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等式与不等式
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　　函数关系、相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建函数、方程与不等式的基础．本章将学习一些关于不等式的基本知识，并从函数的观点来看方程和不等式，以理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性.
导入
　　现实世界和日常生活中，“等”与“不等”是两个不同的概念，反映在数学上就是相等关系和不等关系．两者既对立，又统一，它们在一定条件下可以相互转化，在数学研究和数学应用中起着重要的作用．
一 等式与不等式
一
等式与不等式
　　现实世界中，既有大量的相等关系，又广泛地存在着不等关系．在方程的学习中，我们学会了用相等关系解决生活中的诸多问题．同样地，可以用不等式刻画现实世界中的数量关系．相等关系更多地刻画“静态的数量关系”，而不等关系经常用来刻画“动态的数量关系”.
　　在日常生活中，我们经常用大与小、重与轻、长与短、高与矮、不低于或不超过等来描述客观对象在数量上的不等关系．
一
等式与不等式
　　例如，在交通标识中常见的不等关系有：
　　如图2.1-1(1)，该图标的意思是机动车的行驶速度v不可超过60km/h，即v≤60．如图2.1-1(2)，该图标的意思是机动车的总高度h不可超过3.5m，即h≤ 3.5．如图2.1-1(3)，该图标的意思是机动车的总重M不可超过10t，即M≤10．
(1)
(2)
(3)
图2.1-1
一
等式与不等式
　　在数学中，我们也经常探究几个量之间的不等关系，例如，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，任何实数的平方都大于或等于0，随机事件发生的概率在0与1之间，等等．
　　我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题．下面看两个具体的问题．
一
等式与不等式
　　问题1　图2.1-2(1)是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2.1-2(2). 图2.1-2(3)中的正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，b(a≠b)，那么正方形的边长为 　 ．这样，4个直角三角形的面积之和为　　 　 ，正方形的面积为a2+b2．由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积之和，我们就得到一个不等式
a2+b2 >2ab ．
一
等式与不等式
　　
(1)
(2)
(3)
图2.1-2
一
等式与不等式
一
等式与不等式
　　为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质做必要的了解．
　　我们知道，实数可以比较大小．如果在数轴上两个不同的点A与B分别对应两个不同的实数a与b，那么右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大（如图2.1-3）．
a图2.1-3
一
等式与不等式
　　关于实数a与b大小的比较，有以下基本事实：
　　如果a－b>0，那么a>b；如果a－b=0，那么a=b；如果a－b<0，那么a　　由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．如要证明x≤a，只需证明x－a≤0即可．
a＞b a－b＞0，
a＝b a－b＝0，
a＜b a－b＜0.
一
等式与不等式
　　　　　比较(x+1)(x+3)与(x+2)2的大小．
解　　因为 (x+1)(x+3)－(x+2)2
　　　　　　=(x2+4x+3)－(x2+4x+4)
　　　　　　=－1<0，
　所以　 (x+1)(x+3)<(x+2)2 ．
例
1
一
等式与不等式
　　　　 a g糖水中含有b g糖，若再添加m g糖(其中a>b>0，m>0)，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个不等式吗？试给出证明.
例
2
一
等式与不等式
解　因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为：
　　　　　，其中a>b>0 ， m>0.
　下面用作差比较法给出证明.
　因为a，b，m都是正数，
　且a>b，所以a+m>0，a－b>0．
　所以
　即
　　假设有一种机器可以抽取糖水中的糖，生活常识告诉我们：若把糖水中的糖抽掉m g，则糖水会变淡，于是提炼出一个不等式：若a>b>m>0，则
你能证明这个不等式吗？
一
等式与不等式
　1. 比较大小：
　(1) (x+1)(x－3)与(x+2)(x－4)；
　(2) (x2－1)2与x4－x2+1；
　(3) x2+y2+1与2(x+y－1)．
　2.若a练 习
一
等式与不等式
　　我们早已熟悉等式的很多基本性质，例如“等式两边同加（或减）一个数，等式仍然成立”“等式两边同乘（或除以）一个数，等式仍然成立”等等.类比等式，不等式有哪些基本性质呢？
　　性质1　　如果a>b，那么bb．即
a>b b　　性质2　　如果a>b ，b>c，那么a>c．即
a>b，b>c a>c．
一
等式与不等式
　　证明 　　因为a>b，b>c，
　　所以　a－b>0，b－c>0.
　　因此　a－c=(a－b)+(b－c)>0．（理由：正数+正数=正数）
　　即　a>c.
　　从以上两个性质还可以推出不等式的以下性质：
c一
等式与不等式
　　性质3　如果a>b，那么a+c>b+c．
　　这就是说，不等式的两边都加上同一个实数，
所得不等式与原不等式同向．
　　推论1　如果a+b>c，那么a>c－b．
　　证明　a+b>ca+b+(－b)>c+(－b)
?　　　　　　 a>c－b.
　　这就是说，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等式的另一边．由此可知，“三角形的任意两边之和大于第三边”“三角形的任意两边之差小于第三边”，这两句话逻辑上是等价的．
　　对于等式，如果a=b，那么a+c=b+c.
一
等式与不等式
　　推论2　如果a>b，c>d，那么a+c>b+d．
　　证明　因为a>b，c>d，所以
a+c>b+c，b+c>b+d．
　　所以
a+c>b+d．
　　显然，这一推论可以推广为：有限个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向．
一
等式与不等式
　　性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc．
　　　　　 如果a>b，c<0，那么ac　　证明　因为a>b，所以a－b>0.
　　又　c>0，
　　因此ac－bc=(a－b)c>0.（理由：正数×正数=正数）
　　即　　ac>bc.
　　对于c<0的情况，尝试自行证明.
　　这就是说，在不等式的两边同乘一个正数，不等号的方向不变；若同乘一个负数，则不等号的方向反向．
　　对于等式，如果a=b，那么ac=bc.
一
等式与不等式
　　推论3　如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
　　证明　因为a>b，c>0，则ac>bc.
　　又因为c>d，b>0，则bc>bd.
　　由性质2得　　ac>bd.
　　推论4　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N+)．
　　反复利用推论3即可得证．
一
等式与不等式
一
等式与不等式
　　性质5　如果a>b，且ab>0，那么　　　．
　　　　　 如果a>b，且ab<0，那么　　　．
　　证明　因为　　　　　　，
　　所以，当a>b，且ab>0时，有　　　　，
　　即　　　　．
　　当a>b，且ab<0时，有　　　　，
　　即　　　　．
一
等式与不等式
　　　　已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d.
　证明　因为c＜d，所以－c＞－d.
　由a>b和推论2知，a－c＞b－d.
例
3
一
等式与不等式
　　　　求证：如果a＞b＞0，且d＞c＞0，那么　　　.
　证明　由d＞c＞0和性质6，得　　　　.
　又由a＞b＞0和推论3，得　　　.
例
4
一
等式与不等式
　　1．判断下列命题的真假，并说明理由：
　　(1)若a＞b，则ca＞cb； 　　　(2)若a＞b，则ac2＞bc2；
　　(3)若a＞b，c≠0，则　　　； (4)若a＞b，c≠0，则　　　　.
　　2．回答下列问题：
　　(1)若a＞b，且c＞d，能否判断a－c与b－d的大小？举例说明．
　　(2)若a＞b，且c＜d，能否判断a＋c与b＋d的大小？举例说明．
　　(3)若a＞b，且c＞d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．
　　(4)若a＞b，c＜d，且c≠0， d≠0，能否判断　与　的大小？举例说明．
练 习
一
等式与不等式
　　3．求证：
　　(1)若a＞b＞0，且c＜d＜0，则ac＜bd；
　　(2)若a＞b ，且a，b同号，c＞0，则 　　 ；
　　(3)若a＞b＞0，且c＞d＞0，则　　　　．
练 习
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