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微专题十　圆锥曲线中的证明、探索性问题
数学
内容索引
关键能力提升
第一部分
考点1　证明问题
考点2　探索性问题
01
02
课时作业
第二部分
掌握圆锥曲线中的证明、探索性问题的一般解法，进一步提升数学运算素养．
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
一
考点1 证明问题
(1)求C的方程；
(2)过点P(4，0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，求证：AQ⊥y轴．
规律总结
圆锥曲线中常见的证明问题
(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等．
(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P是椭圆C上一点，不与顶点重合，M满足四边形PB1MB2是平行四边形，过点P作垂直于y轴的直线交直线AB1于点Q，再过点Q作垂直于x轴的直线交直线PB2于点N，求证：A，M，N三点共线．
考点2 探索性问题
规律总结
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．
(1)求抛物线S的方程．
(2)在抛物线S上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，求出该两点所在直线的方程；若不存在，请说明理由．
创新点
解析几何中的创新问题
解析几何的创新题型的表现形式有两种：①定义新的解析几何的概念或性质，如曲线、距离、曲率等，在此新定义下研究定点、定值、最值、范围等问题；②与其他数学知识交汇命题，如与数列、导数、立体几何等，借助这些数学知识解决解析几何问题．
(1)求双曲线M的方程．
(2)过点A且与x轴垂直的直线交x轴于点G，点E到直线AG的距离为d，连接BE.
课时作业64
第
分
部
二
(2)如图，点P为x轴正半轴上的任意一点，过点P作直线交抛物线C于A，B两点，点P关于原点的对称点为M，连接MA交抛物线于点N，连接NP，直线NP交抛物线于点E，求证：PM为∠APE的平分线．
解：证明：设A(x3，y3)，N(x4，y4)，P(m，0)，则M(－m，0)，直线AM的方程为x＝ty－m.
又x3y4＋x4y3－m(y3＋y4)＝(ty3－m)y4＋(ty4－m)y3－m(y3＋y4)＝2ty3y4－2m(y3＋y4)＝4ptm－4ptm＝0，∴kAP＋kNP＝0，
∴PM为∠APE的平分线．
(2)设P为第二象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线BP与直线CD交于点N，求证：MN⊥BD.
(1)若y0＝3，且点P在第一象限，点Q关于x轴的对称点为R，求直线PR与双曲线C相交所得的弦长．
(2)探究：△PQF的外心是否落在双曲线C在点P处的切线上？若是，请给出证明过程；若不是，请说明理由．
(2)设O为原点，点N在直线x＝2上，N，P分别在x轴的两侧，且△APB与△NBP的面积相等．
①求证：直线ON与直线AP的斜率之积为定值．
②是否存在点P使得△APB≌△NBP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
故直线ON与直线AP的斜率之积为定值－1.
②假设存在点P使得△APB≌△NBP.
因为|AB|>|AP|，|NP|>|NB|，|BP|＝|BP|，所以|AP|＝|NB|，∠APB＝∠NBP，∠ABP＝∠NPB，
则∠APN＝∠NBA＝90°.
由①可知，AP⊥ON，又AP⊥NP，所以O，N，P三点共线，如图，
则∠OPB＝∠OBP，所以
|OP|＝|OB|＝2，
则点P与点A重合，这与已知矛盾，
所以不存在点P使得△APB≌△NBP.

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