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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.8　对数与对数函数
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　对数的运算
考点2　对数函数的图象及应用
01
02
考点3　对数函数的性质及应用
03
课时作业
第三部分
1．理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．
2．了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象经过的特殊点．
3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1).
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做________________，记作____________，其中a叫做__________，N叫做____．
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝__，logaa＝__， ＝__(a>0，且a≠1，N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
教材回扣
以a为底N的对数
x＝logaN
对数的底数
真数
0
1
N
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
3．换底公式
4．对数函数的概念
一般地，函数y＝__________________________叫做对数函数，其中__是自变量，函数的定义域是__________．
logax(a>0，且a≠1)
x
(0，＋∞)
5．对数函数的图象及性质
(0，＋∞)
(1，0)
1
0
减函数
增函数
6.指数函数与对数函数的关系
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好____，图象关于直线______对称．
互换
y＝x
1．换底公式及其推论
教材拓展
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0由此我们可得到此规律：底数不同的对数函数图象在第一象限内与直线y＝1相交，交点从左到右对应的底数逐渐增大．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　 　)
(3)当x>1时，若logax>logbx，则a基础检测
×
√
×
√
2．(人教A版必修第一册P141T13(1)改编)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　 　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞c＞a D．c＞b＞a
解析：方法一　如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，由图可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c.故选A.
A
3．若函数y＝loga(x－2)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为__________．
解析：当x＝3时，y＝loga1＋4＝4，∴函数y＝loga(x－2)＋4的图象恒过点A(3，4).
(3，4)
4．(人教B版必修第二册P28练习A T5改编)已知函数f(x)＝2＋log3x的定义域为[1，9]，则函数f(x)的值域是__________．
解析：∵1≤x≤9，∴log31≤log3x≤log39，即0≤log3x≤2，即2≤f(x)≤4，则函数f(x)的值域为[2，4].
5．计算：e2ln 3－log49·log278＋lg 4＋lg 25＝____．
解析：原式＝eln 9－log23·log32＋lg 100＝9－1＋2＝10.
[2，4]
10
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 对数的运算
【例1】　计算下列各式的值：
规律总结
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式再进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
5
考点2 对数函数的图象及应用
D
[1，2)
－1
则f(x)＝g(x)－k，作出g(x)的图象及直线y＝k如图，g(0)＝1，g(－1)＝2，函数f(x)有4个零点，等价于方程g(x)＝k有4个不相等的实数根，所以数形结合可知，g(0)≤k规律总结
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【对点训练2】　(1)函数f(x)＝－loga(x－b)及g(x)＝bx＋a，则y＝f(x)及y＝g(x)的图象可能为(　 　)
B
考点3 对数函数的性质及应用
命题角度1　比较对数式的大小
D
命题角度2　解对数不等式
命题角度3　对数函数性质的综合应用
【例5】　已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(1－x)(a>0，且a≠1).
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间．
规律总结
1．比较对数式大小的常见类型及解题方法
2．求解对数不等式的两种类型及方法
(1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数，再借助y＝logax的单调性求解．
3．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
【对点训练3】　(1)(2024·湖北武汉二模)已知函数f(x)＝log5(ax－2)在[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　 　)
A．(1，＋∞) B．[ln 2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：因为f(x)＝log5(ax－2)在[1，＋∞)上单调递增，所以a>1，且a－2>0，所以a>2.故选C.
C
课时作业13
第
分
部
三
1．(5分)(2024·河北邯郸三模)函数f(x)＝log0.2(1－x2)的递增区间为(　 　)
A．(－1，0] B．(－1，1)
C．[0，1) D．[0，＋∞)
C
2．(5分)(2024·广东佛山模拟)已知ab≠1，logam＝2，logbm＝3，则logabm＝(　 　)
D
A
3．(5分)当a>1时，在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是(　 　)
4．(5分)(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　 　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
解析：因为y＝4.2x在R上递增，且－0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0a>c.故选B.
B
5．(5分)(2024·江西九江二模)若函数f(x)＝ln (ax＋1)在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　 　)
C
B
AC
7．(6分)(多选)已知函数f(x)＝ln (x2＋x＋m)(m∈R)，则( 　 　)
A．f(x)·|g(x)|是奇函数
B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(g(2 025))D．g(f(2 025))>g(f(2 026))
AD
所以f(x)·|g(x)|是奇函数，A正确；对于B，因为|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函数，B错误；对于C，因为g(2 025)>g(2 026)，所以f(g(2 025))>f(g(2 026))，C错误；对于D，因为0＝f(0)g(f(2 026))，D正确．故选AD.
64
10．(5分)(2024·湖北武汉二模)已知函数f(x)＝log2(4x＋2x+1＋1)－x，若f(2a
－1)(2)若存在x∈[2，4]，使得不等式f(2x)－a·log2x＋1≥0成立，求实数a的取值范围．
12．(17分)已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋4)(a>0且a≠1).
(1)当x∈(0，2)时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：不存在．函数f(x)在区间[1，2]上有意义，则x2－ax＋4>0在[1，2]上恒成立．
由(1)同理可知，a∈(0，1)∪(1，4)，
又函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
当a∈(0，1)时，y＝logax为减函数，
则y＝x2－ax＋4>0且在[1，2]上单调递增，
故不存在这样的实数a.
综上，不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，且最大值为1.
13．(5分)(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　 　)
B
14．(5分)(2024·山东青岛二模)已知正数a，b，c满足aea＝b ln b＝ec ln c＝1，则a，b，c的大小关系为(　 　)
A．cC．aD
15．(5分)(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝__．
解析：由f(ln 2)f(ln 4)＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2+ln 4＝a3ln 2＝8，也即(aln 2)3＝23.
∵a>0且a≠1，∴aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e.
e

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