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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.7　指数与指数函数
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　指数幂的运算
考点2　指数函数的图象及应用
01
02
考点3　指数函数的性质及应用
03
课时作业
第三部分
1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．
2．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象经过的特殊点．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．
教材回扣
根式
2．有理数指数幂
运算 性质 ar·as＝ar＋s a>0，b>0，r，s∈Q
(ar)s＝ars (ab)r＝arbr 3.指数函数的概念、图象与性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)图象与性质
项目 y＝ax(a>0，且a≠1) 图象 01
项目 y＝ax(a>0，且a≠1) 图象特征 在x轴上方，过定点(0，1) 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 当x逐渐增大时，图象逐渐上升 性 质 定义域 R 值域 __________ 单调性 递减 递增
函数变 化规律 当x＝0时，______ 当x<0时，y>1；当x>0时，00时，y>1
(0，＋∞)
y＝1
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数①y＝mx，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数m，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞m＞b＞0.在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
教材拓展
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝2x-1是指数函数．(　 　)
(2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(　 　)
(3)2-3＞2-4.(　 　)
(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(　 　)
基础检测
×
×
√
×
2．(人教A版必修第一册P119T6改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　 　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a.故选C.
C
3．(人教A版必修第一册P120T10改编)函数f(x)＝0.7x2－2x的单调递减区间为__________．
解析：复合函数f(x)＝0.7x2－2x可以分为外部函数y＝0.7u与内部函数u＝x2－2x，因为外部函数y＝0.7u在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求f(x)的减区间，等价于求内部函数u＝x2－2x的增区间，易知u＝x2－2x的增区间为[1，＋∞)，故f(x)的减区间为[1，＋∞).
[1，＋∞)
1
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 指数幂的运算
【例1】　计算：
规律总结
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数的，先确定符号；底数是小数的，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
B
C
考点2 指数函数的图象及应用
A
(2)若关于x的不等式4ax-1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a
的取值范围为_________．
规律总结
1．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．注意，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
【对点训练2】　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　 　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0D
解析：由图象可知，函数f(x)为减函数，从而有0方法一　由f(x)＝ax－b的图象，得其与y轴交点的纵坐标y∈(0，1)，令x＝0，得y＝a－b，则0方法二　函数f(x)的图象可看作是由y＝ax(00，即b<0.故选D.
C
考点3 指数函数的性质及应用
命题角度1　比较指数式大小
【例3】　(2024·四川成都模拟)设a＝0.50.4，b＝0.41.1，c＝1.10.5，则(　 　)
A．aC．a【解析】　因为指数函数y＝0.5x是单调减函数，所以0.51.1<0.50.4<0.50＝1，又幂函数y＝x1.1在(0，＋∞)上是单调增函数，所以1＝11.1>0.51.1>0.41.1，又因为指数函数y＝1.1x是单调增函数，所以1.10.5>1.10＝1，综上可得bD
命题角度2　解指数方程或不等式
{x|－1≤x≤3}
(2)不等式10x－6x－3x≥1的解集为__________．
[1，＋∞)
命题角度3　指数函数性质的综合应用
(1)若f(x)是奇函数，求a的值；
(2)若f(x)≥0在x∈[－1，1]上恒成立，求a的取值范围．
规律总结
1．比较指数式的大小的方法
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小．
(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小．
2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，一般要借助“同增异减”这一性质分析判断．
易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．
ABD
(2)已知函数f(x)＝4x－m·2x+1－8.
①若m＝1，求不等式f(x)<0的解集；
②若 x∈[0，2]，f(x)≥－12恒成立，求实数m的取值范围．
解：①当m＝1时，可得f(x)＝4x－2x+1－8，即4x－2x+1－8<0，即(2x)2－2×2x－8<0，整理得(2x－4)(2x＋2)<0，
因为2x＋2>0，所以2x－4<0，解得x<2，所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，2).
②令t＝2x，x∈[0，2]，则t∈[1，4]，可得4x－m·2x+1－8＝t2－2mt－8，
由f(x)≥－12，可得t2－2mt－8≥－12，
课时作业12
第
分
部
三
1．(5分)如果函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝2x－(b+3)都是指数函数，则ab＝(　 　)
D
A
A
B
5．(5分)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，必成立的是(　 　)
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b<0，c>0
C．2－a<2c
D．ac<0
D
解析：由于函数f(x)＝|2x－1|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上为增函数，由于af(c)>f(b)，因此a<0，c>0，b无法确定正负，如图，
A
ABD
7．(6分)(多选)已知a>0，b>0，则下列各式正确的是(　 　)
A．函数f(x)单调递增
B．函数f(x)的值域为(0，2)
C．函数f(x)的图象关于(0，1)对称
D．函数f(x)的图象关于(1，1)对称
ABD
(1，3)
10．(5分)设f(x)＝2x-1－2－x-1，当x∈R时，f(x2＋2mx)＋f(2)＞0恒成立，则实数m的取值范围是____________．
11．(16分)已知f(x)＝(a2－2a－2)·ax＋b－8(a>0且a≠1)是指数函数．
(1)求a，b；
(2)求关于x的不等式f(log0.5(x－a)＋b－2a)>3的解集；
解：不等式f(log0.5(x－a)＋b－2a)>3，即f(log0.5(x－3)＋2)>f(1)，
而函数f(x)＝3x在R上递增，因此log0.5(x－3)＋2>1，
即log0.5(x－3)>－1＝log0.50.5-1＝log0.52，则0所以原不等式的解集为(3，5).
(3)求函数F(x)＝f(2x)－4f(x)－2在区间[0，3)上的值域．
解：F(x)＝f(2x)－4f(x)－2＝32x－4·3x－2＝(3x)2－4·3x－2，
x∈[0，3)，令3x＝t，y＝F(x)，则t∈[1，27)，所以y＝t2－4t－2，t∈[1，27)，
由二次函数的性质可知，y＝t2－4t－2在[1，2)上单调递减，在(2，27)上单调递增，所以ymin＝－6，
当t＝27时，y＝619，当t＝1时，y＝－5，619>－5，故函数F(x)在区间[0，3)上的值域为[－6，619).
(1)求a的值；
解：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为函数是奇函数，
(2)求解不等式f(x)≥4；
(3)当x∈(1，3)时，f(tx2)＋f(x－1)>0恒成立，求实数t的取值范围．
C
D
C
15．(5分)(2024·北京西城区三模)已知函数f(x)＝2x，若 x1，x2∈R，且x1A．f(x1)

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