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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.3　函数的奇偶性、周期性
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　函数奇偶性的判断
考点2　函数奇偶性的应用
01
02
考点3　函数的周期性及应用
03
课时作业
第三部分
1．了解函数的奇偶性、周期性的概念和几何意义．
2．掌握函数的奇偶性、周期性的简单应用．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．函数的奇偶性
教材回扣
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且_______________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于
____
对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于
____
对称
f(－x)＝f(x)
y轴
f(－x)＝－f(x)
原点
2.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_____________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
最小
最小正数
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任意自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是偶函数．(　 　)
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　 　)
(3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．(　 　)
(4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　 　)
基础检测
×
×
√
×
2．（多选）（人教A版必修第一册P84例6改编）给出下列函数，其中是奇函数的有(　 　)
A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5
BC
0
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 函数奇偶性的判断
【例1】　判断下列函数的奇偶性：
【解】　显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
因为当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x).
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数．
规律总结
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
【对点训练1】　(1)（2024·天津卷）下列函数是偶函数的是(　 　)
B
(2)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是(　 　)
A．f(x)＋g(x)为R上的奇函数
B．f(x)－g(x)为R上的偶函数
D
考点2 函数奇偶性的应用
命题角度1　利用函数的奇偶性求值（解析式）
C
C
A
(2)（2024·安徽安庆三模）已知函数f(x)＝ax|x|的图象经过点(2，8)，则关于x的不等式9f(x)＋f(4－x2)<0的解集为(　 　)
A．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
B．(－4，1)
C．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
D．(－1，4)
C
【解析】　由题意知f(2)＝4a＝8，解得a＝2，所以f(x)＝2x|x|，其在R上单调递增，又因为f(－x)＝－2x|－x|＝－2x|x|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，9f(x)＝f(3x)，所以不等式9f(x)＋f(4－x2)<0可化为f(3x)<－f(4－x2)＝f(x2－4)，于是3x0，解得x>4或x<－1.故选C.
规律总结
函数奇偶性的应用
(1)求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值，或得到关于参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
(3)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g（x)）＞f(h（x)）的形式，利用单调性把符号“f”脱掉，得到具体的不等式（组）.
A
(2)（2024·山西运城三模）设函数f(x)＝log2|x|－x-2，则不等式f(x－2)≥f(2x＋2)的解集为(　 　)
A．[－4，0]
B．[－4，0）
C．[－4，－1）∪(－1，0]
D．[－4，－1)∪(－1，0)
C
考点3 函数的周期性及应用
【例4】　(1)（2024·山东青岛一模）若 x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，则f(2 024)的值为(　 　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
B
(2)设f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数，当x∈[0，1）时，f(x)＝log2(x＋
1)，则函数f(x)在[4，6]上的解析式是_______________________________．
【解析】　因为f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数且x∈[0，1）时，f(x)＝log2(x＋1)，设x∈[4，5），则x－4∈[0，1），所以f(x)＝f(x－4)＝log2(x－3)；设x∈（5，6]，则x－6∈(－1，0]，－（x－6)∈[0，1），故f(x)＝f(x－6)＝－f[－(x－6)]＝－log2(6－x＋1)＝－log2(7－x)，又f(5)＝f(1)＝f(－1)＝－f(1)，所以f(5)＝0.综上可得，函数f(x)在[4，6]上的解析式是f(x)＝
规律总结
1．求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求出函数的周期．
2．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
【对点训练3】　(1)（2024·贵州六盘水三模）定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋3)＝f(1－x)，x∈[0，2]时，f(x)＝mex－1，则f(31)＝(　 　)
A．e＋1 B．e－1
C．1－e D．－e
解析：因为定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(x＋3)＝f(1－x)＝－f(x－1)＝－f(x－4＋3)＝－f[1－(x－4)]＝－f(5－x)＝f(x－5)，故f(x)的周期为8，当x∈[0，2]时，f(x)＝mex－1，则f(0)＝m－1＝0，所以m＝1，所以f(31)＝f(－1)＝－f(1)＝1－e.故选C.
C
(2)（2024·安徽合肥模拟）若定义在R上的函数f(x)，满足2f(x＋y)f(x－y)＝f(2x)＋f(2y)，且f(1)＝－1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝(　 　)
A．0 B．－1
C．2 D．1
D
课时作业8
第
分
部
三
1．（5分）（2024·北京大兴区三模）下列函数中，是偶函数，且在(－∞，0)上是减函数的是(　 　)
A．f(x)＝tan x B．f(x)＝ex＋e－x
B
B
2．（5分）（2024·安徽淮北二模）若函数f(x)＝ax＋ln (ex＋1)是偶函数（e是自然对数的底数），则实数a的值为(　 　)
3．（5分）（2024·河北保定二模）若函数y＝f(x)－1是定义在R上的奇函数，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＝(　 　)
A．3 B．2
C．－2 D．－3
解析：设F(x)＝f(x)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，即f(x)－1＋f(－x)－1＝0，即f(x)＋f(－x)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝2.因为F(0)＝f(0)－1＝0，所以f(0)＝1，f(－1)＋f(0)＋f(1)＝2＋1＝3.故选A.
A
4．（5分）已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0，＋∞），且x1≠x2，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则(　 　)
A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3)A
B
6．（5分）（2024·吉林长春模拟）已知函数f(x)＝|3x－3－x|，则不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集为(　 　)
A
A．函数f(x)有且仅有一个零点
B．函数f(x)是奇函数
C．f(x)在(－∞，2)上单调递减
D．函数f(x)的最小值为－4
CD
8．（6分）（多选）已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(2－x)＝f(x)，则(　 　)
A．4是f(x)的一个周期
B．f(6)＝0
C．f(1)＝f(3)
D．f(x－2)为偶函数
AB
9．（5分）（2024·陕西榆林三模）已知函数y＝f(x)为奇函数，且最大值为1，则函数y＝2f(x)＋1的最大值和最小值的和为__．
解析：奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，所以函数f(x)最大值和最小值之和为0，则函数y＝2f(x)＋1的最大值和最小值之和为2.
2
10．（5分）（2024·湖北武汉模拟）已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝4，g(x)＝(x－1)f(x)，若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝__.
解析：因为g(x＋1)＝xf(x＋1)，g(x＋1)是偶函数，y＝x为奇函数，所以y＝f(x＋1)为奇函数，所以f(1－x)＝－f(1＋x)，即f(－x)＝－f(x＋2)，因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期为4，由函数g(x＋1)是偶函数，可得g(－x＋1)＝g(x＋1)，即g(－x)＝g(x＋2)，所以g(－0.5)＝g(2.5)＝1.5f(2.5)＝1.5f(－2.5)＝1.5f(－2.5＋4×2)＝1.5f(5.5)＝6.
6
11．（16分）设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
解：证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．
解：∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4].
(1)求a；
(2)求不等式2[f(x)]2≤f(－x)的解集．
13．（5分）（2024·山东青岛三模）定义[x]表示不超过x的最大整数．例如：[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，则(　 　)
A．[x]＋[y]＝[x＋y]
B．f(x)＝x－[x]是周期函数
C．f(x)＝x－[x]是偶函数
D．f(x)＝x－[x]是增函数
B
解析：对于A，取x＝1.1，y＝1.9，则[x]＋[y]＝1＋1＝2，[x＋y]＝3，显然[x]＋[y]≠[x＋y]，所以A错误；对于B，函数f(x)是以1为周期的函数，故B正确；对于C，f(x)＝x－[x]，因为f(0.1)＝0.1－0＝0.1，f(－0.1)＝－0.1－(－1)＝0.9，所以f(0.1)≠f(－0.1)，所以f(x)不是偶函数，故C错误；对于D，f(0.1)＝0.1，f(1.1)＝0.1，所以f(0.1)＝f(1.1)，所以f(x)不是增函数，故D错误．故选B.
14．（5分）（2024·浙江绍兴三模）已知函数f(x)满足对任意实数x，y，都有f(f（x＋y)）＝f(x)＋f(y)成立，且f(0)＝1，则(　 　)
A．f(x＋1)为奇函数
B．f(x)＋1为奇函数
C．|f(x＋1)|为偶函数
D．|f(x)－1|为偶函数
D
解析：令x＝y＝0，则f(f（0)）＝f(0)＋f(0)，f(0)＝1，所以f(1)＝2，令y＝－x，则f(f（0)）＝f(x)＋f(－x)，即f(1)＝f(x)＋f(－x)，所以2＝f(x)＋f(－x)，所以函数f(x)的图象关于点(0，1)对称，所以f(x＋1)的图象关于点(－1，1)对称，故A不正确；f(x)＋1的图象关于点(0，2)对称，故B不正确；由A可知|f(x＋1)|的图象不关于y轴对称，故C不正确；由A可知f(x)－1的图象关于点(0，0)对称，故f(x)－1为奇函数，所以|f(x)－1|为偶函数，故D正确．故选D.
15．（5分）（2024·山西临汾三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(2 024)＝____．
解析：令x＝1，y＝0，则f(1)＋f(1)＝2f(1)＝f(1)f(0)，因为f(1)＝1，所以f(0)＝2，令x＝y＝1，则f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，得f(2)＝－1，令y＝1，则f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即f(x－1)＝f(x)－f(x＋1)，所以f(x)＝f(x＋1)－f(x＋2)，所以f(x－1)＝f(x＋1)－f(x＋2)－f(x＋1)＝－f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－f(x＋5)，所以f(x－1)＝f(x＋5)，即f(x)＝f(x＋6)，f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝－1.
－1

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