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天津市河东区一〇二中学2026届高三上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.已知是空间中的两个不同的平面，，，是三条不同的直线下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.函数在区间的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.下列说法错误的是( )
A. 数据的第百分位数为
B. 一组数据的标准差为，则这组数据中的数均相等
C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到依据的独立性检验，可判断与不独立
D. 用简单随机抽样的方法从个个体中抽取个个体，则每个个体被抽到的概率都是
7.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为( )
A. B. C. D.
8.双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，过作角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，则( )
A. B. C. D.
9.若函数，函数的最小正周期为，则；当时，在区间上单调递增；当时，为函数的一个对称中心；若在上有且只有两个零点，则其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知是虚数单位，化简的结果为 ．
11.在的展开式中，常数项为 ．
12.在平面直角坐标系中，以抛物线的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程为 ．
13.某种资格证考试，每位考生一年内最多有次考试机会一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完次机会小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为，，，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为 ；他在一年内参加考试次数的数学期望为 ．
14.在中，，分别为，的中点，线段与相交于点，，分别为，边上一点，且，，三点共线，若，其中为实数，则 ；的最小值为 ．
15.已知函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，角，，所对的边分别为，，已知．
求的值；
若．
求的值：
求的值．
17.如图，在四棱柱中，平面，其中是的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
18.设椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为已知点是椭圆上一点，当直线经过点时，原点到直线的距离为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．
19.已知椭圆的左、右焦点分别为和，上顶点为，直线的斜率为．
求椭圆离心率；
已知直线与椭圆相切于点，过作垂直于直线，交直线于点，若，求线段的长．
20.已知函数，，其中，曲线在点处的切线方程为．
求的值；
求的最小值；
设，若对恒成立，求的最大值．
参考答案
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14.
15.
16.【详解】由正弦定理及，
得
由余弦定理有，
因为，所以，
从而，
则，

17.【详解】
平面，平面，平面，
，又，
以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图，可得，，，，，，，
，
设平面的一个法向量为，
则，不妨设，得
所以平面的一个法向量为，
，有，故．
又平面，所以平面．
由可知，
设平面的一个法向量为，
则，不妨设，得，
所以平面的一个法向量为，
于是，
所以，平面与平面的夹角余弦值为．
由，平面的一个法向量为，
设点到平面的距离为，则，
所以，点到平面的距离为．

18.【详解】因为离心率为
由题意可知：，
则直线，即，
可得原点到直线的距离为，即，
由题意得：，解得：
所以椭圆方程为．
由可知：，且直线与椭圆必相交，且斜率不为，
可设直线为，
联立椭圆方程，消去可得，
则，
可得，
其中，
可得，
因为直线为线段的垂直平分线，
则直线：，
令得：，即，
所以，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．

19.【详解】，
由条件可知，又，
可得：，
所以．
由可知：，
椭圆方程为，设，
当时，直线，，
设夹角为，则，
由，
所以，所以，
所以，
当时，设
联立椭圆方程：，化简整理得：
，
由，整理得到：，
，，
故，
又，
所以，
由垂直关系易知直线的方程为，
联立，得
所以，
所以
由
，解得：，
所以，
所以，
综上

20.【详解】由得．
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，解得．
由知，
所以，
令，则．
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在单调递减，
又，
所以存在唯一零点，使得．
所以在单调递增，在单调递减．
又，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即的最小值为．
因为对恒成立，
令，则，
由知，
所以，
因为，所以．
假设当时，对恒成立．
由知，
则，
所以．
设
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以在上恒成立，即满足题意．
综上所述，整数的最大值为．

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