资源简介

(共68张PPT)
简洁
实用
高效
第二章　函数的概念与基本初等函数
2.4　函数的对称性及应用
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　函数的对称性
考点2　对称性与周期性
01
02
考点3　周期性、单调性与对称性
03
课时作业
第三部分
掌握一些函数的轴对称和中心对称公式和推论，会利用函数的对称性解决相关问题．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于____对称，偶函数关于____对称．
(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为______；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为__________．
2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点__________对称．
教材回扣
原点
y轴
x＝a
(a，0)
(a，0)
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于____对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于____对称．
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于____对称．
y轴
x轴
原点
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　 　)
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．(　 　)
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　 　)
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　 　)
基础检测
√
×
×
√
B
3．（人教A版必修第一册P87T13改编）已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝__．
解析：方法一　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4.
方法二　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)的图象关于点(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4.
4
4．若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝__．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于直线x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5.
5
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 函数的对称性
对称性的五个常用结论
(1)y＝f(x＋a)是偶函数 f(a＋x)＝f(a－x) y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)y＝f(x＋a)是奇函数 f(a＋x)＝－f(a－x) y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
规律总结
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
考教衔接
对称的充要条件
1．教材母题：（人教A版必修第一册P87T13）
我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
2．上述问题中第(2)题的结论为：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋c)为偶函数．
【典例】　（多选）已知函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，函数y＝f(x)图象关于直线x＝c成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋c)为偶函数，则(　 　)
ACD
考点2 对称性与周期性
C
规律总结
1．若函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝a，x＝b，则其周期T＝2|b－a|.
2．若函数y＝f(x)图象的对称中心为点(a，0)，(b，0)，则其周期T＝2|b－a|.
3．若函数y＝f(x)图象的对称轴为直线x＝a，对称中心为点(b，0)，则其周期T＝4|b－a|.
【对点训练2】　(1)（2024·河北石家庄模拟）已知f(x)是周期为3的函数，且 x∈R都有f(3x)＋f(4－3x)＝4，则f(2 024)＝(　 　)
A．－4　　 B．－2
C．2　　　 D．4
解析：由已知f(3x)＋f(4－3x)＝4，即f(x)＋f(4－x)＝4，令x＝2，可知f(2)＋f(2)＝4，即f(2)＝2，又函数f(x)的周期为3，则f(2 024)＝f(2)＝2.故选C.
C
(2)（2024·山东济南二模）已知函数f(x)的定义域为R，若f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2 024)＝(　 　)
A．0　　　 B．1
C．2　　　 D．3
解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋（1＋x)）＝f(1－（1＋x)），即f(2＋x)＝f(－x)，又f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的定义域为R，所以f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，f(x)＝－f(2＋x)，所以f(2＋x)＝－f(4＋x)，故f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 024)＝f(506×4＋0)＝f(0)＝0.故选A.
A
考点3 周期性、单调性与对称性
ACD
A
规律总结
解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的取值范围或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式．
【对点训练3】　(1)已知定义在R上的函数f(x)在（－∞，2]上单调递增，若函数f(x＋2)为偶函数，且f(3)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为(　 　)
A．(0，3)
B．(－∞，0)∪(1，3)
C．(－∞，0)∪(3，＋∞)
D．(0，1)∪(3，＋∞)
B
解析：由函数f(x＋2)为偶函数，可知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又函数f(x)在（－∞，2]上单调递增，知函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，由f(3)＝0，知f(1)＝0，作出函数f(x)的大致图象，如图．
由图可知，当x<0时，f(x)<0，则xf(x)>0；当00，则xf(x)>0；当x>3时，f(x)<0，则xf(x)<0.所以不等式xf(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，3).故选B.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，且y＝f(x＋3)为偶函数，若f(x)在(0，3)内单调递减，则下面结论正确的是(　 　)
A．f(－4.5)B．f(3.5)C．f(12.5)D．f(3.5)B
解析：由f(x＋6)＝f(x)，可得f(x)的一个周期为6，又y＝f(x＋3)为偶函数，f(x)的图象关于直线x＝3对称，所以f(3.5)＝f(2.5)，f(－4.5)＝f(1.5)，f(12.5)＝f(0.5).又f(x)在(0，3)内单调递减，所以f(3.5)课时作业9
第
分
部
三
1．（5分）（2024·四川成都三模）函数y＝32x与y＝31-2x的图象(　 　)
A．关于直线x＝2对称
B．关于直线x＝1对称
D
A．关于点(1，1)对称
B．关于点(－1，1)对称
C．关于点(－1，0)对称
D．关于点(1，0)对称
A
3．（5分）（2024·湖南长沙二模）已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对任意x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)＝(　 　)
A．2 B．－2
C．0 D．－4
解析：定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)，故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.故选A.
A
4．（5分）（2024·四川内江三模）已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x都有f(x＋2)＝－f(x)成立，且函数f(x＋1)为偶函数，f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝(　 　)
A．－1 B．0
C．1 012 D．2 024
B
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0，2)
C．(－∞，0)∪(1，2)
D．(0，1)∪(2，＋∞)
A
6．（5分）定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且当x>2时，f(x)单调递增，若x1＋x2<4，(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　 　)
A．恒为正值 B．恒等于零
C．恒为负值 D．无法确定
解析：因为f(－x)＝－f(x＋4)，所以f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．又当x>2时，f(x)单调递增，所以f(x)在R上单调递增，如图，又(x1－2)(x2－2)<0，所以x1，x2位于点(2，0)的两边，不妨设x1C
7．（6分）（多选）已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则(　 　)
A．f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(x)的图象关于点(1，0)对称
C．f(x)的图象关于直线x＝2对称
D．f(x)的图象关于点(2，0)对称
解析：因为f(x＋2)为奇函数，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，又f(2x＋1)为偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．故选AD.
AD
8．（6分）（多选）已知函数f(x)为R上的奇函数，在（0，1]上单调递减，且满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　 　)
A．f(2)＝0
B．函数f(x)是以2为周期的周期函数
C．函数f(x)在[5，6）上单调递增
D．函数f(x－1)为偶函数
AB
解析：对于A，B，∵函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.∵f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，则－f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为2的周期函数，f(2)＝f(0)＝0，由此可知A，B正确；对于D，令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，在f(x)＋f(2－x)＝0中，将x换为x＋1，得f(x＋1)＋f(1－x)＝0，∴f(x＋1)＝－f(1－x)，
∴F(－x)＝－f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，∴D不正确；对于C，由函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数，则函数f(x)在[5，6）上的单调性等价于函数f(x)在[－1，0）上的单调性，又奇函数f(x)在（0，1]上单调递减，∴函数f(x)在[－1，0）上单调递减，∴C不正确．故选AB.
1 012
11．（16分）函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)求函数y＝f(x)＝x3－6x2图象的对称中心；
解：设函数y＝f(x)＝x3－6x2图象的对称中心为P(a，b)，
由于函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
即函数g(x)＝f(x＋a)－b为奇函数，而g(x)＝(x＋a)3－6(x＋a)2－b＝x3＋(3a－6)x2＋(3a2－12a)x＋a3－6a2－b，
(2)根据第(1)问的结论，求f(－100)＋f(－99)＋…＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(103)＋f(104)的值．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)是否存在实数a使得f(x)的图象关于点(0，1)对称？若存在，请求出实数a；若不存在，请说明理由．
C
D
14．（5分）（2024·江西南昌二模）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，当0f(a)，则实数a的取值范围是(　 　)
解析：因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数；又因为f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称；由f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)知f(x)的一个周期为4.因为当015．（6分）（多选）（2024·江西南昌三模）已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若y＝|f(x)－2|的图象关于直线x＝1对称，则下列说法正确的是(　 　)
A．y＝|f(x)|的图象也关于直线x＝1对称
B．y＝f(x)的图象关于(1，2)中心对称
C．a＋b＋c＋d＝2
D．3a＋b＝0
BCD
解析：∵y＝|f(x)－2|的图象关于直线x＝1对称，∴|f(1－x)－2|＝|f(1＋x)－2|，
∴f(1－x)－2＝f(1＋x)－2或f(1－x)－2＝－f(1＋x)＋2.当f(1－x)－2＝f(1＋x)－2时，f(1－x)＝f(1＋x)，y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，此时，a(1＋x)3＋b(1＋x)2＋c(1＋x)＋d＝a(1－x)3＋b(1－x)2＋c(1－x)＋d，∴a[(1＋x)3－(1－x)3]＋b[(1＋x)2－(1－x)2]＋c[(1＋x)－(1－x)]＝0，当x≠0时，a[(1＋x)2＋(1＋x)(1－x)＋(1－x)2]＋b[(1＋x)＋(1－x)]＋c＝0，∴a(x2＋3)＋2b＋c＝0，
∴f(1－x)－2＝－f(1＋x)＋2，即f(1－x)＋f(1＋x)＝4，∴y＝f(x)的图象关于(1，2)中心对称，B正确；∴f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4，f(1)＝2，即a＋b＋c＋d＝2，C正确；(0，f（0)）与(2，f（2)）关于(1，2)对称，∴f(0)＋f(2)＝4，即d＋8a＋4b＋2c＋d＝4，即4a＋2b＋c＋d＝2，∴3a＋b＝0，D正确；又a＋b＋c＋d＝2，则－2a＋c＋d＝2，即－2a＋c＝2－d，|f(0)|＝|d|，而|f(2)|＝|8a＋4b＋2c＋d|＝|－4a＋2c＋d|＝|4－d|，若A成立，则|f(0)|＝|f(2)|，得d＝2，∴－2a＋c＝0.但此时，|f(－1)|＝|－a＋b－c＋d|＝|－4a－c＋2|＝|－6a＋2|，|f(3)|＝|6a＋2|，∴由|f(－1)|＝|f(3)|可得a＝0，但这与已知矛盾，∴y＝|f(x)|的图象不可能关于直线x＝1对称，A错误．故选BCD.

展开更多......

收起↑