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第六章　数列
6.1　数列的概念
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　由an与Sn的关系求通项公式
考点2　由数列的递推公式求通项公式
01
02
考点3　数列的性质
03
课时作业
第三部分
高考创新方向 多想少算
04
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、公式法).
2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．数列的概念
教材回扣
概念 含义
数列 按照__________排列的一列数称为数列
数列 的项 数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫____
通项 公式 如果数列{an}的第n项__与它的序号n之间的________可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
前n 项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn
确定的顺序
首项
an
对应关系
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数____
无穷数列 项数____
项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1__an 其中
n∈N*
递减数列 an＋1__an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 有限
无限
>
<
3.数列的表示方法
表示方法 定义
列表法 列出表格表示n与an的对应关系
图象法 把点__________画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项公式 把数列的通项用公式表示
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的________
(n，an)
递推公式
4.an与Sn的关系
S1
Sn－Sn－1
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　 　)
(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．(　 　)
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　 　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　 　)
基础检测
×
×
×
√
2．(人教A版选择性必修第二册P9T4改编)已知数列{an}满足a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an(n为正整数)，则a308＝__．
解析：a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，即a7＝a1，a8＝a2，所以{an}是周期为6的数列，因为308＝6×51＋2，所以a308＝a2＝6.
6
3．(人教A版选择性必修第二册P8T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋
3n－1，则它的通项公式为an＝______________．
解析：由Sn＝n2＋3n－1，可得当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n－1－(n－1)2－3(n－1)＋1＝2n＋2，
此时，令n＝1，则2n＋2＝4≠3＝a1.
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 由an与Sn的关系求通项公式
【例1】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－4n＋1，则an＝
_______________．
【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝－2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋1－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5.此时，a1＝－2不符合上式．
2n＋1
规律总结
2．Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
【对点训练1】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋3n，则数列{an}的通项公式为____________．
解析：数列{an}中，Sn＝n2＋3n，a1＝S1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2，显然a1＝4满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋2.
an＝2n＋2
考点2 由数列的递推公式求通项公式
命题角度1　累加法
【例2】　(2024·陕西咸阳三模)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则a7＝(　 　)
A．43 B．46
C．37 D．36
C
命题角度2　累乘法
【例3】　(2024·四川泸州三模)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn，则an＝____________．
(n＋1)·2n-2
规律总结
【对点训练2】　(1)若数列{an}满足a1＝12，an＋1＝an＋2n(n≥1，n∈N)，则数列{an}的通项公式是________________．
an＝n2－n＋12
(2)数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2nan－1，则数列{an}的通项公式为
________．
考点3 数列的性质
命题角度1　斐波那契数列及数列的周期性
【例4】　(1)(2024·山东济宁三模)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，则a2 024＝(　 　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】　由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，得a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1……则{an}是以6为周期的周期数列，所以a2 024＝a337×6＋2＝a2＝1.故选C.
C
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　 　)
A．f(10)>100 B．f(20)>1 000
C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000
【解析】　因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；令x＝5，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8……不等式右侧恰好是斐波那契数列从第3项起的各项：3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597，…，显然f(16)>1 000，所以f(20)>1 000.所以B正确，但无法证明A，C，D一定正确．故选B.
B
考教衔接
斐波那契数列
1．链接教材：(人教A版选择性必修第二册P10阅读与思考斐波那契数列)
斐波那契数列的定义：若一个数列，前两项等于1，而从第3项起，每一项是之前两项之和，则称该数列为斐波那契数列．例：1，1，2，3，5，8，13，….
4．斐波那契数列的性质
(2)F1＋F3＋F5＋…＋F2n－1＝F2n.
(3)F2＋F4＋F6＋…＋F2n＝F2n＋1－1.
(4)F1＋F2＋F3＋F4＋…＋Fn＝Sn＝Fn＋2－1(Sn为斐波那契数列的前n项和).　
【典例】　(多选)若数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以an为边长的正方形中的扇形面积为bn，数列{bn}的前n项和为Sn.下列结论正确的是(　 　)
A．a9＝34
B．a2 024是奇数
C．a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a2 025
ABD
命题角度2　数列的单调性
【例5】　(2024·浙江宁波二模)已知数列{an}满足an＝λn2－n，对任意n∈{1，2，3}都有an>an＋1，且对任意n∈{n|n≥7，n∈N}都有anC
命题角度3　数列的最值
【例6】　(2024·辽宁大连一模)数列{an}中，a1＝5，a2＝9，若数列{an＋n2}是等差数列，则{an}的最大项为(　 　)
A．3 B．3或4
D
【解析】　若数列{an＋n2}是等差数列，则数列的首项为a1＋12＝6，公差为(a2＋22)－(a1＋12)＝7，所以an＋n2＝6＋(n－1)×7＝7n－1，则an＝－n2＋7n－1，所以an＋1－an＝[－(n＋1)2＋7(n＋1)－1]－(－n2＋7n－1)＝－2n＋6，则当n＝1，2，3时，an＋1－an≥0，则a4＝a3>a2>a1；当n≥4时，an＋1－an<0，故此时数列{an}单调递减，则a4>a5>a6>a7>….综上，{an}的最大项为a3＝a4＝11.故选D.
规律总结
1．解决数列单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列．
2．求数列的最大项或最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数的单调性求最值．
3．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
【对点训练3】　(1)(2024·天津南开区二模)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(　 　)
A．(－3，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．[－3，＋∞)
解析：由题意可得an＋1－an>0恒成立，即(n＋1)2＋b(n＋1)－n2－bn＝2n＋1＋b>0，即b>－2n－1，又n≥1，则－2n－1≤－3，故b∈(－3，＋∞).故选A.
A
(2)(2024·四川宜宾二模)在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝1，且满足an＋2＋an＝an＋1，则数列{an}的前2 024项的和为(　 　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：由题意得an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，两式相加可得an＋3＝－an，即an＋6＝－an＋3＝an，所以数列{an}是以6为周期的周期数列．又a1＝2，a2＝1，所以a3＝－1，a4＝－2，a5＝－1，a6＝1.所以数列{an}的前2 024项和S2 024＝337(a1＋a2＋…＋a6)＋a1＋a2＝3.故选A.
A
D
高考创新方向 多想少算
C
创新解读
本题主要考查学生学习新概念，并利用新概念解题的能力，平稳中有新意，灵活中见能力，实践中出真知，体现新高考的变化和趋势．
课时作业38
第
分
部
三
1．（5分）（2024·山东济南三模）若数列{an}的前n项和Sn＝n(n＋1)，则a6＝(　 　)
A．10　　　 B．11　　　
C．12　　　 D．13
解析：a6＝S6－S5＝6×7－5×6＝12.故选C.
C
D
3．（5分）（2024·陕西榆林三模）现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2 024个被报出的数应该为(　 　)
A．2 B．4
C．6 D．8
A
解析：报出的数字依次是1，2，2，4，8，2，6，2，2，4，8，2，6，…，除了首项以外是个周期为6的周期数列，去掉首项后的新数列第1项为2，因为2 023＝337×6＋1，所以原数列第2 024个被报出的数应该为2.故选A.
4．（5分）（2024·福建厦门一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为(　 　)
A．51 B．70
C．92 D．117
C
解析：由题图及五边形数知后一个数与前一个数的差依次为4，7，10，13，16，19，22，…，所以五边形数依次为1，5，12，22，35，51，70，92，…，即第8个数为92.故选C.
5．（5分）已知数列{an}满足a1＝9，an＋1－an＝2n，则a4＝(　 　)
A．21 B．23
C．25 D．27
解析：由题设知an－an－1＝2(n－1)，…，a3－a2＝2×2，a2－a1＝2×1，累加可得an－a1＝2(n－1＋…＋2＋1)＝n(n－1)且n≥2，则an＝n2－n＋9，显然a1＝9也满足上式，所以a4＝42－4＋9＝21.故选A.
A
C
7．（5分）已知数列{an}为递减数列，其前n项和Sn＝－n2＋2n＋m，则实数m的取值范围是(　 　)
A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
解析：当n＝1时，a1＝S1＝－12＋2＋m＝1＋m；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋2n＋m－[－(n－1)2＋2(n－1)＋m]＝－2n＋3，∴当n≥2时，数列{an}中an随着n的增大而减小，若使{an}为递减数列，只需满足a2－2.故选A.
A
BC
9．（8分）（多选）已知数列{an}满足a1＝1，an＋an－1＝n2(n≥2，n∈N*)，Sn为其前n项和，则(　 　)
A．a4－a2＝7 B．a10＝55
C．S5＝35 D．a8＋a4＝28
解析：因为a1＝1，a2＋a1＝22，a3＋a2＝32，a4＋a3＝42，a5＋a4＝52，a6＋a5＝62，…，a10＋a9＝102，所以a4－a2＝42－32＝7，a6－a4＝62－52＝11，a8－a6＝82－72＝15，a10－a8＝102－92＝19，累加得a10－a2＝7＋11＋15＋19＝52，所以a10＝a2＋52＝22－a1＋52＝3＋52＝55，S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋32＋52＝35，因为a4－a2＝7，a8－a2＝7＋11＋15＝33，所以a8＋a4＝7＋33＋2a2＝46.故选ABC.
ABC
A．数列{an}有最小项，且有最大项
B．使an∈Z的项共有5项
C．满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个
D．使Sn取得最小值的n为4
ABD
使an∈Z的项共有5项，故B正确；要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1个负数或3个负数，所以n＝1或n＝2或n＝4，故满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3个，故C错误；因为n≤4时an<0，n≥5时an>0，所以当n为4时Sn取得最小值，故D正确．故选ABD.
11．（8分）（多选）（2024·浙江杭州二模）若无穷数列{an}由Ψ唯一确定，则称递推公式Ψ是专一的．下列递推公式中专一的有(　 　)
AC
25
13．（6分）围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项公式的递推方法来计算．假设大小为n的眼有an口气，大小为n＋1的眼有an＋1口气，an与an＋1满足的关系是a1＝1，a2＝2，an＋1－n＝an
－1(n≥2，n∈N*)，则{an}的通项公式为______________________．
[9，12]
B
A．2 023项 B．2 024项
C．2 025项 D．2 026项
D
C

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