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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.6　幂函数及几类常见的特殊函数
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　幂函数的图象和性质
考点2　几类特殊函数
01
02
课时作业
第三部分
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数__________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
教材回扣
y＝xα
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．一次分式函数
(2)图象
(2)图象
(1)性质
①奇偶性：奇函数；
②单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；
③渐近线：x＝0.
(2)图象
5．高斯函数y＝[x]
(1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数．
(2)性质
①定义域：R；值域：Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性．
(3)图象
(1)定义域：R；值域：{0，1}．
(2)奇偶性：偶函数．
(3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期．
(4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在．
7．最值函数的概念
直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数．
教材拓展
1．(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(2)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数．(　 　)
基础检测
×
√
√
×
解析：由幂函数的性质知，f(x)＝xα，在第一象限内，当α<0时，函数单调递减，当α为奇数或分子和分母均为奇数的既约分数时，函数为奇函数，所以当α＝－1或α＝－3时，幂函数在(0，＋∞)上单调递减，且为奇函数．
－1或－3
解析：因为函数f(x)是幂函数，所以m2－3m－3＝1，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1，当m＝4时，f(x)＝x10，图象与y轴有交点(0，0)，当m＝－1时，f(x)＝x0，图象与y轴无交点，所以实数m的值为－1.
－1
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 幂函数的图象和性质
【例1】　(1)(2024·四川南充二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　 　)
D
B
规律总结
1．对幂函数图象的掌握应抓住在第一象限内三条直线分第一象限所成的六个区域，即直线x＝1，y＝1，y＝x所分区域，根据幂指数α满足的条件，即α＜0，0＜α＜1，α＝1或α＞1确定图象在第一象限的位置，其余象限部分由奇偶性决定．
2．在比较幂的大小时，必须结合幂的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
B
(2)(多选)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则(　 　)
B．f(x)的图象经过点(1，1)
C．f(x)在[0，＋∞)上单调递增
D．不等式f(x)≥x的解集为{x|x≤1}
ABC
考点2 几类特殊函数
命题角度1　一次分式函数
(1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值；
(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
命题角度2　对勾函数与飘带函数
命题角度3　高斯函数、狄利克雷函数与最值函数
【例4】　(1)(多选)对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯最早使用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是(　 　)
A．函数y＝[x]，x∈R的图象关于原点对称
B．函数y＝x－[x]，x∈R的值域为[0，1)
C．对于任意的x，y∈R，不等式[x]＋[y]≤[x＋y]恒成立
D．不等式2[x]2＋[x]－1<0的解集为{x|0≤x<1}
BCD
ABD
(3)(多选)函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则下列说法正确的是(　 　)
A．M(2)＝3 　 B． x≥1，M(x)≥4
C．M(x)有最大值 D．M(x)最小值为0
BD
所以M(2)＝(2＋1)2＝9，故A错误；当 x≥1时，M(x)＝(x＋1)2≥(1＋1)2＝4，故B正确；由M(x)＝(x＋1)2(x<－1或x>0)可知，函数无最大值，故C错误；当x<－1或x>0时，M(x)>0，当－1≤x≤0时，0≤M(x)≤1，所以M(x)最小值为0，故D正确．故选BD.
规律总结
这几类特殊的函数问题都属于新定义问题，其解题思想围绕着知识迁移，就是利用新、旧知识之间的联系，由旧知识的思考方式领会新知识的思考过程，而产生迁移的关键是正确概括两种知识之间包含的共同因素，并与函数的性质相结合．
D
A．D(x)是偶函数
B．D(x)是单调函数
C．D(x)的值域为[0，1]
D．D(π)>D(3.14)
A
解析：对于A，当x∈Q时，显然－x∈Q，此时恒有D(x)＝D(－x)＝1，当x Q时，x是无理数，显然－x也是无理数，此时恒有D(x)＝D(－x)＝0，所以D(x)是偶函数，因此A正确；对于B，因为D(0)＝D(1)＝1，所以函数D(x)不是实数集上的单调函数，因此B不正确；对于C，由函数的解析式可知，D(x)的值域为{0，1}，因此C不正确；对于D，因为D(π)＝0，D(3.14)＝1，所以D(π)课时作业11
第
分
部
三
A
2．(5分)(2024·山东日照二模)已知幂函数的图象过点(2，4)，则函数的解析式为(　 　)
A．y＝2x B．y＝x2
C．y＝log2x D．y＝sin x
解析：设幂函数的解析式为y＝xα，由于函数过点(2，4)，故4＝2α，解得α＝2，该幂函数的解析式为y＝x2.故选B.
B
3．(5分)如图，已知幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc在(0，＋∞)上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则(　 　)
A．cB．aC．cD．a解析：由题意结合图象可知a<0B
4．(5分)已知函数f(x)＝xα(x>0)，α为实数，f(x)的导函数为f′(x)，在同一直角坐标系中，f(x)与f′(x)的大致图象不可能是(　 　)
C
5．(5分)已知a＝0.310.1，b＝0.310.2，c＝0.320.1，则(　 　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析：由y＝0.31x单调递减可知0.310.1>0.310.2，即a>b；由y＝x0.1单调递增可知0.320.1>0.310.1，即c>a，所以c>a>b.故选D.
D
6．(5分)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝[x＋1]－x，下列说法中正确的是(　 　)
A．f(x)是周期函数
B．f(x)的值域是[0，1]
C．f(x)在(0，1)上是增函数
D． x＝R，[f(x)]＝0
A
BC
7．(6分)(多选)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：
(注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数)，则下列结论正确的是(　 　)
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
B．当n为偶数时，f(x)为偶函数
C．f(x)有两个零点
D．当n为奇数时，f(x)在(－∞，0)上单调递增
BCD
{－2，－1，0，1，2}
11．(16分)已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)满足g(x－2)＝f(x).
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
解：依题意幂函数f(x)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，
由于m∈Z，故m＝0，1，－1，
当m＝0时，3－m2＝3，此时f(x)＝x3为奇函数，不符合题意，
当m＝1或－1时，3－m2＝2，此时f(x)＝x2为偶函数，符合题意，
故f(x)＝x2；由g(x－2)＝f(x)，可得g(x－2)＝x2，令x－2＝t，则x＝t＋2，
所以g(t)＝(t＋2)2＝t2＋4t＋4，故g(x)＝x2＋4x＋4.
(2)对任意实数x∈[－3，0)，g(x)－f(x)≥ax2恒成立，求a的取值范围．
(2)对(1)中的h(x)，求y＝h(x)的值域．
13．(5分)(2024·湖北荆州三模)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数m＝6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).我们记一个正整数n(n≠1)经过K(n)次上述运算法则后首次得到1(若n经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记K(n)＝＋∞)，以下说法正确的是(　 　)
C
A．K(n)可看作一个定义域和值域均为N*的函数
B．K(n)在其定义域上不单调，有最小值，有最大值
C．对任意正整数n(n≠1)，都有K(n)K(2)＝K(2n)－1
D．K(2n－1)≤K(2n＋1)
解析：对于A，依题意，K(n)的定义域是大于1的正整数集，A错误；对于B，由K(4)＝2，K(5)＝5，K(8)＝3，得K(n)在其定义域上不单调，而K(2)＝1，K(n)∈N*，则K(n)有最小值1，由n经过有限次角谷运算均无法得到1，记K(n)＝＋∞，得K(n)无最大值，B错误；对于C，对任意正整数n(n≠1)，K(2n)＝K(n)＋1，而K(2)＝1，因此K(n)K(2)＝K(n)＝K(2n)－1，C正确；对于D，由K(22－1)＝K(3)＝7，K(22＋1)＝K(5)＝5，知K(2n－1)≤K(2n＋1)不正确，D错误．故选C.
ABD
其中正确结论的序号是____．
①④
f(x＋π)＝2sin (x＋π)·sgn (cos (x＋π))＝－2sin x·[－sgn (cos x)]＝2sin x·sgn (cos x)＝f(x)，

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