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一元二次不等式的应用
1
一元二次不等式的应用
2
习题2.3
目 录
CONTENTS
3
小结与复习
4
复习题二
一 一元二次不等式的应用
一
　　在2.3.1节中，我们学习了一元二次不等式的解法，本节我们将通过具体实例的分析与求解，体会一元二次不等式的实际应用．
一元二次不等式的应用
一
一元二次不等式的应用
　　　　某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间满足如下关系式：
y=3000+20x－0.1x2(x∈(0，240)，x∈N+).
　若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量为多少？
例
1
一
一元二次不等式的应用
　　解　根据题意可得
25x－(3000+20x－0.1x2)≥0，
整理得
x2+50x－30000≥0．
　　方程x2+50x－30000=0有两个不相等的实数根
x1=150，x2=－200．
　　由图象得不等式x2+50x－30000≥0的解集为
｛x|x≤－200或x≥150}．
　　在这个实际问题中，x>0，所以x的最小值为150，即生产者不亏本时的最低产量为150台．
一
一元二次不等式的应用
　　　　已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L(m)与速度v(km/h)之间有如下关系式：
L＝k·M·v2，
其中k是比例系数，且k>0，M是汽车质量(t).若某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36km/h的速度行驶时，从刹车到停车需要走20m. 当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20m处有障碍物时能在离障碍物5m以外处停车，则最高速度应低于多少(设司机发现障碍物到踩刹车需经过1s)
例
2
一
一元二次不等式的应用
　　解　设卡车本身质量为M(t)，速度为v(km/h)，刹车滑行距离为L(m)，则依题意可得L＝k·M·v2 . 将v＝36，L＝20代入得 k·M＝　　.
　　又卡车司机从发现障碍物到踩刹车需经过1s，这1s内卡车已行驶的路程为v·　　 m/s·1 s＝ m. 因此， ＋k·2M·v2<20－5，
整理得
　　方程　　　　　　　　　有两个不相等的实数根
v1=－27， v2 =18．
由图象得不等式 的解集为 {v|－27　　在这个实际问题中，v>0，所以最高速度应低于18km/h　.
一
一元二次不等式的应用
　　　　某化学试剂生产厂以xkg/h的速度运输生产某种产品（生产条件要求边生产边运输，且1≤x≤10），每小时可获得利润　　　　　　　元．
　　(1)要使运输生产该产品2h获得的利润不低于3000元，求x的取值范围.
　　(2) 要使运输生产900kg该产品获得的利润最大，该工厂应该选取何种运输生产速度？并求最大利润．
例
3
一
一元二次不等式的应用
　　解　(1)依题意可得　　　　　　　　≥3000，即　　　　　≥0.
　　因为1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，即(x－3)(5x+1)≥0，解得 x≥3 或x≤－15．结合1≤x≤10知，x的取值范围为3≤x≤10．
　　(2)设利润为y元，则依题意可得
　　　　　　　　　　　y=　　
　　　　　　　　　　　
　　因此，当　　 ，即运输生产速度为6kg/h时，该工厂获得的利润最大，最大利润为457500元．
一
一元二次不等式的应用
　　由上观之，我们利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)理解题意，分析清楚量与量之间的关系；
　　(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题；
　　(3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解．
一
一元二次不等式的应用
　　1. 一家汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创收价值y(元)之间有如下关系式：
y=－2x2+220x．
　　若这家制造厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内生产的摩托车数量x应满足什么条件？
练 习
一
一元二次不等式的应用
　　2.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．
　　在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速v(km/h)分别有如下关系式：
s甲=0.1v+0.01v2，s乙=0.05v+0.005v2．
　　问：试用解一元二次不等式的方法判断甲、乙两辆汽车有无超速现象？
练 习
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二 习题2.3
二
习题2.3
学而时习之
　　1.下面四个不等式中解集为空集的是( )
　　(A)3x2－7x－10≤0 (B)－x2+6x－9≤0
　　(C)－2x2+x<－3　　　　　 (D) x2－4x+7≤0
　　2.集合A={x|x2－x－12≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6≤0，x∈Z}，则A∩B的元素个数为( )
　　(A)6 　　　(B) 5 　　　(C)4 　　　(D)3
二
习题2.3
3.一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R的一个充要条件是( )
　　(A) 　　　　 (B) 　　　　(C) 　　　　 (D)
　　4.解下列一元二次不等式：
　　(1) 2x2－2　 +1>0；　　　　　　 (2) x2+x－1<0；
　　(3) －3x2+5x－4≥0； 　　　　　 (4) (2x－1)2<4；
　　(5) (x+1)(x+2)<(x+1)(2－x)+1； (6) (3x+2)(x+2)>4 ．
　　5.解不等式： (1) >4；(2) ≤3.
二
习题2.3
　　6.某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额r%的代理费.为此，该衬衫每件价格要提高到 元才能保证公司利润.由于提价每年将少销售0.62r万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，求r的取值范围.
温故而知新
　　7.已知U=R，A={x|x2－16<0}，B={x|－x2+3x+18>0}，求A∩B，A∪B.
　　8.解关于x的不等式：x2－(2m+1)x+m2+m<0.
二
习题2.3
　　9.某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x元(x为正整数)，则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？
10.已知关于x的一元二次方程x2－2mx+m+2=0的两根的平方和大于2，求实数m的取值范围.
11.已知一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x | x<2或x>3}，求不等式bx2+ax+c>0的解集.
　　
二
习题2.3
　 12.在一次体育课上，某同学以初速度v0=12m/s
竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位
置最多停留多长时间？(注：若不计空气阻力，则竖
直上抛的物体距离抛出点的高度h(m)与时间t(s)满足
关系式h=v0t－　gt2，其中g=9.8m/s2.)
三 小结与复习
三
小结与复习
一、知识结构图
相等关系与不等关系
从函数观点看一元二次方程
不等式
不等式的基本性质
基本不等式及其应用（最大、最小值问题）
一元二次不等式
解法及应用
一元二次不等式与相应函数、方程的联系
三
小结与复习
二、回顾与思考
　　1.相等关系、不等关系是现实世界最基本的数量关系.现实生活中存在着大量的不等关系，你能举出一些实例，并用不等式来描述这些不等关系吗？
　　2.试类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异.
　　3.基本不等式以及不等式的性质是证明不等式的重要手段和方法.你能证明基本不等式吗？在使用基本不等式解决最大（小）值实际问题时，需要注意什么？
三
小结与复习
　　4.从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，可以感悟到数学知识之间的紧密关联——相等与不等是可以相互转化的，正是这种相互转化，使我们可以借助函数图象和方程的解来求解不等式.试结合问题，体会解一元二次不等式的方法与步骤.
　　5.不等式可以刻画现实世界中的数量关系.尝试从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，并进行求解，进而解决简单的实际问题.
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四 复习题二
四
复习题二
学而时习之
　　1.证明下列不等式：
　　(1)若a＞b＞0，则a3b＞ab3；
　　(2)对任意x∈R，有x(x＋2)＜(x＋1)2；
　　(3)对任意x∈R，有x2＞4x－5；
　　(4)若x≠－1，则　　　　　≥－　.
　　2.证明不等式：
　　(1)若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；
　　(2)若a＞b＞0，c＞d＞0，则a2c＞b2d.
四
复习题二
　　3.证明不等式：
　　(1)若a，b，c，d都是正数，求证： (ab+cd )(ac+bd )≥4abcd；
　　(2)若a，b，c是非负实数，则a(b2＋c2)＋b(c2 ＋a2)＋c(a2＋b2)≥6abc；
　　(3)若a，b是非负实数，则a＋b＋2≥2( ＋ ) ；
　　(4)若a，b ∈R，则 ≥ .
　　4.已知二次函数y=x2－(m－1)x+2m在［0，1］上有且只有一个零点，求实数m的取值范围.
四
复习题二
　　5.解不等式：
　　(1)－3x2＋8x－4＜0； 　　(2) 4x2－20x＋25≤0；
　　(3) 4＜x2－x－2＜10 ； 　(4) －1<2x2－x－2＜1.
　　6. (1)在面积为定值S的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？
　 (2)在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？
　　7.某种型号的汽车在水泥路面上的刹车距离s(m)与汽车行驶速度v(km/h)之间有如下关系式：
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度至少为多少？
四
复习题二
　　8.已知关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为　　　　，求a和b的值．
温故而知新
　　
10.小王从甲地到乙地往返的速度分别为akm/h和bkm/h(其中a　　(A) a　　(C) (D)
四
复习题二
　　11.已知m＜n，试写出两个一元二次不等式，使它们的解集分别为
　　(1) (－∞，m )∪(n，＋∞)；　　　　　 (2) (m，n) ．
　　12.设二次函数y=kx2－kx+　．
　　(1)若方程y=0有实根，则实数k的取值范围是　　　　　　　　.
　　(2)若不等式y>0的解集为 ，则实数k的取值范围是　　　　　.
　　(3)若不等式y>0的解集为R，则实数k的取值范围是　　　　　.
四
复习题二
　　13.如图，某新建居民小区欲建一面积为700m2的矩
形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外
人行道宽3m，短边外人行道宽4m.怎样设计绿地的长与
宽，才能使人行道的占地面积最小？(4.58，结果精确到0.1m)
　　
购地总费用
建筑总面积
　　14.某单位用2160万元购得一块空地，准备在该地上建造一栋至少10层、每层2000m2的楼房．经预算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为(560+48x)元．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= .）
（第13题）
四
复习题二
　　15.如图，码头O南偏东60°方向400km处
(A)有一个台风中心.台风正以40km/h的速度向
正北方向移动，且距台风中心350km以内都会
受台风影响.问从现在起多长时间后，码头O将
受台风影响，码头受台风影响的时间大约多久？
（第15题）
四
复习题二
上下而求索
　　16.证明不等式：
　　(1)若a＞0，b＞0且a≠b，则ab2＋a2b＜a3＋b3；
　　(2)若a，b是实数且a≠b，则ab3＋a3b＜a4＋b4；
　　(3)把(1)和(2)中的不等式推广到一般情形，并证明你的结论．
四
复习题二
　　17.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(万元)与隔热层厚度x(cm)满足关系式：
　　　　　　（0≤x≤10）.
　　若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设y(万元)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
　　(1)求k的值及y的表达式；
　　(2)隔热层修建多厚时，总费用y达到最小？并求最小值.
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