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四川省射洪中学校2026届高三上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集，，，则集合的元素个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.若命题“”为假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
4.定义在上的奇函数满足，且当时，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.若向量，则( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量是
8.已知，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，则下列结论正确的是( )
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且为常数，则
10.设函数，则下列结论正确的是( )
A. ，在上单调递减
B. 若且，则
C. 若在上有且仅有个不同的解，则的取值范围为
D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为
B. 曲线关于对称
C. 方程在上有个不相等的实数解
D. 存在，使得不等式成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则的最小值为 ．
13.函数恒有，且在上单调递增，则 ．
14.设函数，若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
等比数列中，，且数列单调递增．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
记的内角的对边分别为，已知三角形，角的平分线交边于点．
证明：；
若，求的周长．
17.本小题分
年月日，某商场为了迎接促销，决定在商场内举办抽奖活动，盒子内有编号的大小相同、质地均匀的个小球．小球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖安慰奖规则如下：某顾客可以连续抽奖次，每次抽奖完成后将小球放回盒子，且每次抽奖的结果互不影响．
若某顾客第次未抽到一等奖，求该顾客在第次抽到一等奖的概率；
记某顾客第次抽到的奖品等级为，若用表示“次抽到奖品的等级差”，求的分布列与数学期望．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求图象在处的切线方程；
若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
设函数定义在区间上，若对任意，有，则称为上的下凸函数，等号成立当且仅当若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的下凸函数的充要条件是．
若是上的下凸函数，求实数的取值范围．
在锐角三角形中，求的最大值．
已知正实数满足，求的最小值．
参考答案
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15.【详解】设等比数列的公比为，
由题意得，解得，
因为单调递增，所以，
所以的通项公式为，
即；
因为，所以，
记，则，
所以，
即，
综上所述．

16.【详解】由可知，，
所以，又，故，如图所示，
所以，得，
化简整理得；
因为，故，所以，又，
化简得，解得，又，
故，所以的周长为．

17.【详解】因为两次抽奖相互独立，记“第次抽到一等奖”为事件，则；
由题意知的取值可能为，，，，，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
所以的数学期望为．

18.【详解】时，，，
，则，即切线的斜率为．
图象在处的切线方程为．
，即，
由题意，得对恒成立．
令，则．
．
由，得，在上单调递增；
由，得，在上单调递减．
所以，
故．
，令，，，
因是单调函数，故有两个零点，等价于在上有两个零点．
方法：
当时，，则在上递减，最多有一个零点，故不满足题意；
当时，
令可得，即在上单调递增；
令可得，即在上单调递减．
且当时，，则
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故
要使在上有两个零点，则，解得
方法：在上有两个零点，等价于方程有两个实根，即有两个根
也等价于与图象有两个公共点
，则可得在递增，递减
且，当时，，则
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故
则的大致图象为
故当时，与图象有两个公共点，即有两个零点

19.【详解】由，可得，，
因为是上的下凸函数，
所以在上恒成立，即恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，当时，，
所以在上单调递增，所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
令，，
则，，
所以在上是下凸函数，
又因为，
所以，
即，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．
因为正实数满足，
所以．
令，，
则，，
因为，所以，，，
即，
所以，
所以在上是下凸函数，
所以，
即，
即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．

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