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第六章　数列
6.3　等比数列
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　等比数列基本量的计算
考点2　等比数列的证明
01
02
考点3　等比数列的性质
03
课时作业
第三部分
1．理解等比数列的概念和通项公式的意义，掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
3．理解等比数列与指数函数的关系．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．等比数列的概念
(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的__都等于同一个____，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的____，公比通常用字母q表示(q≠0)，即_____ ＝q(n∈N*)，或
_____＝q(n∈N*，n≥2).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝____．
教材回扣
比
常数
公比
ab
a1qn-1
3．等比数列的性质
(1)与项有关的性质
①在等比数列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*).
③在公比为q的等比数列{an}中，取出项数成等差数列的项ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可组成一个等比数列，公比是qd.
④m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积．
⑥当{an}是公比为q(q>0)的正项等比数列时，数列{lg an}是等差数列，首项为lg a1，公差为lg q.
(2)与和有关的性质
①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等比数列，且公比为qk（q≠－1，或q＝－1且k为奇数）.
4．等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1＜0，0(2)当a1>0，01时，等比数列{an}是递减数列．
(3)当q＝1时，等比数列{an}是一个常数列．
(4)当q<0时，等比数列{an}是一个摆动数列．
教材拓展
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数．(　 　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　 　)
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　 　)
基础检测
×
×
×
×
2．（人教A版选择性必修第二册P37T1改编）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为2，且S4＝15，则a1＝__．
解析：依题意，a1＋a2＋a3＋a4＝15，故a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15，解得a1＝1.
1
3．设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＋a3＝6，则S6＝____．
63
4．（人教A版选择性必修第二册P37例9改编）设等比数列{an}的前n项和是Sn.已知S3＝30，S6＝120，则S12＝__________．
1 200
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 等比数列基本量的计算
【例1】　(1)中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰．书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”则该女子第二天织布(　 　)
B
(2)（多选）（2024·江西南昌三模）已知{an}是单调递减的等比数列，若a2＝2，前3项和S3＝7，则下列说法中正确的是(　 　)
A．a1＝4 B．q＝3
C．an＝2n-1 D．Sn＝8－23-n
AD
规律总结
等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求解．
(2)解方程组时常常利用作商消元法．
(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．
【对点训练1】　（2024·全国甲卷文）记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知2Sn＝3an＋1－3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{Sn}的前n项和．
考点2 等比数列的证明
(2)是否存在正整数m，使得对任意的正整数n，am＋an＝am＋n总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
化简得(－1)m＋(－1)n＝1＋(－1)m＋n(*).
可知当m为正偶数，即m＝2k，k∈N*时，(*)式对任意的正整数n总成立．
因此，存在正整数m，当m＝2k，k∈N*时，对任意的正整数n，am＋an＝am＋n总成立．
规律总结
等比数列的四种常用判定方法
(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成an＝cqn-1（c，q均为非零常数，n∈N*），则{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝kqn－k（k为常数，且k≠0，q≠0，1），则{an}是等比数列．
【对点训练2】　（2024·贵州毕节一模）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋2an＝3n－5，n∈N*，设bn＝an－n＋2.
(1)求证：数列{bn}是等比数列；
解：证明：因为an＋1＋2an＝3n－5，n∈N*，
所以an＋1－(n＋1)＋2＋2an＝3n－5－(n＋1)＋2，
所以an＋1－(n＋1)＋2＝－2an＋2n－4，
即an＋1－(n＋1)＋2＝－2(an－n＋2)，所以bn＋1＝－2bn，
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：由(1)可知，bn＝b1·(－2)n-1＝2×(－2)n-1，
由于an＝bn＋n－2，所以an＝2×(－2)n-1＋n－2，
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2×(－2)0＋(－1)＋2×(－2)1＋0＋2×(－2)2＋1＋…＋2×(－2)n-1＋n－2＝2×(－2)0＋2×(－2)1＋2×(－2)2＋…＋2×(－2)n-1＋[(－1)＋0＋1＋…＋(n－2)]＝2×[(－2)0＋(－2)1＋(－2)2＋…
考点3 等比数列的性质
命题角度1　项的性质
【例3】　(1)（2024·河北张家口三模）已知数列{an}为等比数列，a1＝1，a2a3a4＝27，则log3(a1a3a5…a17)＝(　 　)
A．28　　 B．32
C．36　　 D．40
C
C
命题角度2　和的性质
【例4】　(1)（2024·湖北襄阳模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8＋S24＝140，且S24＝13S8，则S16＝(　 　)
A．40　　 B．－30　
C．30　　 D．－30或40
A
(2)已知等比数列{an}中，a1＝1，a1＋a3＋…＋a2k＋1＝85，a2＋a4＋…＋a2k＝42，则k＝(　 　)
A．2 B．3
C．4 D．5
B
规律总结
1．在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq”，可以减少运算量，提高解题速度．
2．在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
【对点训练3】　(1)（2024·贵州贵阳二模）记等比数列{an}的前n项和为Sn，a1a2a3＝27，a5＝81，则S5＝(　 　)
A．121 B．63
C．40 D．31
A
(2)（多选）（2024·湖北武汉二模）下列命题正确的是(　 　)
A．若{an}，{bn}均为等比数列且公比相等，则{an＋bn}也是等比数列
B．若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则S3，S6－S3，S9－S6成等比数列
C．若{an}为等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列
D．若数列{an}的前n项和为Sn，则“an>0(n∈N*)”是“{Sn}为递增数列”的充分不必要条件
BD
解析：若a1＝－b1且{an}，{bn}公比相等，则a1＋b1＝0，显然不满足等比数列，A错误；若{an}的公比为q，而S3＝a1(1＋q＋q2)，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝a1(q3＋q4＋q5)，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝a1(q6＋q7＋q8)，所以S3，S6－S3，S9－S6是公比为q3的等比数列，B正确；同B分析，Sn＝a1(1＋q＋…＋qn-1)，S2n－Sn＝a1(qn＋qn+1＋…＋q2n-1)，S3n－S2n＝a1(q2n＋q2n+1＋…＋q3n-1)，若n为偶数，q＝－1时，显然各项均为0，不为等比数列，C错误；当an>0(n∈N*)，则Sn＝Sn－1＋an>Sn－1且n≥2，易知{Sn}为递增数列，充分性成立，当{Sn}为递增数列，则Sn>Sn－1 Sn－1＋an>Sn－1且n≥2，显然{an}为－1，2，2，2，…满足，但an>0不恒成立，必要性不成立，所以“an>0(n∈N*)”是“{Sn}为递增数列”的充分不必要条件，D正确．故选BD.
课时作业40
第
分
部
三
1．（5分）（2024·四川凉山三模）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a2＝－3，S3＝7，则公比q＝(　 　)
D
2．（5分）（2024·天津河西区三模）若数列{an}满足an＋1＝2an－1，则称{an}为“对奇数列”．已知正项数列{bn＋1}为“对奇数列”，且b1＝2，则b2 025＝(　 　)
A．2×32 023 B．22 023
C．22 024 D．22 025
解析：因为正项数列{bn＋1}为“对奇数列”，所以bn＋1＋1＝2(bn＋1)－1，则bn＋1＝2bn，即数列{bn}是公比为2的等比数列，又因为b1＝2，所以b2 025＝2×22 024＝22 025.故选D.
D
3．（5分）（2024·浙江金华三模）已知{bn}是等比数列，若b2＝3，b6＝27，则b4的值为(　 　)
A．9 B．－9
C．±9 D．81
解析：由题得b＝b2·b6＝3×27＝81，而b4＝b2·q2>0，则b4＝9.故选A.
A
4．（5分）（2024·陕西西安三模）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＋a4＋a7＝2，a2＋a5＋a8＝4，则S9＝(　 　)
A．12 B．14
C．16 D．18
B
5．（5分）（2024·四川内江三模）在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S10＝5，S20＝15，则S30的值为(　 　)
A．25 B．30
C．35 D．40
解析：因为{an}为等比数列，所以S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，即5，15－5，S30－15成等比数列，可得5(S30－15)＝100，所以S30＝35.故选C.
C
A．1　　　 B．－1
C．2　　　 D．－2
A
7．（6分）（多选）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图1的分形规律生长成一个图2的树形图，设图2中第n行白心圈的个数为an，黑心圈的个数为bn，则下列说法正确的是(　 　)
A.a3＝5
B．b3＝2
C．数列{an－bn}为等比数列
ACD
8．（6分）（多选）（2024·河南驻马店二模）设y＝M(x)是定义在N*上的奇因函数，其中M(x)指x的最大奇因数，如M(3)＝3，M(6)＝3，M(8)＝1，则(　 　)
A．对k∈N*，M(2k－1)≥M(2k)
B．M(2k)＝M(k)
C．M(1)＋M(2)＋…＋M(63)＝931
D．M(1＋2＋…＋63)＝63
ABD
105
10．（5分）（2024·北京顺义区三模）命题：若{an}是等比数列，则前n项和Sn不存在最大值和最小值．写出一组说明此命题为假命题的首项a1＝________________和公比q＝________________．
解析：因为命题“若{an}是等比数列，则前n项和Sn不存在最大值和最小值”为假命题，所以可得若{an}是等比数列，则前n项和Sn存在最大值或最小值，因为只需确定满足条件的一组取值，故不妨先考虑q>0条件下是否存在，若q＝1，则Sn＝na1，当a1>0时，则Sn随n的增大而增大，此时Sn有最小值，满足条件，当a1<0时，则Sn随n的增大而减小，此时Sn有最大值，满足
1（答案不唯一）
2（答案不唯一）
11．（15分）（2024·山东济南三模）已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3＝1，a5＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
解：因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a3＝1，a5＝100，设公比为q，则有a5＝a3·q2，因此q＝10，a3＝a1·q2，所以a1＝10-2，
所以an＝10-2·10n-1＝10n-3.
(2)求lg (a1·a2·a3·…·a100)的值．
A．3×251－156 B．3×251－103
C．3×250－156 D．3×250－103
A
14．（6分）（多选）（2024·辽宁沈阳模拟）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3%，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种还款方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是(　 　)
A．等额本金方案，所有的利息和为2 340元
B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10 030元
C．等额本息方案，每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列
D．综合考虑，等额本金方案优于等额本息方案
ABC
解析：利息和为(120 000＋110 000＋100 000＋…＋10 000)×0.003＝2 340（元），故A正确；倒数第二个月还款后，剩余本金10 000，一个月利息为30元，本息和应为10 030元，故B正确；设第n个月贷款利息为an，偿还本金为bn，p为贷款总额，则a1＝0.3%p，a2＝0.3%(p－b1)，则b2＝(a1＋b1)－a2＝0.3%p＋b1－0.3%(p－b1)＝b1(1＋0.3%)，a3＝0.3%(p－b1－b2)，则b3＝(a2＋b2)－a3＝0.3%(p－b1)＋b2－0.3%(p－b1－b2)＝b2(1＋0.3%)＝b1(1＋0.3%)2，同理得b4＝b1(1＋0.3%)3，b5＝b1(1＋0.3%)4，…，b12＝b1(1＋0.3%)11，所以数列{bn}是以1＋0.3%为公比的递增等比数列，所以C正
等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额，还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误．故选ABC.
15．（6分）（多选）（2024·河北承德二模）对于给定的数列{cn}，如果存在实数p，q，使得cn＋1＝pcn＋q对任意n∈N*成立，我们称数列{cn}是“线性数列”，已知数列{an}，则下列说法正确的是(　 　)
A．若{an}是等差数列，则{an}是“线性数列”
B．若{an}是等比数列，则{an}是“线性数列”
D．若{an}是“线性数列”，则{an＋an＋1}也是“线性数列”
ABD

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