资源简介

(共94张PPT)
简洁
实用
高效
第七章　立体几何与空间向量
7.7　向量法求空间角和距离
数学
内容索引
必备知识回顾
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点1　异面直线所成的角
考点2　直线与平面所成的角
01
02
考点3　平面与平面的夹角
03
课时作业
第三部分
04
考点4　求空间距离
1．能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题．
2．会求空间中点到直线以及点到平面的距离．
自主学习·基础回扣
必备知识回顾
第
分
部
一
用空间向量研究距离、夹角问题
教材回扣
1．确定平面的法向量的方法
(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有可直接确定．
教材拓展
2．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
3．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，此夹角就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，此夹角的补角才是异面直线所成的角．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　 　)
(2)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　 　)
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角．(　 　)
基础检测
×
×
×
√
C
3．（人教A版选择性必修第一册P43T10改编）在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量是v＝(－2，2，1)，平面α的一个法向量是n＝(2，0，1)，则
直线l与平面α所成角的正弦值为__．
4．（人教A版选择性必修第一册P35T3改编）已知平面α经过点B(1，0，0)，且α的法向量n＝(1，1，1)，则点P(2，2，0)到平面α的距离为__．
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
二
考点1 异面直线所成的角
【例1】　（2024·湖北武汉模拟）在正四面体PABC中，E，F分别为PC，AB的中点，则异面直线BE与PF所成角的正切值为(　 　)
D
规律总结
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)选好基底或建立空间直角坐标系．
(2)求出两直线的方向向量v1，v2.
【对点训练1】　（2024·辽宁丹东一模）在直三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则异面直线BA1与AC1所成角的余弦值为(　 　)
A
解析：取BC的中点D，连接AD，因为AB＝AC，所以DA⊥DC，以D为原点，DA，DC所在直线分别为x轴、y轴，过点D且垂直于平面BAC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
考点2 直线与平面所成的角
【例2】　（2024·山东青岛二模）如图，在四棱锥P -ABCD中，△PAD是等边三角形，且BC∥AD，AB⊥AD，PB＝AB＝AD＝2BC，E为PD的中点．
(1)求证：CE∥平面PAB；
∴GE∥BC且GE＝BC，
∴四边形BCEG为平行四边形，∴CE∥GB.
又GB 平面PAB，CE 平面PAB，
∴CE∥平面PAB.
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
规律总结
向量法求直线与平面所成角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）问题．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
【对点训练2】　（2024·山东聊城二模）如图，在几何体ABCC1B1A1中，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，AA1∥BB1，AA1＝3，点E在线段A1C1上，且EC1＝2A1E.
(1)求证：B1E∥平面ABC1；
因为ME 平面ABC1，AC1 平面ABC1，所以ME∥平面ABC1.
由A1A＝3，得MA＝2，又B1B＝2，且AA1∥BB1，所以四边形ABB1M为平行四边形，所以B1M∥AB.
因为B1M 平面ABC1，AB 平面ABC1，所以B1M∥平面ABC1.
又B1M∩ME＝M，B1M 平面B1ME，ME 平面B1ME，所以平面B1ME∥平面ABC1. 又因为B1E 平面B1ME，所以B1E∥平面ABC1.
(2)若AB⊥平面BCC1B1，且AB＝2，求直线A1C1与平面AB1E所成角的正弦值．
解：因为AB⊥平面BCC1B，BB1，BC 平面BCC1B1，所以AB⊥BB1，AB⊥BC，又四边形BCC1B1是正方形，所以BB1⊥BC，
所以BC，BA，BB1两两互相垂直．
所以以B为原点，以BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由AB＝BC＝2，AA1＝3，得A(0，2，0)，A1(0，2，3)，B1(0，0，2)，C1(2，0，2)，
考点3 平面与平面的夹角
【解】　证明：因为PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PA⊥AD.又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA 平面PAB，所以AD⊥平面PAB，
又AB 平面PAB，所以AD⊥AB.
在△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，
所以AB⊥BC，
因为A，B，C，D四点共面，所以AD∥BC.
又BC 平面PBC，AD 平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
规律总结
利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法
(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小．
(2)找与棱垂直的向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．
(1)求证：EF⊥PD；
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.
考点4 求空间距离
【例4】　（多选）（2024·福建福州模拟）在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝AD＝1，E为AB的中点，则(　 　)
A．A1B⊥B1C
B．A1D∥平面EB1C
BC
规律总结
2．点面距的求解步骤
(1)求出该平面的一个法向量．
(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量．
(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
D
(2)如图，正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F分别是线段AC1，BD上的动点，则E，F间的最小距离为(　 　)
C
创新点
立体几何中的新定义问题
1．立体几何的新定义问题，往往通过具体的问题背景或新的定义，考查立体几何知识等在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识．
2．解决立体几何的新定义问题，常用的解题思路：审题、建模、研究模型、解决新定义问题．解题要点：根据题目给出的新定义，建立立体几何模型．研究模型时需注意根据新定义进行由特殊到一般的规律总结，最后解决问题．
(1)若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{a}，求a的所有可能值以及相应的α的个数；
由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面α平行于其中一个面，有4种情况．
(2)已知β为Ω的4阶等距平面，且点A与点B，C，D分别位于β的两侧，若Ω的4阶等距集为{b，2b，3b，4b}，其中点A到β的距离为b，求平面BCD与β夹角的余弦值．
课时作业51
第
分
部
三
1．（15分）如图，四棱锥P -ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．
(1)求证：OE∥平面PAD；
解：证明：因为四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于点O，所以O为BD的中点．
又E是PB的中点，则EO∥PD，且EO 平面PAD，PD 平面PAD，
所以EO∥平面PAD.
(2)求DE与PA所成角的正弦值．
解：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又PO⊥底面ABCD，则PO，OC，OB两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB，OC，OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以BD＝2OB＝2.
2．（15分）如图，在三棱锥P -ABC中，AB＝BC＝PC＝PB＝2，∠ABC＝90°，E为AC的中点，PB⊥AC.
(1)求证：平面PBE⊥平面ABC；
解：证明：∵AB＝BC，E为AC的中点，
∴BE⊥AC.
又PB⊥AC，且PB∩BE＝B，PB，BE 平面PBE，∴AC⊥平面PBE.
又AC 平面ABC，
∴平面PBE⊥平面ABC.
(2)求点C到平面PAB的距离．
3．（15分）（2024·江西景德镇三模）如图，已知在正三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1.
(1)已知E，F分别为棱AA1，BC的中点，求证：EF∥平面A1B1C；
∴GF∥A1E，且GF＝A1E，
∴四边形A1EFG是平行四边形，
∴EF∥A1G.
又EF 平面A1B1C，A1G 平面A1B1C，
∴EF∥平面A1B1C.
(2)求直线A1B与平面A1B1C所成角的正弦值．
4．（15分）（2023·新课标Ⅱ卷）如图，三棱锥A- BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)求证：BC⊥DA；
解：证明：如图，连接AE，DE.∵DB＝DC，E为BC的中点，∴DE⊥BC.∵DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ACD与△ABD均为等边三角形，
∴AC＝AB，∴AE⊥BC.
又AE∩DE＝E，∴BC⊥平面ADE.
又AD 平面ADE，∴BC⊥DA.
5．（20分）（2024·山东青岛三模）如图所示，多面体ABCDEF的底面ABCD是正方形，点O为底面的中心，点M为EF的中点，侧面ADEF与BCEF是全等的等腰梯形，EF＝4，其余棱长均为2.
(1)求证：MO⊥平面ABCD；
解：证明：如图，分别取AB，CD的中点K，Q，
连接FK，KQ，QE，则O为KQ的中点．
因为侧面ADEF是等腰梯形，所以EF∥AD，又KQ∥AD，所以KQ∥EF.
△ABF和△DCE都是边长为2的等边三角形，则FK＝EQ，所以四边形FKQE为等腰梯形．
因为点M为EF的中点，O为KQ的中点，所以MO⊥KQ.
因为△ABF是等边三角形，所以AB⊥FK，
又AB⊥KQ，KQ，FK 平面FKQE，KQ∩FK＝K，所以AB⊥平面FKQE.又AB 平面ABCD，所以平面FKQE⊥平面ABCD.
又平面FKQE∩平面ABCD＝KQ，MO 平面FKQE，MO⊥KQ，
故MO⊥平面ABCD.
6．（20分）（2024·山东日照二模）如图，在三棱锥P -ABC中，BA⊥BC，PB⊥平面ABC，点E在平面ABC内，且满足平面PAE⊥平面PBE，AB＝BC＝BP＝1.
(1)求证：AE⊥BE；
解：证明：如图，过点B作BH⊥PE交PE于H.
因为平面PAE⊥平面PBE，且平面PAE∩平面PBE＝PE，
BH 平面PBE，所以BH⊥平面PAE.又AE 平面PAE，所以BH⊥AE.
因为PB⊥平面ABC，且AE 平面ABC，所以PB⊥AE.
又BH⊥AE，PB⊥AE，且PB，BH 平面PBE，PB∩BH＝B，所以AE⊥平面PBE. 因为BE 平面PBE，所以AE⊥BE.
解：以B为原点，以BA，BC，BP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0，0，0)，P(0，0，1)，C(0，1，0)，A(1，0，0).

展开更多......

收起↑