资源简介

天津市南开大学附属中学津南学校2026届高三上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
4.已知，则的大小关系为
A. B. C. D.
5.如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点( )
A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
6.已知，，为实数，若，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.在中，已知，且，则该三角形的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形
8.已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数现有下列结论：
函数的图象关于直线对称函数的图象关于点对称
函数在区间上单调递减函数在上有个零点
其中所有正确结论的编号是( )
A. B. C. D.
9.设函数，若对于任意实数，在区间上至少有个零点，至多有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若的展开式的二项式系数和为，且的系数为 ．
11.计算： ．
12.若，，且，，则的值是 ．
13.甲、乙两个袋子中各有个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有个红球，个黄球，乙袋中有个红球，个黄球．若从两个袋子中各任取个球，则都取到红球的概率为 ；若从两个袋子中各任取个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为 ．
14.在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
15.已知函数在上的值域为，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
求边的长；
求的正切值；
求的值．
17.在中，内角的对边分别为，已知．
求；
若，且面积，
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求．
18.已知为的导函数．
求在的切线方程；
讨论在定义域内的极值；
若在内单调递减，求实数的取值范围．
19.已知函数的最小正周期为．
求的值；
求函数的单调递减区间；
若对于任意都有成立，求实数的取值范围．
20.已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
讨论的单调性；
已知，证明：其中是自然对数的底数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.【详解】由余弦定理得
过点作于点，在中，
，
在中，，
由可知
因为，，

17.【详解】因为，
所以，可得：，
由正弦定理可得：，
可得：，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以
因为，且，
解得：，，
由余弦定理可得：，解得：；
(ⅱ)由余弦定理可得，
所以，，，
所以．

18.【详解】，，而，
故切线方程为：即．
设，其中，
则，
当时，，故在上为减函数，故无极值；
当时，
若，则，故在上为增函数；
若，则，故在上为减函数；
故有极大值其极大值为，无极小值．
因为在内单调递减，则于恒成立，
故在恒成立即．
令，则．
令得，令得，
故在单调递减，单调递增．
所以，故．
所以．

19.【详解】
由，解得
即函数的单调递减区间为
由题意可得对任意，都有
，，解得
所以的取值范围为

20.【详解】当时，，，
当时，，，
切线方程为，整理得，
所以曲线在处的切线方程为．
函数的定义域为，，
对于关于的方程，有，
当时，，则恒成立，在上单调递减；
当时，方程有两根，，
若，则，，
当时，，所以在上单调递增；
时，，所以在上单调递减；
若，则，
当和时，，当时，；
即在与上单调递减，在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在与上单调递减，
在上单调递增．
要证，即证，
因为，，所以，
当时，不等式显然成立；
当时，因为，则，
所以只需证，即证，
令，，则，
由得；由，得，
则在上为单调递增，在上单调递减，故；
令，，则，
所以当时，，当时，，
所以在上为单调递减，在上为单调递增，
所以，
所以恒成立，即．

第8页，共8页

展开更多......

收起↑