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第二章　函数的概念与基本初等函数
2.11　函数模型及其应用
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　利用函数图象刻画变化过程
考点2　已知函数模型解决实际问题
01
02
考点3　构建函数模型解决实际问题
03
课时作业
第三部分
1．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．
2．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等不同函数类型增长的含义．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．六种常见的函数模型
教材回扣
2.三种函数模型性质比较
项目 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞) 上的单调性 ______ ______ ______
增长速度 ________ ________ 随n值变
化而不同
图象的变化 随x值增大，图象与____行 随x值增大，图象与____行 随n值变化而不同
增函数
增函数
增函数
越来越快
越来越慢
y轴
x轴
1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
2．充分理解题意并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
教材拓展
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　 　)
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　 　)
(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．(　 　)
基础检测
×
×
×
√
2．(人教A版必修第一册P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻已经卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　 　)
A．40万元 B．60万元
C．80万元 D．120万元
D
解析：当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元).故该商人共获利40＋80＝120(万元).故选D.
3．(人教A版必修第一册P119T5改编)有一组实验数据如下表：
则最能体现这组数据关系的函数模型是(　 　)
A．y＝2x+1－1 B．y＝x3
C．y＝2log2x D．y＝x2－1
解析：将各点(x，y)分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.故选D.
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
D
4．(人教B版必修第二册P43例2改编)从盛满10 L纯硫酸的容器里倒出1 L，然后用水填满，这样继续下去，第三次填满后的硫酸浓度为(　 　)
A．70.4% B．67.2%
C．81% D．72.9%
D
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 利用函数图象刻画变化过程
【例1】　(2024·内蒙古赤峰一模)在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是(　 　)
D
【解析】　对于A，点P在第一条边上时，y＝x，但点P在第二条边上运动时，y是随x的增大先减小(减到最小时y即为三角形的第二条边上的高的长度)，再增大，对比图象可知，A错误；对于B，y与x的函数图象一定不是对称的，B错误；对于C，一开始y与x的关系不是线性的，C错误；对于D，因为函数图象左右对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为a，点P在第一条边上时(即0≤x≤a时)，y＝x，点P在第二条边上运动时(即a≤x≤2a时)，
规律总结
判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
【对点训练1】　如图是一个无水游泳池，ABCD -A′B′C′D′是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的(单位时间内注入的水量不变)，水面与AB的交点为M，则AM的高度h随时间t变化的图象可能是(　 　)
A
解析：由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水面面积逐渐增大，水的高度增长得越来越慢，当水面经过D点后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，故符合条件的函数图象为A中的图象．故选A.
考点2 已知函数模型解决实际问题
A．n1B．n1>n2
C．若S<1，则n11，则n1>n2
D．若S<1，则n1>n2；若S>1，则n1C
(2)(2024·广东茂名一模)Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有代谢预测、肿瘤生长预测、有限区域内生物种群数量预测、工业产品的市场预测等，其公式为f(x)＝kab－x(其中k>0，b>0，a为参数).某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a＝e(e为自然数对数的底数).若x＝1表示该新产品今年的年产量，估计明年(x＝2)的产量将是今年的e倍，那么b的值为(　 　)
A
规律总结
求解已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数的值．
【对点训练2】　(1)(2024·四川德阳三模)如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在7 ℃的保鲜时间为288小时，在21 ℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过(　 　)
A．14 ℃ B．15 ℃
C．13 ℃ D．16 ℃
A
(2)(2024·湖南长沙三模)地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯·里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为M＝lg A－lg A0，其中M表示某地地震的里氏震级，A表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，A0表示这次地震中的标准地震振幅．假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5 000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为(参考数据：lg 2≈0.3)(　 　)
A．6.3级 B．6.4级
C．7.4级 D．7.6级
B
考点3 构建函数模型解决实际问题
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)当年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．
【解】　当0当2∵360<380，∴f(x)的最大值为380，
故当年产量为5千辆时，该企业利润最大，最大利润是380万元．
规律总结
应用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)解模：求解函数模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学结论还原为实际意义的答案．
【对点训练3】　(1)(2024·湖南益阳三模)二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%，从第二年开始每年贬值10%.刚参加工作的小明打算买一辆约5年的二手车，价格不超过8万元．根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是m(m∈N)万元，则m＝(　 　)
A．13　　 B．14
C．15　　 D．16
C
C
课时作业16
第
分
部
三
D
C
2．(5分)某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数R与可见叶片数x进行分析研究，其关系可以用函数R＝15eax(a为常数)表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5.5≈1.7)(　 　)
A．15　　 B．16
C．17　　 D．18
解析：由题意知30＝15e7a，∴e7a＝2，则等式两边同时取自然对数得7a＝ln 2≈0.7，∴a≈0.1，∴R＝15e0.1x.∵82.5＝15e0.1x，∴e0.1x＝5.5，∴0.1x＝ln 5.5≈1.7，∴x≈17.故选C.
3．(5分)(2024·四川凉山州三模)工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量y(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)的关系为y＝y0e－at(y0，a均为正的常数).已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么污染物过滤掉50%还需要经过(最终结果精确到1 h，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　 　)
A．43 h B．38 h
C．33 h D．28 h
D
A．若C不变，则P比原来提高不超过30%
B．若C不变，则P比原来提高超过40%
C．为使P不变，则C比原来降低不超过30%
D．为使P不变，则C比原来降低超过40%
C
5．(5分)(2024·北京丰台区一模)按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，…来标记纸张的幅面规格，具体规格标准：
②将Ai(i＝0，1，…，9)纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为A(i＋1)规格纸张(如图).
某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张．共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为(　 　)
A．6 B．7
C．8 D．9
C
6．(5分)(2024·广东韶关二模)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是(　 　)
A．10 000 B．10 480
C．10 816 D．10 818
C
A．乙的速度为300米/分钟
B．25分钟后甲的速度为400米/分钟
C．乙比甲晚14分钟到达B地
D．A，B两地之间的路程为29 400米
ABD
8．(6分)(多选)(2024·河南郑州一模)溶液酸碱度是通过pH来计量的．pH的计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为10-7摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH<7时，溶液呈酸性，当pH>7时，溶液呈碱性，当pH＝7(例如：纯净水)时，溶液呈中性．我国规定饮用水的pH值在6.5～8.5之间，则下列选项正确的是(参考数据：lg 2≈0.3)(　 　)
A．若苏打水的pH是8，则苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升
B．若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则胃酸的pH约为1.6
C．若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的pH是8.6
D．若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则该种水适合饮用
ABC
解析：对于A，若苏打水的pH是8，即pH＝－lg [H＋]＝8，所以[H＋]＝10-8，即苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升，所以A正确；对于B，若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则pH＝－lg (2.5×10-2)＝－lg 2.5－lg 10-2＝2－(lg 10－lg 4)＝1＋2lg 2≈1.6，所以B正确；对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的氢离子浓度是10-1.6·10-7＝10-8.6，因此pH＝－lg 10-8.6＝8.6，即海水的pH是8.6，所以C正确；对于D，若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则pH＝－lg (4×10-7)＝－lg 4－lg 10-7＝7－2lg 2≈6.4，而6.4不在6.5～8.5范围内，即可得该种水不适合饮用，所以D错误．故选ABC.
9．(5分)(2024·广东广州模拟)“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于10-18秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示．《庄子·天下》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过____天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离．(参考数据：光速为3×108米/秒，lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)
31
42
11．(15分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过20万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过20万元时，若超出A万元，则超出部分按2log2(A＋5)进行奖励，记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
解：根据题意可知，当0≤x≤20时，y＝0.1x；
当x>20时，y＝0.1×20＋2log2(x－20＋5)＝2＋2log2(x－15).
(2)如果业务员老江获得10万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解：易知当0≤x≤20时，奖金不可能为10万元，所以令2＋2log2(x－15)＝10，即log2(x－15)＝4，解得x＝31.
即业务员老江的销售利润是31万元．
(1)求2025年该旅游公司开发的游玩项目的利润L(x)(单位：万元)关于人数x(单位：万人)的函数关系式；(利润＝收入－成本)
(2)当2025年的游客为多少时，该游玩项目所获利润最大？最大利润是多少？
13．(5分)在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL.某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量V(t)(单位：mg/100 mL)与饮酒后经过的时间t(单位：h)近似满足关系式V(t)＝
B
其中W为饮酒者的体重(单位：kg)，m为酒精摄入量(单位：mL).根据上述关系式，已知某驾驶员体重75 kg，他快速饮用了含150 mL酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.1，ln 5≈1.61)(　 　)
A．12小时后 B．24小时后
C．26小时后 D．28小时后
CD
15．(6分)(多选)(2024·安徽蚌埠模拟)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度θ0 ℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e-0.05t.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1 ℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　 　)
A．t2＝20 B．28≤t1≤30
C．t1≥2t3 D．t1－t2≤6
BC

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