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第六章　数列
6.2　等差数列
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　等差数列基本量的计算
考点2　等差数列的证明
01
02
考点3　等差数列的性质及应用
03
课时作业
第三部分
高考创新方向 多想少算
04
1．理解等差数列的概念和通项公式的意义，掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
3．理解等差数列的通项及前n项和分别与一元一次函数、二次函数的关系．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．等差数列的概念
(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的__都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，公差通常用字母d表示，即__________＝d（n∈N*，且n≥2）或____________＝d(n∈N*).
(2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝______．
教材回扣
差
公差
an－an－1
an＋1－an
a＋b
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝________________．该式又可以写成an＝_______________，这表明d≠0时，an是关于n的一次函数，且d>0时是增函数，d<0时是减函数．
(2)前n项和公式：Sn＝___________＝_________________．该式又可以写成
Sn＝___________________，这表明d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下．
a1＋(n－1)d
dn＋(a1－d)
3．等差数列的性质
(1)与项有关的性质
①在等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝
____________．
②在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
③若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}（λ，b为常数）是公差为λd的等差数列．
④若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{λ1an＋λ2bn}（λ1，λ2为常数）也是等差数列，且公差为λ1d1＋λ2d2.
⑤若数列{an}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项ak，ak＋m，ak＋2m，…，组成的数列仍是等差数列，公差为____．
(2)与和有关的性质
①等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．
md
nd
1．若an＝pn＋q（p，q为常数），则{an}一定是公差为p的等差数列．
2．等差数列前n项和的最值与{an}的单调性有关．
(1)若a1>0，d<0，则Sn存在最大值．
(2)若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
(3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值．
3．{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn（A，B是常数）.若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{an}从第2项起成等差数列．
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋ an＋2.(　 　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　 　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　 　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数．(　 　)
基础检测
√
√
×
×
2．（人教A版选择性必修第二册P15T4改编）等差数列{an}中，a1＝3，a4＝24，则数列{an}的通项公式为an＝________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得3d＝a4－a1＝21 d＝7，则an＝a1＋(n－1)d＝7n－4.
7n－4
3．（人教A版选择性必修第二册P17例5改编）在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则a2＋a14的值为____．
解析：依题意，等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，5a8＝60，解得a8＝12，所以a2＋a14＝2a8＝24.
24
4．（人教A版选择性必修第二册P21例6改编）若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝____．
13
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 等差数列基本量的计算
【例1】　(1)（2024·广东汕头三模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，a2n＝2an＋1，若Sn＋an＋1＝100，则n＝(　 　)
A．8 B．9
C．10 D．11
B
C
(3)（2024·新课标Ⅱ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝____．
95
规律总结
1．等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个量就能求另外两个量，体现了用方程的思想来解决问题．
2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
【对点训练1】　(1)（2024·黑龙江大庆三模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－2，S5＝－5，则S12＝(　 　)
A．30 B．32
C．36 D．40
A
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＋a4＋a6＝－3，S8＝－12，则数列{an}的首项a1＝(　 　)
A．3 B．2
C．1 D．－1
解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a4＋a6＝－3，可得3a4＝－3，即a4＝－1，所以a1＋3d＝－1①，又因为S8＝－12，可得8a1＋28d＝－12，即2a1＋7d＝－3②，联立①②解得a1＝2，d＝－1.故选B.
B
(3)（2024·北京延庆区一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板（不含天心石）3 402块，则上层有扇面形石板______块．
405
考点2 等差数列的证明
规律总结
1．等差数列的判定与证明的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数 {an}为等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}为等差数列．
(3)通项公式法：an＝an＋b（a，b是常数） {an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn（a，b为常数） {an}为等差数列．
2．若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an＋1，an＋2，使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可．
考点3 等差数列的性质及应用
命题角度1　项的性质
【例3】　（2024·全国甲卷理）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　 　)
B
命题角度2　和的性质
【例4】　(1)（2024·陕西咸阳二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝12，则S20＝(　 　)
A．30 B．58
C．60 D．90
【解析】　数列{an}为等差数列，故S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16为等差数列，由S4＝2，S8＝12，得S8－S4＝10，故S12－S8＝18，S16－S12＝26，S20－S16＝34，即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56，S20＝34＋S16＝90.故选D.
D
A
命题角度3　和的最值
【例5】　（多选）（2024·山西吕梁三模）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若S10A．当n＝8，Sn最大
B．使得Sn<0成立的最小自然数n＝18
C．|a8＋a9|>|a10＋a11|
BD
规律总结
1．项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2．和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1).
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．
3．求等差数列前n项和的最值的常用方法
(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值．
(2)函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值．
【对点训练3】　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝70，a2(a3＋a5)＝80，则公差d＝(　 　)
A．12 B．2
C．3 D．4
解析：等差数列{an}中，S7＝7a4＝70，得a4＝10，又a2(a3＋a5)＝2a2a4＝80，得a2＝4，所以d＝3.故选C.
C
B
(3)（多选）已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，若(S15－S11)(S15－S12)<0，则(　 　)
A．a13＋a14>0
B．S11C．当n＝14时，Sn取最大值
D．当Sn<0时，n的最小值为27
ABD
高考创新方向 多想少算
【例】　（2024·安徽合肥一六八中学期末）已知等差数列{an}（公差不为0）和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，如果关于x的实系数方程1 003x2－S1 003x＋T1 003＝0有实数解，那么以下1 003个方程x2－aix＋bi＝0(i＝1，2，…，1 003)中，有实数解的方程至少有(　 　)
A．499个 B．500个
C．501个 D．502个
D
创新解读
本题利用一元二次方程有实数解建立不等式，利用等差数列角标和的性质将问题简化，看似计算量非常大的一道题目，其本质考查利用不等式及等差数列的性质分析问题、解决问题的能力，新高考强调的多想少算，在本题中体现明显．
课时作业39
第
分
部
三
1．（5分）（2024·北京丰台区一模）已知公差为d的等差数列{an}满足a5－2a3＝1，且a2＝0，则d＝(　 　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：∵a5－2a3＝a1＋4d－2(a1＋2d)＝－a1＝1，∴a1＝－1，∴d＝a2－a1＝0－(－1)＝1.故选C.
C
D
3．（5分）（2024·全国甲卷文）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝1，则a3＋a7＝(　 　)
B
4．（5分）据有关文献记载，我国古代一座九层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯的盏数比上一层灯的盏数都多n（n为常数），底层灯的盏数是顶层的13倍，则该塔的底层共有灯(　 　)
A．39盏 B．42盏
C．26盏 D．13盏
C
5．（5分）（2024·广东汕头一模）在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为(　 　)
A．21 B．24
C．27 D．30
解析：令插入的3个数依次为a1，a2，a3，即3，a1，a2，a3，15成等差数列，因此2a2＝3＋15，解得a2＝9，所以插入的3个数之和为a1＋a2＋a3＝3a2＝27.故选C.
C
A
7．（6分）（多选）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＝31，S3＝21，则(　 　)
BD
8．（6分）（多选）（2024·福建泉州模拟）等差数列{an}中，a2＝－7，a5＝－1，若Sn＝a1＋a2＋…＋an，Tn＝a1a2…an，则(　 　)
A．Sn有最小值，Tn无最小值
B．Sn有最小值，Tn无最大值
C．Sn无最小值，Tn有最小值
D．Sn无最大值，Tn有最大值
AD
9．（5分）（2024·山东济南三模）数列{an}满足an＋2－an＝2，若a1＝1，a4＝4，则数列{an}的前20项的和为______．
210
10．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sk＝1，S2k＝3(k∈N*)，则S4k＝____．
解析：由等差数列性质可知Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k成等差数列，则其公差为S2k－Sk－Sk＝1，∴S3k－S2k＝(S2k－Sk)＋1＝3，则S3k＝6，∴S4k－S3k＝(S3k－S2k)＋1＝4，则S4k＝10.
10
(2)若a5，a9，a11成等比数列，求Sn的最大值．
12．（16分）设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝－7，S3＝－15.求：
(1)Sn及Sn的最小值；
解：设等差数列{an}的公差为d.
由题意，得S3＝3a1＋3d＝－15.由a1＝－7，得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9，
所以Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
(2)数列{|an|}的前n项和Tn.
13．（5分）（2024·山东济南二模）已知{an}是各项均为正整数的递增数列，{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2 025，当n取最大值时，an的最大值为(　 　)
A．63 B．64
C．71 D．72
D
14．（6分）（多选）（2024·湖南长沙三模）设无穷数列{an}的前n项和为Sn，且an＋an＋2＝2an＋1，若存在k∈N*，使Sk＋1>Sk＋2>Sk成立，则(　 　)
A.an≤ak＋1
B．Sn≤Sk＋1
C．不等式Sn<0的解集为{n∈N*|n≥2k＋3}
D．对任意给定的实数p，总存在n0∈N*，当n>n0时，anBCD
C

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