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山西省晋中市部分学校 2026届高三上学期 11月考试数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | 4 < ≤ 1}， = { | 1 < < 3}，则 ∪ =( )
A. { | 4 < < 3} B. { | 1 < ≤ 1} C. {0,1,2} D. { | 1 < < 4}
1 1
2.已知 、 都是实数，那么“ < < 0”是“ > ”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
, < 1
3.已知函数 ( ) = { ，若 ( ) = 1，则实数 的值是( )
4 , ≥ 1
A. 0 B. √ 3 C. 0或√ 3 D. 0或√ 3或 √ 3
4.若 ( )是定义在 上的奇函数，且 ( + 2) = ( )，则 (2026)的值为( )
A. 1 B. 2 C. 0 D. 1

5.在△ 中， = ， = 3, = √ 6，则角 等于( )
3
3 3
A. 或 B. C. D.
4 4 4 4 6

6.将函数 ( ) = sin( + )( > 0)的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 ，若 关于 轴对称，则 的
3 2
最小值是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 4 3 2
1 2
7.已知sin ( + ) = ，则cos ( 2 ) =( )
6 3 3
7 7 4√ 2 4√ 2
A. B. C. D.
9 9 9 9
8.若函数 ( ) = ln( + 1)有极值，则 的取值范围为( )
A. ( ∞, 0) ∪ ( , +∞) B. ( ∞, 0) ∪ ( 2, +∞)
1
C. ( ∞, 1) ∪ (1,+∞) D. ( ∞, 1) ∪ ( , +∞)

二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.对于函数 ( ) = 2 和 ( ) = sin (2 )，下列正确的有( )．
4
A. ( )与 ( )有相同零点 B. ( )与 ( )有相同最大值
C. ( )与 ( )有相同的最小正周期 D. ( )与 ( )的图像有相同的对称轴
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10.若正实数 , 满足2 + = 1，则下列说法正确的是( )
1 1 4
A. 有最大值为 B. + 有最小值为6 + 4√ 2
8
1 1
C. 4 2 + 2有最小值为 D. ( + 1)有最大值为
2 2
1
11.设函数 ( ) = cos2 √ 3sin cos ( > 0)，则下列结论正确的是( )
2
π π
A. ∈ (0,1)， ( )在[ , ]上单调递减
6 4
B. 若 = 1且| ( 1) ( 2)| = 2，则| 1 2|min = π
5 4
C. 若| ( )| = 1在[0, π]上有且仅有2个不同的解，则 的取值范围为[ , )
6 3
π
D. 存在 ∈ (1,2)，使得 ( )的图象向右平移 个单位长度后得到的函数为奇函数
6
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.函数 ( ) = ln( 2 + 2 3)的定义域为______．
13.如图，飞机飞行的航线 和地面目标 在同一铅直平面内，在 处测得目标 的俯角为30°，飞行10千米
到达 处，测得目标 的俯角为75°，这时 处与地面目标 的距离为______．
14.已知函数 ( ) = + + 2，若不等式 ( ) < ( 2 + 1)对任意 ∈ 恒成立，则实数 的取值
范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 ( ) = 2cos (sin √ 3cos ) + √ 3．
(1)求 ( )的最小正周期和 ( )的单调递减区间；

(2)当 ∈ [ , ]时，求函数 ( )的最小值及取得最小值时 的值．
2
16.(本小题15分)
√ 3
已知△ 中角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，设其面积为 ， 2 = ．
2+ 2 4
(1)求角 ；
(2)若 = 2√ 14，点 在边 上，若 是∠ 的平分线，且 = 1，求 ．
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17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 3 + + 2在 = 2处取得极值 14．
(1)求 ， 的值；
(2)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(3)求函数 ( )在[ 3,3]上的最值．
18.(本小题17分)
5 5
已知函数 ( ) = 2 ( + )( ∈ , | | < )在区间( , )单调， ( ) = √ 3，且 ( ) = ( )．
2 2 6 2 6
(1)求 = ( )图象的一条对称轴；
(2)求 ( )的解析式；

(3)在锐角△ 中，若 ( ) = √ 3，求 的取值范围．
2 2
19.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = 1 + ′(1) 2 + 1．
3
(1)求 = ( )的解析式；
(2)若 ( ) = ( ) ( 2 + + )在[ 1,2]内有两个零点，求 的取值范围；
(3)若对任意的 ∈ R，不等式 ( ) ≥ 0恒成立，求整数 的值组成的集合．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( ∞, 3) ∪ (1,+∞)
13.5√ 2
14.( 1,1)
1+cos2
15.解：(1)由题意 ( ) = 2sin cos 2√ 3 2 + √ 3 = sin2 2√ 3 + √ 3 = sin2
2

√ 3cos2 = 2sin (2 )，
3
2
所以函数 = ( )的最小正周期为 = = ；
2
3
由 + 2 2 + 2 ( ∈ )，
2 3 2
5 11
解得 + ≤ ≤ + ( ∈ )，
12 12
5 11
因此函数 = ( )的单调递减区间为[ + , + ] ( ∈ )；
12 12
2 5
(2)当 ∈ [ , ]时， ≤ 2 ≤ ，
2 3 3 3
3 11
当2 = 时，即当 = 时，函数 = ( )取得最小值，最小值为 2，
3 2 12
11
则当 = 时，函数 = ( )取得最小值为 2．
12
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1

2 √ 316.解：(1)由题意可知， = = = ，解得 = √ 3，
2
2
+ 2 4 4 4
因为 ∈ (0, )，
2
所以 = ；
3
(2) △ 中， 2 = 2 + 2 2 ，
∴ 2 + 2 + = 56，①
1 √ 3 1 √ 3 1 √ 3
又 △ + △ = △ ，∴ × 1 × × + × 1 × × = × ，即 + = ，② 2 2 2 2 2 2
联立①②得 2 2 = 56，
1 2
∴ = 8. ∴ = = 2√ 3．
2 3
17.解：(1)因为函数 ( ) = 3 + + 2，所以 ′( ) = 3 2 + ，
又函数 ( )在 = 2处取得极值 14．
( 2) = 14 8 2 + 2 = 14 = 1
则有{ ，即{ ，解得：{ ，
′( 2) = 0 12 + = 0 = 12
经检验， = 1， = 12时，符合题意，故 = 1， = 12．
(2)由(1)知：函数 ( ) = 3 + 12 + 2，则 ′( ) = 3 2 + 12，
所以 ′(1) = 9，又因为 (1) = 1 + 12 + 2 = 13，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 13 = 9( 1)，
也即9 + 4 = 0．
(3)由(1)知：函数 ( ) = 3 + 12 + 2，则 ′( ) = 3 2 + 12，
令 ′( ) = 0，解得： 1 = 2， 2 = 2，
在 ∈ [ 3,3]时，随 的变化， ′( )， ( )的变化情况如下表所示：
3 ( 3, 2) 2 ( 2,2) 2 (2,3) 3
′( ) 0 + 0
( ) 7 单调递减 14 单调递增 18 单调递减 11
由表可知：当 = 2时，函数 ( )有极小值 ( 2) = 14；
当 = 2时，函数 ( )有极大值 (2) = 18；
因为 ( 2) = 14 < (3) = 11， (2) = 18 > ( 3) = 7，
故函数 ( )在[ 3,3]上的最小值为 ( 2) = 14，最大值为 (2) = 18．
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5 2
18.解：(1)由题意知函数 ( )的最小正周期满足 ≥ 2( ) = ，
6 2 3
5 5
又因为 ( ) = ( )，且 = < ，
6 6 6
1 5 11
所以直线 = × ( + ) = ，是 = ( )图象的一条对称轴；
2 6 12
2 2
(2)由(1)知 ≥ ，故 = ≤ 3，由 ∈ ，得 = 1，2或3．
3
11 11
由直线 = 为 = ( )图象的一条对称轴，所以 + = + 1 , 1 ∈ ， 12 12 2
2
因为 ( ) = √ 3，所以 + = + 2 2 , 2 2 3 2 ∈ 或 + = + 2 3 , 3 ∈ ， 2 3
5
若 + = + 2 2 , 2 ∈ ，则 = + ( 2 ) ， 2 3 12 6 1 2
2 12
即 = + (
5 5 1
2 2)，不存在整数 1， 2，使得 = 1，2或3．
2 5
若 + = + 2
2 3 3
, 3 ∈ ，则 = + ( 2 ) ， 12 6 1 3
2 12
即 = + ( 1 2 3)不存在整数 1， 3，使得 = 1或3； 5 5

当 1 = 2 3 + 1时， = 2，此时 = + 2 3 ， 3

由| | < ，得 3 = 0时， = ，所以 ( ) = 2 (2 )． 2 3 3
√ 3
(3)因为 ( ) = √ 3，所以2 (2 ) = √ 3，所以sin(2 ) = ，
3 3 2
2
在锐角△ 中，0 < < ，所以 < 2 < ，
2 3 3 3

所以2 = ，解得 = ，
3 3 3
2
+ =
3 1
由 0 < < ，解得 < < ，所以 < < 1；
2 6 2 2
0 < <
{ 2
1
由 = 2 = ， 2 2 1+2 1 +2

1 √ 2 1
当且仅当 = 2 ，即 = 时， + 2 取最小值2√ 2，
2
1 1 1
当 = 或1时， = 2 = 3，所以 + 2 的值域为[2√ 2, 3),
2
1 √ 2
所以 的取值范围是( , ]．
2 2 3 4
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1
19.解：(1)函数 ( ) = 1 + ′(1) 2 + 1，
3
2
求导得 ′( ) = 1 + ′(1) ，
3
2
则 ′(1) = 1 + ′(1)，
3
解得 ′(1) = 3，
所以 = ( )的解析式为 ( ) = 1 + 2 + 1；
(2)由(1)得 ( ) = 1 + 2 + 1，
则 ( ) = ( ) ( 2 + + ) = 1 + 1 ，
求导得 ′( ) = 1 1，
由 ′( ) < 0，得 1 < 1，由 ′( ) > 0，得1 < 2，
函数 ( )在[ 1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，
当 = 1时， ( )取得最小值，
要使 ( )在[ 1,2]内有两个零点，
(1) < 0 1 1 + 1 < 0
当且仅当{ ( 1) 0，即{ 2 + 1 + 1 0,
(2) 0 2 + 1 0
解得1 < 1，
所以实数 的取值范围为(1, 1]；
(3)对任意的 ∈ R，不等式 ( ) 0恒成立，
转化为对任意的 ∈ ， 1 + 2 + 1 恒成立，
1
①当 = 0时， + 1 0，显然成立，此时 ∈ R；

e 1+ 2+1
②当 > 0时， ≤ 恒成立，

1+ 2+1 ′ ( 1)(
1+ +1)
令 ( ) = ，求导得 ( ) =
2
，
而当 > 0时， 1 + + 1 > 0恒成立，
由 ′( ) < 0，得0 < < 1；由 ′( ) > 0，得 > 1，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
因此当 = 1时， ( )取得最小值 (1) = 3，则 3；
1+ 2+1
③当 < 0时， 恒成立，

1+ 2+1
令 ( ) = ，此时 ( ) < 0，

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( 1)( 1+ +1)
求导得 ′( ) = 2 ，
令 ( ) = 1 + + 1，求导得 ′( ) = 1 + 1 > 0，
函数 ( )在( ∞,0)上单调递增，
又 ( 2) = 3 1 < 0, ( 1) = 2 > 0，
由零点存在定理得存在 0 ∈ ( 2, 1)，使得 ( 0) = 0，即e
0 1 + 0 + 1 = 0，
由 ′( ) > 0，得 < 0，由
′( ) < 0，得 0 < < 0，
所以 ( )在( ∞, 0)上递增，在( 0, 0)上递减，
当 = 0时， ( )取得最大值，
0 1+ 20 +1 +
2
且 ( 0) = =
0 0 = 0 1 ∈ ( 3, 2)，则 0 1， 0 0
于是实数 的取值范围为[ 0 1,3]，
所以整数 的值组成的集合为{ 2, 1,0,1,2,3}．
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