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渝北区实验中学校2026届2025-2026学年度第一学期半期考试
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将答题卡收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为（），对称轴为直线
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A,B,C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．下列图形中，是中心对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
2．若x=1是方程的一个根，则k的值是 ( )
A. -1 B.1 C.2 D.3
3．抛物线的顶点坐标为 ( )
A. (1,2) B. (-1,2) C. (-1,-2) D. (1,-2)
4．若，相似比为1:3，则ΔABC与的面积比为 ( )
A. 1:3 B. 3:1 C. 1:9 D. 9:1
5．若函数是二次函数，则m的值为 ( )
A. 1 B. -1 C. ±1 D. 2
6．已知抛物线(a<0)过点M(2,m) ， N(-1,n)两点，则下列关系式一定正确的是 ( )
A. m<07．某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年1月份的每平方米20000元下降到3月份的每平方米16200元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为 ( )
A. 9% B. 10% C. 19% D. 20%
8．设a是方程的一个根，则
A. 2025 B. 2026 C. 2027 D.无法确定
9．已知如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE．点F为CB延长线上一点，连接EF交AB于点G，连接对角线AC交EF于点M，若EC平分∠DEF，则线段GM的长为 ( )
A. B. C. D.
9题图
13题图
14题图
10．已知整式，其中n, 为自然数， 为正整数，，且满足.下列结论正确的是 ( )
①当n=0时，满足条件的整式M有4个；
②满足条件的整式M中只有5个单项式；
③满足条件的整式M共有8个．
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．在平面直角坐标系中，点A(2,-3）关于原点的对称点B的坐标是
12．方程的解为 .
13．如图，将ΔABC绕着点A顺时针旋转40°后，得到ΔADE，则∠BAD=
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1,2），B(2,0), D(5,0)，则点A的对应点C的坐标是
15．如图，在平行四边形ABCD中， AB=2, BC=6, AF, BE分别为∠BAD和∠ABC的平分线，相交于点H，与边BC, AD分别交于点F, E，点M,N分别在AD,BC边上，连接MN，将四边形MNCD沿MN折叠，使点C恰好与点H重合，点D的对应点为点G，则，折痕MN的长为 15题图
16．如果一个四位自然数M，千位上的数字与个位上的数字之和等于12，则称M为“26吉祥数”．将M的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数M'.并规定.四位自然数M=1000a+100b+10c+d(1≤a≤9 0≤b,c,d≤9且a,b,c,d为整数）为“26吉祥数”，且为正整数）， （k为正整数），则 ，在此条件下，若M除以6余4，则满足条件的M的最大值与最小值的差为
三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．解方程：
(2)
18．在学习了全等三角形和三角形的中线、角平分线、高后，思无涯学习小组通过进一步研究发现：等腰三角形中底边上的中线也是底边上的高，可利用证明三角形全等得到此结论.根据此想法和思路，完成
以下作图和填空：
如图，在ΔABC中，点D是AB的中点.
（1）基本尺规作图：作∠ABE=∠A，交线段AC于点E，
（2）连接DE.（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：DE⊥AB．
证明：在ΔABE中，点D是AB的中点，：①
又：∠ABE=∠A, ∴EA=EB ∴ΔABE是等腰三角形.
在ΔEAD和ΔEBD中， ∴ΔEAD ΔEBD..③
∴④ ∴DE⊥AB.
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．随着AI技术的不断进步，DeepSeek等智能系统正逐渐展现出强大的数据处理和分析能力．为了培养学生科技创新的意识和能力，学校开展了一场有关科技创新的知识竞赛.现从该校七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（满分100分，得分用x表示，共分成四组： A.80≤x<85 B.85≤x<90;C.90≤x<95 D.95≤x≤100)，其中分数不低于90分为优秀，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩：84,85,86,89,93,96,99,99,99,100．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：91,92,94,94．根据信息，回答下列问题：
八年级抽取的学生竞赛
成绩扇形统计图
（1）在上述图表中： , , ;
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科技创新知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共有500人参加了此次科技创新竞赛活动．请估计该校七、八年级参加此次科技创新竞赛成绩优秀（不低于90分）的学生人数是多少？
20．先化简，再求值：
，其中
21．江津区紫金天街某家江津特产店推出了“原味”和“椒盐味”两款特色米花糖．
（1）购买1袋“原味”米花糖和1袋“椒盐味”米花糖需要37元，购买1袋“原味”米花糖和2袋“椒盐味”米花糖需要54元，求每袋“原味”米花糖和“椒盐味”米花糖的单价分别为多少元？
（2）五一节当天，该店进行促销活动，将每袋“原味”米花糖的单价降低了2a元，每袋“椒盐味”米花糖单价降低了a元，节日当天“原味”米花糖的销量是“椒盐味”米花糖销量的1.2倍，且“原味”米花糖的销售额为960元，“椒盐味”米花糖的销售额为750元，求a的值．
22．如图，在RtΔABC中， ，AB=3 ， AC=4，点D是线段BC上一点，且满足3CD=2BD， 动点E,F同时出发，动点E以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线D→C→A方向运动，动点F以每秒个单位长度的速度从点D出发沿折线D→B→A方向运动，当点F运动到点B时，速度变为每秒1个单位长度继续运动，点E的速度保持不变．当E,F有一点运动到点A时E,F都停止运动.设运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y.
（1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）一次函数与y的图象有且只有两个交点，请直接写出k的取值范围.
23．中秋乐游，龙兴明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A,B,C,D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东30°方向且在C的北偏西45°方向， BC=1千米.
（1）求AB的长度；（结果保留根号）
（2）小渝和小翡分别从D,A打卡点同时出发，小渝以2.5km/h的速度从D打卡点沿D→A方向步行至A打卡点，小翡以5km/h的速度从A打卡点沿A→B方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小渝出发多少千米后恰好与小翡相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A,B两点（点A 在点B的左侧），且A点坐标为(-1,0)，直线BC的解析式为y=-x+3
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，连接AP交直线BC于点D，过点B作x轴的垂线l，当最大时，在直线BC上找一点M，在直线l上找一点N，求ΔPM周长的最小值；
（3）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新抛物线的对称轴与x轴交于点K，点Q为新抛物线上的一个动点，连接CK,QK，当∠CKQ=∠ACO+∠OB，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的一种情况的过程.
如图，在等边ΔABC中，点D是直线BC上的一动点，点E是射线AC上的一动点，连接DE,AD．
（1）如图1，点D,E分别为BC,AC边的中点，连接BE交AD于点O，若AB=6，求点O到DE的距离；
（2）如图2，若点E在CB延长线上，将线段DE绕点D逆时针旋转60°至DF，过点F作FG∥AD 交AC于点G，当DE=DA时，求证：CG+2CE=AC;
（3）如图3，点E在AC延长线上， DE=DA，将ΔDCE沿直线DC翻折得到，点E的对应点为点.若AB=6，当的长度最小时，直接写出四边形的面积.
图1
图2 E
图3 E
初三半期考试数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C B C B A D B
10.B
解：当n=0时， ∵为正整数，或2或3或4，
共4个，都是单项式，故①正确；
当n=1时， ，即
∵n, ,为自然数， 为正整数，
可以为(1,0)或(1,1)或(2,0)或(2,1)或(3,0)，共5个，其中单项式的是（1,0）或（2,0）或(3,0)，共3个；
当n=2时， ，即
∵n, 为自然数， 为正整数，
可以为（1,0,0）或（1,1,0）或(2,0,0)，共3个，其中单项式的是（1,0,0）或(2,0,0)共2个；
当n=3时， ，即
∵n 为自然数， 为正整数，
以为（1,0,0,0）共1个，也是单项式；
当n=4时， ，即
∵n, 为自然数， 为正整数， ，故不存在；
当n≥4时， 为正整数， ∵，不存在，
综上所述，满足条件的整式M中，单项式有3+2+1=6 （个），故②错误；
满足条件的整式M共有5+3+1=9 （个），故③错误，
即正确的有①，共1个，
故选：B.
11.(-2,3); 12. , 13.14.
15.
解：如图，过点H作HILBC于点I，过点M作MK⊥B于点K，连接CH交MK于点P.
证四边形ABFE是菱形，
.
.设.在RtΔHIN 中，
.即
由ΔMKN∽ΔCH,
16.16; 60.
解： ∵，千位上的数字与个位上的数字之和等于12，
∴M=1000a+100b+10c+12-a=999a+100b+10c+12,
将M的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数
·
∵1≤a≤9 0≤b,c, d≤9且a,b，,C,,d为整数，.∴-4≤a+b-5≤13
∴a+b-5=11.∴a+b=16.
∴b=16-a，且7≤a≤9 7≤b≤9
∴M=1000a+100b+10c+12-a=999a+100b+10c+12
=999a+100(16-a)+10c+10
=899a+10c+1610.
∵M除以6余4,：
为整数，
故也为整数.
9≤a+2c+2≤29,∴a+2c=10或16或22；
当a+2c=10时， a=8 b=8, c=1- d=4.∴M=8814
当a+2c=16时， a=8, b=8 c=4, d=4.∴M=8844
当a+2c=22时， a=8 b=8 c=7, d=4.∴M=8874
∵8814<8844<8874,∴8874-8814=60;
17.
(2)
（1）解：
两边除以2，得
移项，得
开平方，得
（2）解：
：分解因式，得(x-5)(x+1)=0
∴x-5=0,x+1=0,
18.(1）解：图形如图所示：
(2)
答案为： AD=DB EA=EB; ∠ADE=∠BDE ·う
19.(1）答案为：40,93,99；
（2）解：七年级学生科技创新知识掌握较好，理由如下：
因为七年级学生科技创新竞赛成绩的中位数94.5分大于八年级学生科技创新竞赛成绩的中位数93分；
（3）解： （人）
答：估计该校七、八年级参加科技创新知识竞赛成绩被评为优秀的总人数为195人．
20．解：原
x原)
21.
（1）解：设每袋“原味”米花糖和“椒盐味”米花糖的单价分别为x、y元，根据题意可得：
，解得：
答：“原味”米花糖的单价为20元，“椒盐味”米花糖的单价为17元．
（2）解：根据题意，得
，解得： a=2.
经检验， a=2是方程的解且符合题意.
∴a的值为2．
22. (1)
（2）解：如图所示；
性质：当0当2（3)k的取值范围为且k≠0
23.(1）解：过D作DH⊥AB于H,，过C作CE⊥DH于E,
，：四边形BCEH是矩形.
∴BC=EH=1 CE=BH
根据题意得，
∵BH=CE=2千米， DH=DE+EH=2+1=3
（2）解：如图，设出发x小时后，小渝到达点M，小翡到达点N，他们之间的距离千米，则千米， AN=5x千米,
连接MN，过点M作MF⊥AB于点F,
由（1）可得
千米，F在N左边，
千米， 千米.
在RtΔMFN中，
解得或x=0 （舍去），
即小渝出发1.98千米后恰好与小翡相距千米.
24．解：(1）在直线y=-x+3中，当y=0，即-x+3=0.解得x=3,∴B(3,0);
将A(-1,0) B(3,0)分别代入，得： ，解得
:
（2）过点P作PK//y轴交直线BC于点K，过点A作AE∥y轴交直线BC于点E.
.在直线y=-x+3中，当x=-1时， y=4..点.设点P(t,K(t,-t+3).当时， 的值最大，此时点P（
作点P关于直线l的对称的），作点P关于直线BC的对称的）.连接交直线BC于点M，交直线l于点N，此时ΔPM的周长最小值
（3）符合条件的点Q的横坐标为或平移后新抛物线的解析式为点K(（-1,0）与点A重合．
①过点K作KT//BC，交新抛物线于点
··
.直线KT: y=-x-1.联立解得：
（舍），
②在BC上取一点I，使得KI=CI,，连接KI交新抛物线于点，此时
.设点I(m,-m+3).由KI=CI得
.解得： 点
：.直线KI： .联立解得：
（舍）.
25．解：(1）过点O作OM⊥DE于点M，延长MO交AB于点N.
点D,E分别为BCAC边的中点，∴DE//AB.
在等边ΔABC中， AB=AC,∴AD平分∠BAC.∴ON=OE.
在等边ΔABC中，BA=BC,∴BE平分
：.在RtΔABE中，
：.在RtΔBON中，
由ΔODE ΔOAB知，
（2）在BA上截取BH=BD连接DH,EF.
：在等边ΔABC中，AB=BC=AC,
∴ΔBDH为等边三角形.
∴BD=DH,.又
....∠AHD=∠DCE.设∠HAD=α，则
·.DA=DE, -∠DEA=α=∠HAD
在ΔDAH与ΔEDC中，
由旋转知，ΔDEF
在ΔDCE与ΔEGF中，
∴EG=CD.∴AC=BC=BD+CD=BD+EG=BD+CE+CG=2CE+CG.
（3）由翻折知，
故点的运动轨迹为过点C且与AC的夹角为60°的直线．当时， 最小.
由翻折和（2）知， ,
·为等边三角形.
在中，
在中，
:

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