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甘肃省部分学校2026届高三上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则 ．
A. B. C. D.
2.已知命题，，命题，，则 ．
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.已知，则下列正确的是 ．
A. B. C. D.
4.函数的大致图象为 ．
A. B.
C. D.
5.物体所受到的重力与其到地心的距离的关系为，则对于的瞬时变化率为 ．
A. B. C. D.
6.已知函数满足，则 ．
A. B. C. D.
7.已知函数，则“”是“有极值”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.设函数，若，，则的取值范围为 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则 ．
A. 的定义域为
B. 是增函数
C. 的图象过定点
D. 若，则函数的最小值为
10.已知函数，则 ．
A. B. 的值域为
C. D. 不等式的解集为
11.记为，两数中较大的数，已知，，当，变化时，的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
13.函数在区间上的值域为 ．
14.已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算下列各式的值．
；
．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性．
17.本小题分
如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，，，记的面积为．
设，试用表示，并求的取值范围．
当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？
18.本小题分
已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列个条件：，则“”的充要条件是“”；，则“”的充要条件是“”；，则“”的充要条件是“”；，．
设集合，若，求的取值集合；
设，证明：“”的充要条件是“”；
设，且，证明：．
19.本小题分
已知函数．
讨论的图象与直线的交点个数．
已知函数有五个不同的零点，且．
求的取值范围；
比较与的大小，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】原式；
原式．

16.【详解】当时，，．
，．
曲线在点处的切线方程为．
．
当时，，是增函数．
当时，令，解得．
当时，；当，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．

17.解：依题意，得∽，
所以，即，得，
所以，
因为，
所以，解得
由，
所以
，
由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
故EC时，取得最小值，为．
18.【详解】因为是正实数集的一个子集，，所以，
又因为，则，解得，
所以的取值集合为．
充分性：若，则，则由可知，
故由，可得．
必要性：由，设，
若，则由，可得，由，可得，矛盾．
若，则由，可得，由，可得，符合题意．
若，则由，可得，由，可得，矛盾．
故由，可得．
综上可知：“”的充要条件是“”
由可知，
因为，则，
设，可知，
则，可得，
且，，可得，所以．

19.【详解】由题意求导可得．
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
则．
当时，，当时，，当时，．
所以的大致图象如图所示．

当时，的图象与直线的交点个数为；
当或时，的图象与直线的交点个数为；
当时，的图象与直线的交点个数为．
当时，由，解得或．
因为，所以．
当时，有三个零点，令，则有两个不同的实数根，
由可得二次方程根的分布：或
当时，则．
当时，，解得：．
综上可得，的取值范围为．
由可得
所以．
易得，构造函数，
则
，
当时，得，得，则在上单调递增．
因为，所以，得．
又在上单调递减，
所以，得．
又，
所以．

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