标分别为(1，0)和(7，0).

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