资源简介

(共44张PPT)
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第十章　计数原理、概率
10.9　概率统计与其他知识
的综合问题
数学
内容索引
关键能力提升
第一部分
考点1　概率统计与数列的综合问题
考点2　概率统计与函数、导数的综合问题
01
02
课时作业
第二部分
会综合利用概率统计知识解决概率统计与数列、函数、导数等知识的综合问题．
互动探究·考点精讲
关键能力提升
第
分
部
一
考点1 概率统计与数列的综合问题
【例1】　一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球，其中10个红球，10个黄球，20个绿球，依次随机抽取小球，每次只取1个小球．解答下列问题：
(1)若取出的小球不再放回．
①求最后抽取的小球是黄球的概率；
②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率；
③设随机变量X为最后一个红球被取出时所需的取球次数，求E(X).
规律总结
高考中有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、统计为命题情境，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前n项和，解题时要准确把握题中所涉及的事件，明确其所属的事件类型．
【对点训练1】　现有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中装有2个红球和1个白球，乙盒中装有1个红球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复n(n∈N*)次这样的操作后，记甲盒中红球的个数为Xn，甲盒中恰有1个红球的概率为an，恰有2个红球的概率为bn（注：所有小球大小、形状、质地均相同）.
(1)求a1，b1的值；
(3)求Xn的数学期望E(Xn).
考点2 概率统计与函数、导数的综合问题
【例2】　（2024·河北衡水模拟）已知甲口袋有m(m≥1，m∈N*)个红球和2个白球，乙口袋有n(n≥1，n∈N*)个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球．
(1)当m＝4，n＝2时．
(ⅰ)求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
(ⅱ)设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的数学期望．
(2)当m＝n时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？
规律总结
在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）或均值最大（最小）的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现．
【对点训练2】　第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会．为迎接这一盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛．
课时作业76
第
分
部
二
1．（13分）（2024·山东菏泽模拟）已知A，B两个盒子中各有一个黑球，一个白球．每次从两个盒子中各随机取出一个小球交换后放回．记n次交换后，B盒子中有一黑一白两个小球的概率为Pn，A盒子中黑球的个数为Xn.
(1)求Pn；
解：依题意，第一次交换共有4种情况，其中有2种情况交换后，B盒子中仍为一黑一白两个小球，
另外2种情况交换后，B盒子中有两个黑球或两个白球，再次交换后，B盒子中必为一黑一白两个小球，
(2)求Xn的数学期望E(Xn).
(2)设该同学在一周5天的竞技活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为f(p)，试求当p取何值时，f(p)取得最大值．
(1)若甲同学投篮4次，求恰好投中2次的概率．
(2)甲同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数X的概率分布列及数学期望．
(3)为提高投篮命中率，甲同学决定参加投篮训练，训练计划如下：先投n(n∈N*，n≤33)个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外再投(100－3n)个．试问n为何值时，该同学投篮次数的期望值最大．
因为g(x)＝103－3x－2x+2，x∈R显然为单调递减函数，
则数列{103－3n－2n+2}是递减的，
当n≤4时，103－3n－2n+2>0，f(n＋1)>f(n)，当n≥5时，103－3n－2n+2<0，f(n＋1)即有f(1)f(6)>f(7)>…，因此f(5)最大，
所以当n＝5时，甲同学投篮次数的期望值最大．
(1)求再打2球该局比赛结束的概率；
(2)两人又打了X个球该局比赛结束，求X的数学期望E(X)；
(3)若将规则改为“打成10∶10平后，每球交换发球权，先连得2分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率．

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