资源简介

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第七章　立体几何与空间向量
7.1　基本立体图形
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　基本立体图形
考点2　空间几何体的表面积
01
02
考点3　空间几何体的体积
03
课时作业
第三部分
高考创新方向 深度理解概念
04
1．了解柱体、锥体、台体、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．知道球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
3．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
1．棱柱、棱锥、棱台
教材回扣
项目 棱柱 棱锥 棱台
定义 有两个面________，其余各面都是______，并且相邻两个四边形的公共边都________，由这些面所围成的多面体 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的______，由这些面所围成的多面体 用一个平行于________的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体
结构 特征 底面互相平行且____；侧面都是__________；侧棱都____且互相平行 底面是一个多边形；侧面都是______；侧面有一个公共顶点 上、下底面互相平行且____；各侧棱延长线交于一点；各侧面为____
互相平行
四边形
互相平行
三角形
棱锥底面
全等
平行四边形
相等
三角形
相似
梯形
2.圆柱、圆锥、圆台、球
项目 圆柱 圆锥 圆台 球
定义 以____的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 以__________的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 用______圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做____，球面所围成的旋转体
矩形
直角三角形
平行于
球面
项目 圆柱 圆锥 圆台 球
结构 特征 母线互相平行且相等，并____于底面；轴截面是全等的____；侧面展开图是____ 母线相交于____；轴截面是全等的__________；侧面展开图是____ 母线延长线交于____；轴截面是全等的________；侧面展开图是____ 截面是__
垂直
矩形
矩形
一点
等腰三角形
扇形
一点
等腰梯形
扇环
圆
简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体．其构成形式主要有：由简单几何体____而成，或由简单几何体__________一部分而成．
拼接
截去或挖去
3．直观图
(1)画法：常用__________．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴与y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴的夹角为______．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍________________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度____，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的____．
斜二测画法
90°
分别平行于坐标轴
不变
一半
4．简单几何体的表面积与体积
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积
其中r，r′为底面半径，l为母线长．
2πrl
πrl
π(r＋r′)l
(2)柱体、锥体、台体、球的表面积和体积
2S底
Sh
S侧
S底
4πR2
5.常见四棱柱及其关系
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等(祖暅原理).
教材拓展
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)水平放置的菱形的直观图仍是菱形．(　 　)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　 　)
(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　 　)
(4)锥体的体积等于底面积与高的积．(　 　)
基础检测
×
×
×
×
2．如图，三角形A′B′C′是水平放置的三角形ABC的直观图，则三角形ABC的面积是____．
18
18π
4．(人教B版必修第四册P85例2改编)已知正四棱台ABCD- A1B1C1D1的高为6，且A1B1＝2AB＝4，则该四棱台的体积为____．
56
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 基本立体图形
命题角度1　结构特征
【例1】　(多选)下列说法正确的是(　 　)
A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
AD
【解析】　若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若棱柱的每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．故选AD.
命题角度2　直观图
【例2】　(多选)如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形A′B′C′D′.已知A′B′＝4，C′D′＝2，则下列说法正确的是(　 　)
A．AB＝2
CD
命题角度3　展开图
【例3】　一座山峰的示意图如图所示，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1 km，峰底A到峰顶S的距离为4 km，B是一条笔直的山路SA的中点．为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为(　 　)
D
规律总结
1．辨别空间几何体的两种方法
(1)定义法：紧扣定义进行判定．
(2)反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可．
2．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
3．在解决空间最短距离问题时，一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．
【对点训练1】　(1)(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是(　 　)
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
C．长方体是直平行六面体
D．存在每个面都是直角三角形的四面体
解析：顶点在底面的投影是正多边形的中心的棱锥才是正棱锥，故A不正确；当平面与圆柱的母线垂直或平行时，截得的截面才为圆或矩形，否则为椭圆或椭圆的一部分，故B不正确；长方体是直平行六面体，故C正确；如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中的三棱锥C1 -ABC，四个面都是直角三角形，故D正确．故选CD.
CD
(2)如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图为△A′B′C′，已知A′O′＝B′O′＝C′O′＝1，则△ABC的周长为(　 　)
A．6 B．8
C
D
考点2 空间几何体的表面积
【例4】　(1) (2024·辽宁大连一模)陀螺起源于我国，最早出土石制陀螺的是山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知底面圆的直径AB＝12 cm，圆柱体部分的高BC＝6 cm，圆锥体部分的高CD＝4 cm，则这个陀螺的表面积(单位：cm2)是(　 　)
C
A
规律总结
空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边或弧之间的关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
【对点训练2】　(1)(2024·山东青岛三模)在母线长为4，底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则该几何体的表面积为(　 　)
A．33π B．39π
C．48π D．57π
C
A
考点3 空间几何体的体积
【例5】　(1)(2024·山东潍坊三模)某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1∶2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长的比值为(　 　)
A
(2) (2024·天津卷)如图，一个五面体ABC- DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　 　)
C
规律总结
求空间几何体的体积的常用方法
公式法 规则几何体的体积，直接利用公式
割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体 积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积
D
(2)(2024·北京卷)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65 mm，325 mm，325 mm，且斛量器的高为230 mm，则斗量器的高为____ mm，升量器的高为________ mm.(不计量器的厚度)
23
57.5
高考创新方向 深度理解概念
【例】　(2024·山西晋城一模)若一个正n棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2，3}，则n的最小值为__，该棱台各棱的长度之和的最小值为____．
【解析】　根据正棱台的结构特征可知，正n棱台的总棱数为3n(n≥3，n∈N*)，则3n>15，解得n>5，所以n的最小值为6.要想各棱长之和最小，则棱数总和要最小，故n＝6，又因为棱台的上、下底面边长不相等，所以可取上底面边长为2，下底面边长为3，要使各棱长之和最小，则侧棱长取2，故该棱台各棱的长度之和的最小值为2×12＋3×6＝42.
6
42
创新解读
本题考查棱台的几何特征，看似是求最值的题目，但是抓住正棱台上、下底面相似，侧棱相等这些特征，题目瞬间可解．在复习过程中要重视对基础概念、基本知识的掌握和理解．
课时作业44
第
分
部
三
1．（5分）下列四个命题中正确的是(　 　)
A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体
C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
C
解析：如图所示，在三棱锥A -BCD中，有AB＝BC＝CD＝AD＝a，AC＝BD＝b，a≠b，满足每个面都是等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥，A错误；底面为菱形的直四棱柱，其侧棱与底面边长相等，该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B错误；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C正确；以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，D错误．故选C.
D
3．（5分）（2025·八省联考）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为(　 　)
A
B
5．（5分）（2024·天津北辰区三模）我国载人航天技术发展日新月异．目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动．从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新．如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体．圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为(　 　)
A
B
A
B
A．32 000 cm3 B．33 664 cm3
C．33 792 cm3 D．35 456 cm3
9．（7分）（多选）（2024·云南红河州二模）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是(　 　)
A．圆锥的轴截面为直角三角形
B．圆锥的表面积大于球的表面积的一半
C．圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为π
D．圆锥的体积与球的体积之比为1∶4
ABD
10．（7分）（多选）如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，O′B′＝2，则以下正确的有(　 　)
A．OA＝4
B．△ABC是等腰直角三角形
C．OB＝4
D．△ABC的面积为8
ABC
11．（7分）（多选）如图，正方体ABCD- A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则在三棱锥A′ -EFQ中，下列说法正确的是(　 　)
A．△EFQ的面积与点E，F的位置无关
B．三棱锥A′ -EFQ的体积与点Q的位置有关
C．三棱锥A′- EFQ的体积与点E，F，Q的位置都有关
D．三棱锥A′ -EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关
AD
12．（7分）（2024·山西吕梁二模）已知圆台O1O2的高为3，中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分，则该圆台的母线长为__．
5
14．（7分）（2024·全国甲卷）已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台甲、乙的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲
与乙的体积之比为____．
15．（5分）（2024·广东广州三模）如图，已知斜三棱柱ABC- A1B1C1中，O为四边形ACC1A1对角线的交点，设四棱锥O -BCC1B1的体积为V1，三棱柱ABC- A1B1C1的体积为V2，则V1∶V2＝(　 　)
A．2∶3 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶6
B
16．（5分）（2024·湖北黄石三模）已知三棱锥P -ABC的底面是边长为3的正三角形，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则三棱锥P- ABC的体积为(　 　)
D
解析：如图，在三棱锥P ABC中，分别取BC，PC的中点D，E，连接AD，AE，DE，则DE∥PB，正三角形ABC的边长为3，PA＝3，PB＝4，PC＝5，于是AE⊥PC，AD⊥BC，又PB2＋BC2＝25＝PC2，则PB⊥BC，有DE⊥BC，而AD∩DE＝D，AD，DE 平面ADE，则有BC⊥平面ADE，又AE 平面ADE，则AE⊥BC，而PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，因此AE
17．（8分）已知长方体的表面积为8，所有棱长和为16，则长方体体积的
最大值为__．

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