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四川省射洪中学校2026届高三（重点班）上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.定义在上的满足，且当时，，则( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
6.函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，，，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
8.当时，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式的值为的是( )
A. B. C. D.
10.设函数，若在上单调递增，则的取值范围可能是( )
A. B. C. D.
11.对非零向量，定义运算“”：，其中为与的夹角，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若中，，则
D. 若中，，则是等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，若，则 ．
13.函数的值域是 ．
14.在锐角中，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处的切线方程为．
求的解析式；
当时，求函数的极值．
16.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，满足，且．
求与比值；
当时，求．
17.本小题分
已知的内角所对的边分别为，且．
求；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的值与的单调递增区间；
若且，求的值．
19.本小题分
已知函数．
当时，点在曲线上运动，过点作切线可得到一系列的切线，，，，称其为“动态切线系列”，试探讨“动态切线系列”中是否存在两条切线平行于轴；写出推理依据
若分别是的两个不等的极值点．
求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
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4.
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13.
14.
15.【详解】，因为函数在处的切线方程为，所以，，也即，解得，
所以的解析式为．
由知，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
由单调性可知，是函数的极小值点，且是区间内唯一的极值点，
因此函数在处取得极小值，无极大值，，
所以函数在内的极小值为，无极大值．

16.【详解】，故，
其中，所以，
若，则，则，
此时若，则，，
若，则，
要想，则，
又，所以，即，这是不可能的，
故舍去；
若，则，，
则，故，此时均为钝角，不合要求，
综上，；
，由正弦定理得，
又，故，即，
又，，所以，
所以

17.【详解】因为，由正弦定理得，
化简得，
又因为，则，可得，即，
且，所以．
因为，，由正弦定理得，
则，，
可得，
因为，则，
可得，所以．

18.【详解】
，
则有，解得，
令，
解得，
故的单调递增区间为；
由，则，
又，
则，
则
．

19.【详解】当时，，，
若“动态切线系列”中存在两条切线平行于轴，
则方程有两个不等的实数根，
记，所以，
当时，，单调递减，即单调递减；
当时，，单调递增，即单调递增，
又因为，，，
所以，使得，，使得，
所以方程有两个不等的实数根，
所以“动态切线系列”中存在两条切线平行于轴
因为，所以定义域为，且，
由切线不等式易知当且仅当时，等号成立，即恒成立，
所以当时，，在上单调递增，不符合题意，
因为分别是方程的两个不等的实数根，所以，即，
所以实数的取值范围为．
证明：因为分别是方程的两个不等的实根，
所以不妨设，则，
即，．
要证，即证．
当时，，由知，
且有，
设，则．
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，即在上单调递减．
因为，所以，即．
因为，所以．
因为，所以．
由可知在上单调递增，
所以，即得证．

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