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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.2　函数的单调性与最值
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　确定函数的单调性
考点2　求函数的最值(值域)
01
02
考点3　函数单调性的应用
03
课时作业
第三部分
1．会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值．
2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
教材回扣
项目 增函数 减函数
定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1，x2 项目 增函数 减函数
定 义 当x1特别地，当函数f(x)在它的定义域上________时，我们就称它是减函数
f(x1)f(x1)>f(x2)
单调递增
单调递减
单调递增
单调递减
项目 增函数 减函数
图 象 描 述 自左向右看图象是______
自左向右看图象是______
上升的
下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，______叫做y＝f(x)的单调区间．
单调递增
单调递减
区间I
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1) x∈D，都有__________． (2) x0∈D，使得____________ (1) x∈D，都有__________．
(2) x0∈D，使得____________
结论 M为最大值 M为最小值
f(x)≤M
f(x0)＝M
f(x)≥M
f(x0)＝M
1．函数单调性的等价定义
设任意x1，x2∈D(x1≠x2)，则
2．有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数．
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)对于函数y＝f(x)，若f(1)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）.(　 　)
(4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　 　)
基础检测
×
×
×
√
[2，＋∞）
2
4．（苏教必修第一册P122T4改编）若f(x)是定义在(－3，6)上的减函数，且f(2x＋1)>f(5)，则x的取值范围为____________________．
{x|－2互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 确定函数的单调性
命题角度1　求函数的单调区间
【例1】　(1)（2024·广东深圳三模）函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是________________________．
(－1，2)，(5，＋∞)
[0，2]
命题角度2　利用定义证明函数的单调性
由于－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)方法二（导数法）
规律总结
1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．
2．(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．
(2)函数y＝f(g（x)）的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
易错警示：不连续且单调性相同的单调区间要分开写，且用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
【对点训练1】　(1)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论正确的是(　 　)
D
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－2，2) D．(－∞，2)，(2，＋∞)
D
考点2 求函数的最值（值域）
【例3】　(1)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，则f(x)在区间[0，4]上的值域为____________．
【解析】　因为f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2图象的对称轴为直线x＝1，所以f(x)在区间[0，1]上单调递减，在[1，4]上单调递增，当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＝4，f(x)max＝f(4)＝11，所以f(x)在区间[0，4]上的值域为[2，11].
[2，11]
4
规律总结
1．求函数最值（值域）的三种基本方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值（值域）.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值（值域）.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值（值域）.
2．对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的单调性或极值，然后结合端点函数值求出最值（值域）.
[－1，＋∞）
1
考点3 函数单调性的应用
命题角度1　比较函数值的大小
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
D
命题角度2　解不等式
【例5】　若函数f(x)的定义域为R，且对 x1，x2∈R，x12的解集为(　 　)
A．(－1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
【解析】　函数f(x)的定义域为R，且对 x1，x2∈R，x12，整理得f(x)＋x>f(2－x)＋2－x，∵h(x)＝f(x)＋x为单调递增函数，∴x>2－x，解得x>1.故选C.
C
命题角度3　求参数的取值范围
B
规律总结
1．比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
2．求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
3．求参数的值（范围）时，根据单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
A．f(n)＜1且f(p)＞1
B．f(n)＞1且f(p)＞1
C．f(n)＞1且f(p)＜1
D．f(n)＜1且f(p)＜1
C
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
B
解析：因为函数f(x)在R上单调递增，且当x＜0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞）上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，0].故选B.
A．(－2，2)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
A
课时作业7
第
分
部
三
1．（5分）函数f(x)＝|x|(x－1)的单调递减区间是(　 　)
B
A
C
A
解析：当x≤1时，f(x)＝x2＋1，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在（0，1]上单调递增，则f(x)min＝f(0)＝1；当x>1时，f(x)＝2x－a，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，无最小值．根据题意，f(x)存在最小值，所以2－a≥1，即a≤1.故选A.
D
6．（5分）已知x，y∈R，且x>y，则下列说法正确的是(　 　)
C
A．f(x)的定义域为{x|x≠±2}
B．f(x)在(2，＋∞)上单调递减
C．f(f（－5)）＝－6
D．f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)
ABC
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0
D．当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为[1，2]
BC
解析：易知f(x)在(－∞，0]，（0，＋∞)上单调递增，故A错误；由e>2，得f(e)>f(2)，故B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正确；当x∈[－1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈（0，1]时，f(x)∈（－∞，2]，故x∈[－1，1]时，f(x)的值域为（－∞，2]，故D错误．故选BC.
9．（5分）已知f(x)＝2x＋x，则不等式f(|2x－3|)<3的解集为__________．
解析：函数y＝2x，y＝x都是R上的增函数，则函数f(x)＝2x＋x是R上的增函数，不等式f(|2x－3|)<3 f(|2x－3|)(1，2)
[－2，1]
(1)求a，b的值；
(2)用定义法证明函数y＝f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增．
(1)用定义法证明f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；
(2)若f(x)的最小值是6，求a的值．
解：由(1)可知f(x)在(0，＋∞)上的最小值是f(2)＝4－a.
当x≤0时，f(x)＝x2－2ax＋a2－a，其图象的对称轴是直线x＝a.
①若a≥0，f(x)在（－∞，0]上单调递减，则f(x)在（－∞，0]上的最小值是f(0)＝a2－a.
②若a<0，f(x)在(－∞，a)上单调递减，在（a，0]上单调递增，则f(x)在（－∞，0]上的最小值是f(a)＝－a.
13．（5分）已知f(x)是定义在R上的单调函数， x∈R，f(f（x)－x3－2x＋1）＝13，则f(5)＝(　 　)
A．114 B．116
C．134 D．136
解析：由题意可知f(x)－x3－2x＋1是一个常数，设f(x)－x3－2x＋1＝t，则f(x)＝x3＋2x＋t－1，因为f(f（x)－x3－2x＋1）＝13，所以f(t)＝t3＋3t－1＝13，因为f(t)＝t3＋3t－1在R上单调递增，且f(2)＝13，所以t＝2，所以f(x)＝x3＋2x＋1，则f(5)＝53＋2×5＋1＝136.故选D.
D
(－∞，4)

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