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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.5　二次函数
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　二次函数的解析式
考点2　二次函数的图象
01
02
考点3　二次函数的最值
03
课时作业
第三部分
理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝________________________．
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__________．
(3)交点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
教材回扣
ax2＋bx＋c(a≠0)
(m，n)
2．二次函数的图象和性质
R
减
增
增
减
1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.(　 　)
(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　 　)
基础检测
√
×
×
2．函数y＝x2－2x＋4的最小值为__．
解析：y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故当x＝1时，ymin＝3.
3．已知f(x)为二次函数，若f(x)在x＝2处取得最小值－4，且f(x)的图象经过原点，则函数解析式为__________________．
解析：由题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，解得a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.
3
f(x)＝x2－4x
4．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上单调，则实数k的取值范围为________________________．
(－∞，40]∪[160，＋∞)
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 二次函数的解析式
【例1】　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________________．
－4x2＋4x＋7
规律总结
求二次函数解析式的方法
【对点训练1】　已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为____________________．
f(x)＝x2－x＋1
考点2 二次函数的图象
【例2】　（多选）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则(　 　)
A．a＋b＋c<0 B．a＋cC．abc<0 D．b2<4a(c＋4a)
BCD
规律总结
研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
【对点训练2】　（多选）设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　 　)
ABD
考点3 二次函数的最值
【例3】　已知函数f(x)＝x2＋4ax.
(1)若f(x)在区间[1，3]上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)求f(x)在区间[a，a＋1]上的最小值g(a).
规律总结
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和抛物线的顶点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．
课时作业10
第
分
部
三
1．（5分）已知函数f(x)＝x2－mx＋1是偶函数，则f(x)的单调增区间是(　 　)
A．(－1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
B
2．（5分）函数f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域是(　 　)
D
3．（5分）二次函数y＝f(x)的图象如图所示，那么此函数为(　 　)
A．y＝x2－4
B．y＝4－x2
C
4．（5分）二次函数y＝x2＋(2a－1)x－3在x∈[－1，3]上最大值为1，则实数a的值为(　 　)
D
5．（5分）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a解析：若a0，故C错误，A正确．故选A.
A
D
A．在区间(－1，＋∞)上单调递减
B．单调递增区间为[－3，－1]
C．没有最小值
D．最大值为2
BD
A．f3(2)＝3
B．f3(x)的最小值为－1
C．f3(x)在[－1，1]上单调递减
D．f3(x－1)为偶函数
ABD
则f3(x－1)的图象如图所示，由图可知f3(x－1)的图象关于y轴对称，所以函数f3(x－1)为偶函数，故D正确．故选ABD.
[1，＋∞）
10．（5分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[2，＋∞），且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x)＝____________．
x2－4x＋6
(2)设g(x)＝f(x)－mx，若g(x)在(2，4)上是单调函数，求实数m的取值范围．
12．（16分）函数f(x)＝2x2－2ax＋3，其中a∈R.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)>6x－9的解集；
解：当a＝2时，不等式f(x)>6x－9，即x2－5x＋6>0，解得x<2或x>3，
所以不等式f(x)>6x－9的解集为{x|x<2或x>3}．
(2)当x∈[－1，3]时，f(x)的最小值为0，求a的值．
13．（5分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式f(x)A．9 B．8
C．6 D．4
D
14．（6分）（多选）已知函数f(x)＝(x2－x)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝2对称，则(　 　)
A．a＋b＝5
C．f(x)图象与直线2x＋y－8＝0相切
D．f(x)图象与直线12x－y－48＝0相切
AD
15．（5分）设MI表示函数f(x)＝|x2－4x＋2|在闭区间I上的最大值．若正实
数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则正实数a的取值范围是_____________．

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